Wir untersuchen die Folge mit der Rekursion

Fibonacci, Kreisfunktionen und hyperbolische Funktionen

Spezielle verallgemeinerte Fibonacci-Rekursionen führen auf Kreis- und Hyberbelfunk- tionen.

1 Fibonacci und Kreisfunktionen 1.1 Einstiegsbeispiel

Wir untersuchen die Folge mit der Rekursion

a

= 2 0.95a

a

= 1.9a

a

und den Startwerten a

= 1 und a

= 0.95 . Excel liefert für die ersten 50 Folgenglieder:

n a_n n a_n n a_n 0 1 17 0.633554136 34 -0.197218313 1 0.95 18 0.843463666 35 0.118759788 2 0.805 19 0.969026829 36 0.422861911 3 0.5795 20 0.997687309 37 0.684677842 4 0.29605 21 0.926579058 38 0.878025989 5 -0.017005 22 0.762812901 39 0.983571538 6 -0.3283595 23 0.522765455 40 0.990759932 7 -0.60687805 24 0.230441462 41 0.898872333 8 -0.824708795 25 -0.084926676 42 0.717097501 9 -0.960068661 26 -0.391802147 43 0.463612919 10 -0.999421660 27 -0.659497403 44 0.163767045 11 -0.938832493 28 -0.861242919 45 -0.152455534 12 -0.784360078 29 -0.976864143 46 -0.453432559 13 -0.551451654 30 -0.994798953 47 -0.709066328 14 -0.263398065 31 -0.913253867 48 -0.893793465 15 0.050995331 32 -0.740383395 49 -0.989141255 16 0.360289193 33 -0.493474583 50 -0.985574919

Das zugehörige Säulendiagramm lässt eine Kosinuskurve erkennen:

Diagramm. Kosinuskurve

1.2 Rekursion und Startwerte

Wir untersuchen Folgen mit der Rekursion:

a

= 2 pa

a

, p < 1

Mit den Startwerten a

= 1 und a

= p ergibt sich eine Folge, deren Werte auf einer Kosinuskurve liegen. Mit derselben Rekursion, aber den Startwerten a

= 0 und

a

= 1 p

ergibt sich eine Folge, deren Werte auf einer Sinuskurve liegen.

Beispiel: p = 0.95 . Startwerte a

= 0 und a

= 1 p

.

n a_n n a_n n a_n 0 0 17 -0.773698363 34 -0.980359596 1 0.3122499 18 -0.537186229 35 -0.992923014 2 0.59327481 19 -0.246955472 36 -0.906194132 3 0.814972239 20 0.067970832 37 -0.728845836 4 0.955172444 21 0.376100052 38 -0.478612956 5 0.999855405 22 0.646619268 39 -0.180518781 6 0.944552825 23 0.852476557 40 0.135627272 7 0.794794963 24 0.973086190 41 0.438210598 8 0.565557604 25 0.996387204 42 0.696972864 9 0.279764485 26 0.920049497 43 0.886037844 10 -0.034005082 27 0.751706841 44 0.986499040 11 -0.344374141 28 0.508193501 45 0.988310331 12 -0.620305787 29 0.213860811 46 0.891290589 13 -0.834206853 30 -0.101857960 47 0.705141789 14 -0.964687234 31 -0.407390936 48 0.448478809 15 -0.998698892 32 -0.672184818 49 0.146967949 16 -0.932840660 33 -0.869760218 50 -0.169239706

Das zugehörige Säulendiagramm lässt eine Sinuskurve erkennen:

Diagramm. Sinuskurve

1.3 Beweis

Wir untersuchen den Fall a

= 2 pa

a

, p < 1 mit den Startwerten a

= 1 und a

= p , und setzen = arccos ( ) p . Wir haben also die Rekursion

a

= 2 cos ( ) ^a

a

und die Startwerte a

= cos 0 ( ) ^{sowie a}

= cos ( ) ^. Dann gilt:

a

= cos ( ) n

Beweis induktiv. Die Startwerte erfüllen die Behauptung. Weiter ist:

a

= 2 cos ( ) ^a

a

a

= 2 cos ( ) ^cos ( ( ^{n + 1} ) ) ^cos ( ) ⁿ

a

= 2 cos ( ) ^cos ( ^{n +} ) ^cos ( ) ⁿ

a

= 2 cos ( ) ( ^cos ( ) ^{n cos} ( ) ^sin ( ) ^{n sin} ( ) ) ^{cos ( ) n}

a

= cos ( ) n ( ^{2 cos}

( ) ¹ )

cos 2

( )

2 cos ( ) ^sin ( )

sin 2

( )

sin ( ) n

a

= cos ( ) n ^{cos 2} ( ) ^{sin 2} ( ) ^sin ( ) ⁿ

a

= cos ( n + 2 )

a

= cos ( ( n + 2 ) )

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Im Fall a

= 2 pa

a

, p < 1 mit den Startwerten a

= 0 und a

= 1 p

setzen wir wieder = arccos ( ) p . Wir haben also dieselbe Rekursion

a

= 2 cos ( ) ^a

a

und die Startwerte a

= sin 0 ( ) ^{sowie a}

= sin ( ) . Dann gilt:

a

= sin ( ) n Der Beweis läuft analog.

1.4 Periodenlänge

Für die Periodenlänge T der so generierten Kreisfunktionen gilt:

T 1

=

T =

( )

In unserem Beispiel mit p = 0.95 erhalten wir:

T =

( ) ^19.7858

Aus den Diagrammen lesen wir eine Periodenlänge von etwa 20 ab.

1.5 Noch ein Beispiel

Wir verwenden einen negativen Wert für p. Startwerte a

= 1 und a

= p . Beispiel: p = 0.99

n a_n n a_n n a_n 0 1 17 0.741547963 34 0.099786763 1 -0.99 18 -0.828774555 35 -0.239152167 2 0.9602 19 0.899425656 36 0.373734526 3 -0.911196 20 -0.952088244 37 -0.500842196 4 0.84396808 21 0.985709066 38 0.617933021 5 -0.759860798 22 -0.999615708 39 -0.722665186 6 0.660556301 23 0.993530035 40 0.812944047 7 -0.548040677 24 -0.967573762 41 -0.886964027 8 0.424564240 25 0.922266013 42 0.943244727 9 -0.292596518 26 -0.858512944 43 -0.980660532 10 0.154776866 27 0.777589617 44 0.998463127 11 -0.013861676 28 -0.681114496 45 -0.996296459 12 -0.127330747 29 0.571017086 46 0.974203862 13 0.265976555 30 -0.449499335 47 -0.932627187 14 -0.399302832 31 0.318991596 48 0.872397969 15 0.524643053 32 -0.182104026 49 -0.794720792 16 -0.639490412 33 0.041574375 50 0.701149198

Das Diagramm sieht lustig aus:

Diagramm

Wir haben einen Flipflop-Effekt. Es ist aber immer noch a

= cos ( ) n . — Und nicht, wie der Schreiber dieses zuerst vermutete, a

= ( ) 1

^cos ( ) ^{n .}

Die Periodenlänge ist viel kürzer, als man denkt:

T =

(

) ^2.0944

Wie ist das zu verstehen?

1.6 Andere Startwerte

Beispiel: p = 0.95 , Startwerte a

= 0.5 und a

= 1.1. Wir erhalten das Diagramm:

Diagramm

Wir haben eine Linearkombination einer Kosinusfunktion und einer Sinusfunktion.

2 p > 1

Bis jetzt war p < 1 , und das war ja auch gut so, weil wir in unseren Überlegungen mit = arccos ( ) p gearbeitet haben, was für p > 1 nicht ginge. Allerdings können wir gleichwohl mit der Rekursion a

= 2 pa

a

und den Startwerten a

= 1 und

a

= p arbeiten.

2.1 Beispiel

Im Beispiel p = 1.01 erhalten wir

n a_n n a_n n a_n

0 1 6 1.381452339 12 2.816821131 1 1.01 7 1.530392924 13 3.218329769 2 1.0402 8 1.709941367 14 3.684205002 3 1.091204 9 1.923688637 15 4.223764334 4 1.16403208 10 2.175909680 16 4.847798954 5 1.260140802 11 2.471648916

mit dem Diagramm:

Diagramm

Das schmeckt sehr nach hyperbolischem Kosinus.

Tatsächlich gilt: mit = arcosh ( ) p ^{wird a}

= cosh ( ) n ^.

Und mit den Startwerten a

= 0 und a

= p

1 ergibt sich a

= sinh ( ) n ^{. Die Be-}

weise laufen analog zu denen der Kreisfunktionen, wobei der Leser / die Leserin gut tut,

vor dem Beweis die einschlägigen Formeln für die hyperbolischen Funktionen nachzu-

sehen. — Wir haben damit ohne Würgen und Murksen einen Link von den Kreisfunkti- onen zu den hyperbolischen Funktionen gefunden.

2.2 p < –1

Im Beispiel p = 1.01 erhalten wir

n a_n n a_n n a_n 0 1 6 1.381452339 12 2.816821131 1 -1.01 7 -1.530392924 13 -3.218329769 2 1.0402 8 1.709941367 14 3.684205002 3 -1.091204 9 -1.923688637 15 -4.223764334 4 1.16403208 10 2.175909680 16 4.847798954 5 -1.260140802 11 -2.471648916

mit dem Diagramm:

Diagramm

Hier kommt man wohl nicht darum herum, die Formel a

= ( ) 1

^cosh ( ^{n arcosh} ( ) ^p )

zu akzeptieren.

3 Hintergrund

3.1 Die Formel von Binet

Eine Folge mit der Rekursion a

= 2 pa

+ qa

und den Startwerten a

und a

kann explizit dargestellt werden mit:

a

=

1₂

( ( a

a

)

+ ( a

a

)

)

Dabei ist:

= p + ( p

+ q )

^und

^{= p} ( ^p

^{+ q} )

Beweis induktiv mit einiger Rechnung.

In unserem Fall ist q = 1 , also:

= p + ( ) p

1

^und

^{= p} ( ) ^p

¹

Weiter haben wir

= p + ( ) p

1

^p ( ) ^p

¹

^{= 2} ( ) ^p

¹

und:

= p + ( ) p

1

^p ( ) ^p

¹

^{= p}

( ) ^p

^{1 = 1}

=

1

3.2 Spezielle Startwerte

Mit den speziellen Startwerten a

= 1 und a

= p erhalten wir:

a

a

= p p ( ) p

1

⁼ ( ) ^p

¹

a

a

= p + ( ) p

1

^{p =} ( ) ^p

¹

Eingesetzt in die explizite Formel von Binet liefert:

a

=

1₂

( ( a

a

)

+ ( a

a

)

)

a

=

2

( )

( ) ^p

¹

⁺ ( ) ^p

¹

a

=

(

+

)

Das erinnert an die Definitionen von cos und cosh.

Wir machen nun eine Fallunterscheidung bezüglich p.

3.2.1 |p| < 1 In diesem Fall ist:

= p + ( ) p

1

^{= p + i 1 p}

= p

+ 1 p

= 1

arg ( )

^{= arccos} ( ) ^{p =}

Es ist also:

= e

Die explizite Formel von Binet wird zu:

a

=

(

+

) ⁼

( ^e

^{+ e}

) ^{= cos ( ) n}

3.2.2 p > 1 Hier ist:

= p + ( ) p

1

^{> 0} Weiter ist:

ln ( )

^{= ln p +} ( ) ^p

¹

⁼

Formel- sammlung

arcosh ( ) p ⁼

Die explizite Formel von Binet wird zu:

a

=

(

+

) ⁼

( ^e

^{( )}

^{+ e}

^{( )}

) ⁼

^{( e}

^{+ e}

^{) = cosh ( ) n}