LOOP-Programme / LOOP-Berechenbarkeit

Formale Sprachen und Komplexit¨ at

Sommersemester 2019

Zentral¨ ubung 27.06.2019:

LOOP-, WHILE-, GOTO-Programme

Prof. Dr. David Sabel

LFE Theoretische Informatik

Letzte ¨Anderung der Folien: 27. Juni 2019

LOOP-Programme / LOOP-Berechenbarkeit

Wiederholung:

LOOP-Programme Syntax (informell)

x

:= x

± c P

; P

LOOP x

DO P END LOOP-Berechenbarkeit

Totale Funktion f : N

→ N ist LOOP-berechenbar, wenn es ein LOOP-Programm gibt, dass ausgef¨ uhrt mit Variablenbelegung ρ = {x

7→ n

, . . . , x

7→ n

} mit einer Variablenbelegung ρ

endet, sodass ρ

(x

) = f (n

, . . . , n

)

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 2/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

LOOP-Programme erstellen

Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Funktionen LOOP-berechenbar sind.

Gebe dabei das bezeugende LOOP-Programm vollst¨ andig und ohne Abk¨ urzungen an.

a) +(n

, n

) = n

+ n

b) −(n

, n

) = max{0, n

− n

} c) ∗(n

, n

) = n

∗ n

d) b (n

, n

) = n

e) = (n

, n

) =

1, wenn n

= n

0, sonst

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 3/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

LOOP-Programme erstellen

a) +(n

, n

) = n

+ n

Beachte: LOOP-Programm empf¨ angt n

uber ¨ x

, n

¨ uber x

und muss n

+ n

in x

zur Verf¨ ugung stellen.

Idee: Addiere x

mal 1 zum Wert von x

. LOOP-Programm:

x

:= x

+ 0;

LOOP x

DO x

:= x

+ 1 END

Dieses Programm berechnet +, da

({x17→n1, x27→n2}, x0:=x1+ 0;LOOPx2DOx0:=x0+ 1END)

−−−→

LOOP

({x17→n1, x27→n2, x07→n1},LOOPx2DOx0:=x0+ 1END)

−−−→

LOOP

({x17→n1, x27→n2, x07→n1}, x0:=x0+ 1;. . .;x0:=x0+ 1

| {z }

n2-mal

)

−−−→

LOOP

n2({x07→n1+ 1 +. . .+ 1

| {z }

n2-mal

}, ε) = ({x07→n1+n2}, ε)

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 4/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

LOOP-Programme erstellen

b) −(n

, n

) = max{0, n

− n

}

Idee: Subtrahiere x

mal 1 vom Wert von x

. LOOP-Programm:

x

:= x

+ 0;

LOOP x

DO

x

:= x

− 1//liefert 0 wenn x

schon 0 END

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 5/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

LOOP-Programme erstellen

c) ∗(n

, n

) = n

∗ n

Idee: Addiere x

mal x

zur 0.

LOOP-Programm (optimiert):

LOOP x

DO // x

-mal x

addieren LOOP x

DO// x

-mal 1 addieren

x

:= x

+ 1 END

END

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 6/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

LOOP-Programme erstellen

d) b (n

, n

) = n

Idee: Multipliziere x

mal x

zur 1, d.h. 1 ·x

· · · x

| {z }

x2-mal

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 7/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

LOOP-Programme erstellen

e) = (n

, n

) =

1, wenn n

= n

0, sonst

Idee: Berechne −(n

, n

) und −(n

, n

) und pr¨ ufe, dass beides mal 0 raus kommt.

LOOP-Programm:

x

:= x

+ 1;

x

:= x

+ 0;

x

:= x

+ 0;

LOOP x

DO x

:= x

− 1 END;

LOOP x

DO x

:= x

− 1 END;

LOOP x

DO x

:= x

+ 0 END;

LOOP x

DO x

:= x

+ 0 END

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 8/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

LOOP-Programme

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion prime(x) =

1, wenn x Primzahl 0, wenn x keine Primzahl LOOP-berechenbar ist. Sie d¨ urfen die Abk¨ urzungen

x

:= c f¨ ur das Programm, das x

den Konstantenwert c zuweist

x

:= x

∗ x

f¨ ur das Programm, das x

das Produkt der Werte von x

und x

zuweist

x

:= x

== x

f¨ ur das Programm,das x

den Wert 0 oder 1 zuweist, jenachdem ob die Werte von x

und x

verschieden oder gleich sind.

verwenden.

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 9/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

Ideen zum Programm f¨ ur prime

F¨ ur x

> 2, teste, ob es x

, x

gibt mit x

∗ x

= x

und x

, x

> 1

F¨ alle x

≤ 2 werden extra behandelt Obere Grenze f¨ ur x

, x

ist eigentlich d √

x

e Wir nehmen zuviel: x

, funktioniert immer noch

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 10/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

Programm, dass prime(x ₁ ) berechnet

LOOP-Programm:

x

:= 0;

x

:= x

− 1;

LOOP x

DO x

:= 1 END; // setzt x

auf 1, wenn x

> 1 x

:= 2;

LOOP x

DO x

:= 2;

LOOP x

DO x

:= x

∗ x

; x

:= x

== x

;

LOOP x

DO x

:= 0 END; // Produkt gefunden x

:= x

+ 1

END;

x

:= x

+ 1 END

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 11/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

WHILE-Programme / GOTO-Programme

Wiederholung:

WHILE-Programme, Syntax informell x

:= x

± c

P

; P

LOOP x

DO P END WHILE x

6= 0 DO P END GOTO-Programme, Syntax informell Programm M

: A

; . . . ; M

: A

mit A

x

:= x

± c GOTO M

IF x

= 0 THEN GOTO M

HALT

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 12/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

Einfache Programme

Aufgabe

Zeigen, dass die folgenden Funktionen WHILE- und

GOTO-berechenbar sind, indem Sie sowohl ein WHILE- als auch ein GOTO-Programm angeben, welche die Berechenbarkeit bezeugen.

a) f(n

, n

) = n

+ n

b) f(n

, n

) = n

∗ n

c) f(n

, n

) =

n

− n

, wenn n

≥ n

undefiniert, sonst

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 13/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

Einfache Programme

a) f (n

, n

) = n

+ n

WHILE-Programm:

x

:= x

+ 0;

x

:= x

+ 0;

WHILE x

6= 0 DO x

:= x

+ 1;

x

:= x

− 1 END

GOTO-Programm:

M

: x

:= x

+ 0;

M

: x

:= x

+ 0;

M

: IF x

= 0 THEN GOTO M

; M

: x

:= x

+ 1;

M

: x

:= x

− 1;

M

: GOTO M

; M

: HALT

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 14/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

Einfache Programme

b) f (n

, n

) = n

∗ n

WHILE-Programm:

x

:= x

+ 0;

x

:= x

+ 0;

WHILE x

6= 0 DO x

:= x

+ 0 : WHILE x

6= 0 DO

x

:= x

+ 1;

x

:= x

− 1;

END

x

:= x

− 1;

END

GOTO-Programm:

M

: x

:= x

+ 0;

M

: x

:= x

+ 0;

// Aeussere Berechnung fuer * M

: IF x

= 0 THEN GOTO M

; M

: GOTO M

;

M

: x

:= x

− 1;

M

: GOTO M

;

// Innere Berechnung fuer + M

: x

:= x

;

M

: IF x

= 0 THEN GOTO M

; M

: x

:= x

+ 1;

M

: x

:= x

− 1;

M

: GOTO M

; M

: HALT

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 15/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

Einfache Programme

c) f(n

, n

) =

n

− n

, wenn n

≥ n

undefiniert, sonst WHILE-Programm:

x

:= x

+ 0;

x

:= x

+ 0;

WHILE x

6= 0 DO

x

:= x

+ 1; //x

:= 1

LOOP x

DO x

:= x

+ 0 END; //IF x

6= 0 THEN x

:= 0 WHILE x

6= 0 DO x

:= x

+ 0 END;

x

:= x

− 1;

x

:= x

− 1

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 16/17 LOOP Programme WHILE & GOTO

Einfache Programme

c) f (n

, n

) =

n

− n

, wenn n

≥ n

undefiniert, sonst GOTO-Programm:

M

: x

:= x

+ 0;

M

: x

:= x

+ 0;

M

: IF x

= 0 THEN GOTO M

; M

: IF x

= 0 THEN GOTO M

; M

: x

:= x

− 1;

M

: x

:= x

− 1;

M

: GOTO M

; M

: HALT;

M

: GOTO M

TCS | Zentral¨ubung 27.06.2019 | SoSe 2019 17/17 LOOP Programme WHILE & GOTO