12. Ubung zur Vorlesung Theoretishe Physik A
Universitat Karlsruhe WS 2004/05
Prof.Dr. Gerd Shon| Dr. MatthiasEshrig
www-tfp.physik.uni-karlsruhe.de/Lehre/
Die Aufgabendieses
UbungsblattessindZusatzaufgaben,keinePihtaufgaben.
Siekonnenmit HilfedieserAufgabennohihr Punktekontoverbessern.
AbgabedershriihenLosungen:Freitag,11.02.2005
Aufgabe 42 VolumenintegrationinPolarkoordinaten: (4Punkte)
a) Zeigen Sie anhand einerSkizze, dass dasVolumenelementdV d 3
r =
dxdydz inPolarkoordinatendurh r 2
sindrddgegebenist.
(2Punkte)
b) BestimmenSie dasVolumen einer Kugel vom Radius R ,indemSie die
Integration
V = Z
r<R
dV (1)
inPolarkoordinatendurhfuhren.(2 Punkte)
Aufgabe 43 ShwerepotentialeinerhomogenenKugel: (11Punkte)
DasShwerepotentialeinesMassenelementsdm amOrt~r 0
wirddurh
dU(~r)= G dm
j~r ~r 0
j
(2)
mitderGravitationskonstantenGgegeben.
a) BerehnenSie das GravitationspotentialU(r) einerKugel vom Radius
R mit homogener Massenverteilung im Abstand r > R vom Zentrum
derKugel,indemSieimobigenAusdrukdm durhd 3
r 0
ersetzen,und
mittelsPolarkoordinaten
uberdasKugelvolumenintegrieren.Hierbeiist
die(konstante)MassendihtederKugel.
Hinweis: Zeigen Sie zunahst j~r ~r 0
j = p
r 2
+r 02
2rr 0
os 0
, wobei
r;;diePolarkoodinatenvon~rundr 0
; 0
; 0
diePolarkoodinatenvon~r 0
seien.Das auftretende Winkelintegralkann durh dieSubstitution u=
os 0
gelostwerden.(4 Punkte)
b) BestimmenSiedasPotentialderhomogenenKugelnunauhiminneren
derKugel.FuhrenSiedazudieIntegration
uberr
0
inzweiShrittenaus:
BestimmenSiezunhstdenBeitragzumIntegralvomBereih0<r 0
<r
unddann denBeitragvonBereihr<r 0
<R .(3Punkte)
) Zeihnen Sie das Potential der Kugel U(r) fur den gesamten Bereih
r<Rundr>R .(1Punkt)
d) BerehnenSiedieShwerekraft
~
F = m
0
rU derKugelaufeinePunkt-
massem
0
imAbstandrvomKugelmittelpunktfurdiebeidenFaller<R
undr>R .(2 Punkte)
e) Zeigen Sie, dassfur den Fallr <R die ShwerekraftderKugel auf die
Punktmassem
0
gleih derShwerekraft ist, dieman erhalt, wenn man
denTeilderMassenverteilungderKugelmitr 0
<rimUrsprungzueiner
PunktmassevereinigtunddenTeilmitr 0
>rinsUnendlihevershiebt.
