Schwerpunkt und Trägheitsmoment des Wassermoleküls

Schwerpunkt und Trägheitsmoment des Wassermoleküls

a ^x

α

(

^x

^{, y}

)

x y

( x

, y

)

( x

, y

)

Unter Verwendung der Beziehung zur Berechnung des Schwerpunktes für Punktmassen

M m r r

3

1 i

i i s

∑

=

r r

erhält man die Koordinaten

M m x x

3

1 i

i i s

∑

= _und

M m y y

3

1 i

i i s

∑

=

Die z-Koordinate des ebenen Problems setzen wir gleich Null.

Für die Berechnung der x-Koordinate des Schwerpunktes erhält man

0 M / ) m x m

x m

x (

x

=

−

+

=

Dieses Resultat war bereits aufgrund der Symmetrie des Problems zu erwarten.

Für die y-Koordinate des Schwerpunktes folgt:

( ^{2 y m y m} ) ^M

y

=

+

Gegeben seien der Winkel β = α/2, der Abstand a sowie die relativen Atommassen m1,2 = mH = 1 und m3 = mO = 16. Aus der Geometrie der Anordnung erhält man

β

±

=

= x asin

x_{H 1,2} x_O = x₃ =0 y_H = y_1,2 = −acosβ

y

= 0

Die (relative) Gesamtmasse beträgt M = 18.

Setzt man diese Werte in die Beziehung für ys ein, erhält man

9

cos a 9

y

y

Somit haben wir bezüglich unseres gewählten Koordinatensystems folgende Schwerpunktkoordinaten:

 

 



 − β

= , 0

9 cos , a

0 r

r

Damit liegt der Schwerpunkt SP sehr nahe beim Sauerstoffatom.

(

^x

^{, y}

)

x y

SP a

( ^x

^{, y}

)

x

( ^x

^{, y}

)

Will man die im Molekül gespeicherte Rotationsenergie berechnen, benötigt man das Trägheitsmoment bezüglich der Rotationsachsen.

Freie Moleküle rotieren um ihre sogenannten Hauptträgheitsachsen.

Diese Achsen gehen durch den Schwerpunkt und sind so gerichtet, dass die Trägheitsmomente extremal sind. Für eine (von 3 Hauptträg- heitsachsen) Rotationsachse soll im folgenden das Trägheitsmoment angegeben werden.

Unter Verwendung von

i 3

1 i

2 i m r

I

∑

=

= und

9 y y

r

r₁ = _O = _s = ^H

H s

H H

3

2 y

9 y 8 y

r r

r = = = − =

kann man das Trägheitsmoment berechnen. Man muss jetzt allerdings die absoluten Atommassen verwenden. Im folgenden ist mit mH die Protonenmasse gemeint. Durch Einsetzen erhält man:

β

= m_Ha² cos² 81

I 144

a

( x

, y

)

( ^x

^{, y}

) (

^x

^{, y}

)

SP ω r

s

H

y

y −

x

y