VL-11: LOOP und WHILE Programme I

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VL-11: LOOP und WHILE Programme I

(Berechenbarkeit und Komplexit¨ at, WS 2017) Gerhard Woeginger

WS 2017, RWTH

BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 1/46

Organisatorisches

I N¨achste Vorlesung:

Mittwoch, November 29, 14:15–15:45 Uhr, Roter H¨orsaal

I Webseite:

http://algo.rwth-aachen.de/Lehre/WS1718/BuK.php

Wiederholung

Wdh.: Berechenbarkeitslandschaft

rekursiv aufz¨ahlbare

Probleme

H

H D

Probleme mit rekursiv aufz¨ahlbarem Komplement H H D Entscheidbare

Probleme

Unentscheidbare Probleme mit unentscheidbarem Komplement H_tot

MPCP PCP

Dioph

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Wdh.: Turing-m¨ achtige Rechnermodelle

Definition

Ein Rechnermodell wird alsTuring-m¨achtigbezeichnet,

wenn jede Funktion, die durch eine TM berechnet werden kann, auch durch dieses Rechnermodell berechnet werden kann.

I Da die Registermaschine (RAM) die Turingmaschine simulieren kann, ist sie Turing-m¨achtig

I Auch die Mini-RAM (eine viel schwächere Variante der RAM mit stark eingeschränktem Befehlssatz) ist Turing-mächtig

Wdh.: Turing-M¨ achtigkeit

I Reines HTML (ohne JavaScript; ohne Browser) ist nicht Turing-m¨achtig

I Tabellenkalkulationen (ohne Schleifen) sind nichtTuring-m¨achtig

I Der Lambda Calculus von Alonzo Church ist ¨aquivalent zur TM, und daher Turing-m¨achtig

I Die µ-rekursiven Funktionen von Kurt Gödel sind äquivalent zur TM, und daher Turing-mächtig

I Alle gängigen höheren Programmiersprachen sind Turing-mächtig:

Algol, Pascal, C, FORTRAN, COBOL, Java, Smalltalk, Ada, C++, Python, LISP, Haskell, PROLOG, etc.

I PostScript, Tex, Latex sind Turing-m¨achtig

I Sogar PowerPoint ist Turing-m¨achtig (wegen seiner Animated Features)

Vorlesung VL-11

LOOP und WHILE Programme I

IDie Programmiersprache LOOP IDie Programmiersprache WHILE IWHILE versus LOOP

IWHILE ist Turing-m¨achtig

Die Programmiersprache LOOP

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Programmiersprache LOOP

Wir betrachten eine einfache Programmiersprache namens LOOP, deren Programme aus den folgenden syntaktischen Komponenten aufgebaut sind:

I Variablen: x1 x2 x3 . . .

I Konstanten: 0 1 2 . . .

I Symbole: ; := + −

I Schl¨usselw¨orter: LOOP DO ENDLOOP

LOOP / Syntax (1)

Die Syntax von LOOP ist induktiv definiert.

Induktive Definition / Induktionsanfang:

Zuweisungen

F¨ur jede Konstantec ∈Nsind die Zuweisungen x_i := x_j+c und

x_i := x_j−c LOOP-Programme.

LOOP / Syntax (2)

Induktive Definition / Induktionsschritte:

Hintereinanderausf¨uhrung

FallsP1 und P2 LOOP-Programme sind, so ist auch P1; P2

ein LOOP-Programm.

LOOP-Konstrukt

FallsP ein LOOP-Programm ist, so ist auch LOOPxi DOP ENDLOOP

ein LOOP-Programm.

LOOP / Semantik (1): Zuweisungen

I Die Eingabe ist in den Variablenx1, . . . ,xn enthalten.

I Alle anderen Variablen werden mit 0initialisiert.

I Das Resultat eines LOOP-Programms ist die Zahl, die sich am Ende der Abbarbeitung in der Variablenx1 ergibt.

LOOP-Programme der Formxi :=xj+c

sind Zuweisungen des Wertesxj+c an die Variablexi.

LOOP-Programme der Formxi :=xj−c

sind Zuweisungen des Wertesxj−c an die Variablexi.

Anmerkung: Die Variablen d¨urfen nur nat¨urliche Werte annehmen.

Daher verwenden wir diemodifizierteSubtraktion:

Fallsxj <c gilt, so wird das Resultatxi auf0gesetzt.

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LOOP / Semantik (2): Hintereinanderausf¨ uhrung

I Alle anderen Variablen werden mit0initialisiert.

I Das Resultat eines LOOP-Programms ist die Zahl, die sich am Ende der Abbarbeitung in der Variablenx₁ ergibt.

In einem LOOP-ProgrammP1;P2

wird zun¨achstP₁ und danachP₂ ausgef¨uhrt.

LOOP / Semantik (3): LOOP-Konstrukte

I Das Resultat eines LOOP-Programms ist die Zahl, die sich am Ende der Abbarbeitung in der Variablenx1 ergibt.

Das ProgrammLOOPxi DOP ENDLOOPhat folgende Bedeutung:

P wirdxi mal hintereinander ausgef¨uhrt.

Anmerkung: Nur der Wert vonx_i zu Beginn der Schleife ist relevant.

Andert sich der Variablenwert von¨ x_i im Inneren vonP,

so hat dies keinen Einfluss auf die Anzahl der Wiederholungen.

LOOP / Semantik (4)

Ein LOOP-ProgrammP mitk Variablen

berechnet einek-stellige Funktion der Form[P] :N^k →N^k. IstP die Zuweisungxi:=xj+c,

so ist [P](r1, . . . ,rk) = (r1, . . . ,r_i−1,rj+c,ri+1, . . . ,rk).

IstP die Zuweisungxi:=xj−c,

ist [P](r1, . . . ,rk) = (r1, . . . ,r_i−1,rj−c,ri+1, . . . ,rk)fallsrj ≥c, und andernfalls[P](r1, . . . ,rk) = (r1, . . . ,r_i−1,0,ri+1, . . . ,rk).

IstP =P1;P2 eine Hintereinanderausf¨uhrung, so ist [P](r1, . . . ,rk) = [P2]([P1](r1, . . . ,rk)).

IstP =LOOPxi DOQ ENDLOOPein LOOP-Konstrukt, so gilt [P](r1, . . . ,rk) = [Q]^rⁱ(r1, . . . ,rk).

LOOP: Beispiele und Macros

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LOOP-Programme / Beispiele (1)

Das folgende Programm simuliert die Zuweisungxj:=xi.

Beispiel A

xj :=xi+0

Es seix_zero eine Dummy-Variable, die mit0initialisiert wird und deren Wert nie ver¨andert wird. Das folgende Programm simuliert dann die Zuweisungxj:=c eines konstanten Wertes an eine Variable.

Beispiel B

x_j :=x_zero+c

LOOP-Programme / Beispiele (2)

Beispiel C

x₁:=x₂;

LOOPx₃ DOx₁:=x₁+1 ENDLOOP Dieses Programm berechnet die Additionx₁:=x₂+x₃

Beispiel D

x1:=0;

LOOPx3 DOx1:=x1+x2ENDLOOP Dieses Programm berechnet die Multiplikationx₁:=x₂·x₃

LOOP-Programme / Beispiele (3)

Ubung ¨

Skizzieren Sie LOOP-Programme, die die folgenden Operationen berechnen:

I Die modifizierte Subtraktionx1:=x2−x3

(die f¨ur x2<x3 den Wert0ergibt)

I Die Division ohne Restx₁:=x₂ DIVx₃

I Die Modulooperationx1:=x2 MODx3

LOOP-Programme / Beispiele (4)

Es seienP1 undP2 LOOP-Programme, in denen die drei Variablenx1,x2 undx3 nicht vorkommen.

Beispiel E

x2:=1; x3:=0;

LOOPx1 DOx2:=0;x3:=1 ENDLOOP;

LOOPx2 DOP1ENDLOOP;

LOOPx3 DOP2ENDLOOP Dieses Programm entspricht dem Konstrukt:

IFx₁=0 THENP₁ ELSEP₂ ENDIF

Ubung ¨

Skizzieren Sie ein LOOP-Programm,

das“IFx1=c THENP1 ELSEP2 ENDIF”simuliert.

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Die Programmiersprache WHILE

Programmiersprache WHILE

Die Programme der Programmiersprache WHILE sind aus den folgenden syntaktischen Komponenten aufgebaut:

I Variablen: x₁ x₂ x₃ . . .

I Konstanten: 0 1 2 . . .

I Symbole: ; := + − 6=

I Schl¨usselw¨orter: WHILE DO ENDWHILE

WHILE / Syntax

I Die Syntax von WHILE ist induktiv definiert, und stimmt weitgehend mit der Syntax von LOOP ¨uberein.

I Zuweisungenxi := xj+c undxi := xj−c und

Hintereinanderausf¨uhrungP₁; P₂sind genau wie in LOOP definiert.

I Der Hauptunterschied zu LOOP besteht im Schleifen-Konstrukt.

WHILE-Konstrukt

FallsP ein WHILE-Programm ist undxi eine Variable, so ist auch WHILExi 6=0 DOP ENDWHILE

ein WHILE-Programm.

WHILE / Semantik

I Das Resultat eines WHILE-Programms ist die Zahl, die sich am Ende der Abbarbeitung in der Variablenx1 ergibt.

Das ProgrammWHILExi 6=0 DOP ENDWHILEhat folgende Bedeutung:

P wird solange ausgef¨uhrt, bisx_i den Wert0erreicht.

Ein WHILE-ProgrammP mitk Variablen

berechnet einek-stellige Funktion der Form[P] : N^k →N^k. IstP=WHILEx_i 6=0 DOQ ENDWHILEein WHILE-Konstrukt,

so ist[P](r₁, . . . ,r_k) = [Q]^`(r₁, . . . ,r_k)f¨ur die kleinste Zahl`, f¨ur die diei-te Komponente von[Q]^`(r₁, . . . ,r_k)gleich0ist.

Falls solch ein` nicht existiert, so ist[P](r1, . . . ,rk)undefiniert.

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WHILE versus LOOP

WHILE versus LOOP (1)

Beobachtung

Die LOOP-Schleife

LOOPxi DOP ENDLOOP

kann durch die folgende WHILE-Schleife simuliert werden:

y :=xi

WHILE y6=0 DOy :=y−1; P ENDWHILE

Ergo: Jede LOOP-berechenbare Funktionf:N^k →Nist auch WHILE-berechenbar.

WHILE versus LOOP (2)

Es gibt WHILE-Programme, die nicht terminieren:

Beispiel

x₁:=1;

WHILEx16=0 DOx1:=x1+1 ENDWHILE

LOOP-Programme terminieren immer:

Satz

Jedes LOOP-Programm h¨alt auf jeder m¨oglichen Eingabe nach endlich vielen Schritten an.

Beweis: Durch Induktion ¨uber den Syntax-Baum.

IHintereinanderausf¨uhrungP=P₁;P₂

ILOOP-KonstruktP=LOOPx_iDOQENDLOOP

WHILE versus LOOP (3)

Wir werden zeigen:

Satz (wird heute bewiesen)

Die Programmiersprache WHILE istTuring-m¨achtig.

(In anderen Worten: Jede berechenbare Funktion kann von einem WHILE-Programm berechnet werden.)

Satz (wird in der n¨ achsten Vorlesung bewiesen)

Die Programmiersprache LOOP istnicht Turing-m¨achtig.

(In anderen Worten: Es existiert eine berechenbare Funktion, die von keinem LOOP-Programm berechnet werden kann.)

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M¨ achtigkeit von WHILE

Satz

Die Programmiersprache WHILE ist Turing-m¨achtig.

Beweis:

Wir zeigen, dass jede Funktion, die durch eine TM berechnet werden kann, auch durch ein WHILE-Programm berechnet werden kann.

Simulation von TM durch WHILE (1)

Wir betrachten eine TMM.

I ZustandsmengeQ={q0, . . . ,qt}

I Der Anfangszustand istq₁, und der Endzustand istq₀

I TM im Zustandqi ⇐⇒ WHILE Variable Zustand=i

I BandalphabetΓ ={1,2,B}

I WHILE kodiert Buchstaben 1 durch Dezimalziffer 1, Buchstaben 2 durch Dezimalziffer 2, und BuchstabenB durch Dezimalziffer 0.

I Alle WHILE Variablen enthalten im Folgenden Dezimalzahlen

Simulierte Turingmaschine M:

· · ·

· · · B 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 B B B

δ 1 2 B

q1

q2

q3 (q2,1,R)

q₃

Entsprechende Konfiguration: 1122q3212111

Drei entsprechende Variablen im WHILE-Programm:

Band-vor-Kopf Zustand pfoK-ba-danB

1122 3 111212

Variable BandVorKopf Variable Zustand Variable BandAbKopf

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Simulation von TM durch WHILE (2)

Jeder Rechenschritt vonM wird durch einige WHILE-Befehle simuliert.

Jeder Rechenschritt der TM besteht (gem¨ ass Uberf¨ ¨ uhrungsfunktion) aus

(A) Update von Zustand

(B) Update von Symbol unterm Kopf (C) Bewegung des Kopfes L,R,N

Beginn der Rechenschritt Simulation

I Aktueller Zustand steht in der VariablenZustand

I Das Symbol unterm Kopf erhalten wir durch den Befehl UntermKopf:=BandAbKopf MOD 10

Simulation von TM durch WHILE (3A)

Jeder Rechenschritt der TM besteht (gem¨ ass Uberf¨ ¨ uhrungsfunktion) aus

Der Zustand wird auf neuen Zustandq_i gesetzt, indem man die Zuweisung Zustand:=i ausf¨uhrt

Simulation von TM durch WHILE (3B)

Jeder Rechenschritt der TM besteht (gem¨ ass Uberf¨ ¨ uhrungsfunktion) aus

Das Symbol unterm Kopf wird aufσ∈ {0,1,2}gesetzt, indem man das folgende Programmst¨uck ausf¨uhrt:

BandAbKopf:=BandAbKopf DIV 10;

BandAbKopf:=10·BandAbKopf+σ;

UntermKopf:= σ;

Simulation von TM durch WHILE (3C-links)

Jeder Rechenschritt der TM besteht (gem¨ ass Uberf¨ ¨ uhrungsfunktion) aus

Der Kopf wird einen Schritt nach links (L) bewegt, indem man:

UntermKopf:=BandVorKopf MOD 10;

BandVorKopf:=BandVorKopf DIV 10;

BandAbKopf:=10·BandAbKopf+UntermKopf;

(10)

Simulation von TM durch WHILE (3C-rechts)

Jeder Rechenschritt der TM besteht (gem¨ ass Uberf¨ ¨ uhrungsfunktion) aus

Der Kopf wird einen Schritt nach rechts (R) bewegt, indem man:

UntermKopf:=BandAbKopf MOD 10;

BandVorKopf:=10·BandVorKopf+UntermKopf;

BandAbKopf:=BandAbKopf DIV 10;

Simulation von TM durch WHILE (3C-nichts)

Jeder Rechenschritt der TM besteht (gem¨ ass Uberf¨ ¨ uhrungsfunktion) aus

Der Kopf wird nicht bewegt (N),

indem man gar nichts macht und alle Variablen unver¨andert l¨asst:

Simulation von TM durch WHILE (4)

Schlussendlich die Grobstruktur der Simulation:

Initialisierung

Zustand :=1;

BandVorKopf:=0;

BandAbKopf:=Gespiegeltes Eingabewort als Dezimalzahl;

Die ¨ aussere Schleife

WHILE Zustand6=0 DO

IF Zustand=1 AND UntermKopf=0 THEN SchrittENDIF;

...

IF Zustand=t AND UntermKopf=2 THEN SchrittENDIF;

ENDWHILE

Ausblick: Landschaft um LOOP, WHILE, TM, RAM

TM = RAM = WHILE = entscheidbar

LOOP = primitiv rekursiv + − × ^a_b a^b ⁿk

A(m,n)

Ackermann Funktion

(11)

Die Ackermann Funktion

Ackermann Funktion: Definition

Definition

Die Ackermann FunktionA:N²→Nist folgendermassen definiert:

A(0,n) = n+1 fürn≥0 A(m+1,0) = A(m,1) fürm≥0 A(m+1,n+1) = A(m,A(m+1,n)) fürm,n≥0

Ackermann Funktion: Beispiele (1)

Ein paar Beispiele f¨urm=1:

A(1,0) =A(0,1) =2

A(1,1) =A(0,A(1,0)) =A(1,0) +1=3 A(1,2) =A(0,A(1,1)) =A(1,1) +1=4 A(1,3) =A(0,A(1,2)) =A(1,2) +1=5

Beobachtung

A(1,n) =n+2

Ackermann Funktion: Beispiele (2)

Ein paar Beispiele f¨urm=2:

A(2,0) =A(1,1) =3

A(2,1) =A(1,A(2,0)) =A(2,0) +2=5 A(2,2) =A(1,A(2,1)) =A(2,1) +2=7

Beobachtung

A(2,n) =2n+3

(12)

Ackermann Funktion: Beispiele (3)

Und ein paar Beispiele f¨urm=3:

A(3,0) =A(2,1) =5

A(3,1) =A(2,A(3,0)) =2·A(3,0) +3=13 A(3,2) =A(2,A(3,1)) =2·A(3,1) +3=29 A(3,3) =A(2,A(3,2)) =2·A(3,2) +3=61

Beobachtung

A(3,n) =2ⁿ⁺³−3

Ackermann Funktion: Beispiele (4)

Zusammenfassung der Beispiele

Wenn man den ersten Parameter fixiert ...

I A(1,n) =n+2

I A(2,n) =2n+3

I A(3,n) =2ⁿ⁺³−3

I A(4,n) = 2²^··

·2

| {z } n+3 viele

Zweien

−3

Bereits der Wert A(4,2) =2⁶⁵⁵³⁶−3

ist gr¨osser als die Anzahl aller Atome im Weltraum.