Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis
Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc.
SS 2016 23.05.2016
Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik
6. Übungsblatt
Aufgabe 31 (Übung)
Es sei m ∈ N. Untersuchen Sie jeweils die angegebene Funktion f : D → Rm in 0 ∈ D auf Stetigkeit.
a) f :R→R2definiert durchf(x) :=
xsin
1 x
,|x|x2
, x∈R\ {0},
(0,1), x= 0.
b) f :R2→Rdefiniert durchf(x, y) =
4xy
x2+y2sin(xy2−x2y), (x, y)∈R2\ {(0,0)},
0, (x, y) = (0,0).
c) f :R2→R2definiert durchf(x, y) :=
√ x
x2+y2,√ y
x2+y2
, R2\ {(0,0)}, (0,0), (x, y) = (0,0).
d) f :R3→Rdefiniert durchf(x, y, z) :=
(1−cos(xy)) sin(x+z)
x3 , (x, y, z)∈R3mitx,0,
z
2, (x, y, z)∈R3mitx= 0.
Aufgabe 32 (Tutorium)
Die Funktionenf,gundhseien für (0,0),(x, y)∈R2durch f(x, y) := xy2
x2+y2, g(x, y) := xy2
x2+y4, h(x, y) := x2y2 x2y2+ (x−y)2 gegeben undf(0,0) :=g(0,0) :=h(0,0) := 0. Zeigen Sie:
a) Die Funktionf :R2→Rist stetig.
b) Die Funktiongist in (0,0) nicht stetig, abergist im Nullpunktlängs jeder Geraden stetig:
Für jedes festeϕ∈Rgiltg(rcos(ϕ), rsin(ϕ))→g(0,0) fürr→0+.
c) Die Funktionhist in (0,0) nicht stetig, aber die Grenzwerte
xlim→0lim
y→0h(x, y) und lim
y→0lim
x→0h(x, y) existieren und stimmen mith(0,0) überein.
HM2PHYS–6 23.05.2016 — bitte wenden —
Aufgabe 33 (Übung)
a) Die Kurveγ: (−1,1)→R3sei durch
γ(t) =
arcsin(t)
√ t 1−t2
∀t∈(−1,1)
gegeben. Istγeine reguläre Kurve? Bestimmen Sie ihre LängeL(γ) und natürliche Para- meterisierung.
b) Seif :R3→Rdefiniert durch f(x, y, z) :=
x2y2(z−1)
x2+y2+(z−1)2, (x, y, z)∈R3\ {(0,0,1)}, 0, (x, y, z) = (0,0,1).
Bestimmen Sie alle (x, y, z) ∈ R3 in denen f stetig ist. Bestimmen Sie außerdem alle t∈(−1,1), in denenf ◦γdifferenzierbar ist.
Aufgabe 34 (Tutorium)
a) Die Kurveγ: [0,2π]→R3sei durch
γ(t) =
cos(t) sin(t)
2t π
∀t∈[0,2π]
gegeben. Istγeine reguläre Kurve? Bestimmen Sie ihre LängeL(γ) und natürliche Para- metrisierung.
b) Seienk∈R\ {0}undf :R3→Rdefiniert durch f(x) :=
(kxk −1)k ,kxk,1, 0 ,kxk= 1.
Bestimmen Sie allet∈[0,2π], in denenf ◦γdifferenzierbar ist.
Aufgabe 35 (Übung) Sei
A := n
(x, y)∈R2| ∃06λ61 : (x, y) =λ(1,0)∨(x, y) =λ(1,1)∨(x, y) =λ(1,0) + (1−λ)(1,1)o . a) Bestimmen Sie eine stückweise stetig differenzierbare Funktionf : [a, b]→R2derart, dass
f([a, b]) =Agilt.
b) Seien{x0;x1;. . .;xm}die Stützstellen, bzgl. derer die ina)bestimmte Funktion stückweise differenzierbar ist. Bestimmen Sie
m−1
X
k=0
Z xk+1
xk
||f0(t)||dt.
c) Ist es ina)möglich, eine differenzierbare Funktionγ: [a, b]→R2mitγ(a) =γ(b),(1,0) sowieγ0,0 zu finden?
HM2PHYS–6 23.05.2016 — bitte wenden —
Aufgabe 36 (Tutorium) Sei
A :=
(x, y)∈R2 |x|=1
2,|y|61 2
∪
(x, y)∈R2|x2+ (|y| −1/2)2= 1
4,|y|> 1 2
.
a) Bestimmen Sie eine reguläre Parametrisierung vonA, welcheAim positivem Sinne umlau- fe, d.h., finden Sie eine reguläre Kurve, deren Spur geradeAist und dieAim positivem Sinne umläuft.
b) Bestimmen Sie die Kurvenlängen der ina)bestimmten Kurve.
c) Bestimmen Sie die natürliche Parametrisierung der ina)bestimmten Kurve.
HM2PHYS–6 23.05.2016
