Über das Trägheitsmoment aus maßtheoretischer Sicht

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Mathematik und

Informatik

Lehrgebiet Stochastik Forschungsbericht

Eugen Grycko, Werner Kirsch, Frank Recker

Über das Trägheitsmoment aus

maßtheoretischer Sicht

UBER DAS TR ¨¨ AGHEITSMOMENT AUS MASSTHEORETISCHER SICHT

Eugen Grycko¹, Werner Kirsch¹, Frank Recker²

1Fakult¨at f¨ur Mathematik und Informatik FernUniversit¨at

Universit¨atsstraße 1 Hagen / GERMANY

2 Fachbereich Mathematik, Naturwissenschaften und Informatik Technische Hochschule Mittelhessen

Wiesenstraße 14 35390 Gießen / GERMANY

1. Einleitung

Der vorliegende Beitrag ist in erster Linie als Motivation und Ausblick zu unserem Kurs [3] gedacht und besch¨aftigt sich mit dem fundamentalen Be- griff des Tr¨agheitsmoments der Mechanik, der bei der Betrachtung von Ro- tationsbewegungen von Materie eine Rolle spielt. Wir zeigen, dass er sich auf nat¨urliche Weise verallgemeinern l¨asst, wenn Kenntnisse der Maßtheorie vorliegen. Wir deduzieren auch einige elementare Eigenschaften des verallge- meinerten Tr¨agheitsmoments, insbesondere den Satz von Steiner, der sich in dem Kontext elegant beweisen l¨asst.

2. Materie im Euklidischen Raum

Als Beschreibung eines Aspekts von Materie, die sich im Euklidischen Raum R^d befindet (d ∈ {2,3}), wird ein endliches Maß µ auf dem Messraum (R^d,B^d) angesetzt, wobeiB^ddie Borelscheσ-Algebra bezeichnet.µ(A) quan- tifiziert die Materie, mit welcher der Raumausschnitt A ∈ B^d belegt ist;

insbesondere ist µ(R^d) die Gesamtmasse der betrachteten Materie.

Vom Maßµsetzen wir durchgehend voraus, dass sein zweites Moment endlich ist:

(2.1)

Z

R^d

|x|²dµ(x)<∞.

(|.| bezeichnet die Euklidische Norm).

Unter der Voraussetzung (2.1) l¨asst sich der Schwerpunkt S(µ) der betrach- teten Materie einf¨uhren:

(2.2) S(µ) := 1

µ(R^d)· Z

R^d

x dµ(x),

falls die Bedingung

(2.3) 0< µ(R^d)<∞

erf¨ullt ist. Naheliegenderweise ist das Integral (2.2) einer vektorwertigen Funktion komponentenweise definiert.

Um nun das Tr¨agheitsmoment der Materie einzuf¨uhren, m¨ussen wir die F¨alle d= 2 und d= 3 separat betrachten.

3. Der Fall d= 2

Sei µein endliches Maß auf (R²,B²) derart, dass (2.1) und (2.3) erf¨ullt sind.

Wir betrachten einen Drehpunkta∈R², bez¨uglich dem das Tr¨agheitsmoment definiert wird:

(3.1) Θ(µ, a) :=

Z

R²

|x−a|²dµ(x).

Der Wert Θ(µ, a) l¨asst sich als das auf den Drehpunktabezogene Tr¨agheitsmoment der Materie interpretieren.

Wir formulieren und beweisen den Satz von Steiner:

3.1 Satz

Seien a ∈ R² und µ ein endliches Maß auf (R²,B²) derart, dass (2.1) und (2.3) erf¨ullt sind. Dann gilt:

(3.2) Θ(µ, a) = Θ(µ, S(µ)) +|a−S(µ)|²·µ(R²).

Insbesondere ist das Tr¨agheitsmoment Θ(µ, a) minimal, falls der Drehpunkt a mit dem Schwerpunkt S(µ) koinzidiert.

Beweis. Es gilt:

hx−a, x−ai − hx−S(µ), x−S(µ)i

= −2hx, ai+ha, ai+ 2hx, S(µ)i − hS(µ), S(µ)i

f¨ur x ∈ R², wobei h., .i das Standard-Skalarprodukt bezeichnet. Das Ausin- tegrieren nach der Variablen x bez¨uglich µliefert

Θ(µ, a)−Θ(µ, S(µ)) =µ(R²)· ha−S(µ), a−S(µ)i und somit das Gew¨unschte.

4. Der Fall d= 3

Sei µein endliches Maß auf (R³,B³) derart, dass (2.1) und (2.3) erf¨ullt sind.

Sei ferner G := {a+λe|λ ∈ R} eine Gerade, wobei a, e ∈ R³ und |e| = 1 ist. Durch eine Standard-Rechnung kann man sich davon ¨uberzeugen, dass der quadratische Abstand zwischen einem Punkt x∈ R³ und G gegeben ist durch:

(4.1) dist(x, G)² := min{|y−x|² |y∈G}=ha−x, a−xi − ha−x, ei² ≥0.

Beweis. Jeder Punkt y = y(λ) ∈ G l¨asst sich darstellen, als y(λ) = a+λe mit einem λ∈R. Damit gilt

|y(λ)−x|² = hy(λ)−x, y(λ)−xi

= ha+λe−x, a+λe−xi

= ha−x, a−xi+ 2ha−x, λei+hλe, λei

= ha−x, a−xi+ 2λha−x, ei+λ²he, ei

= ha−x, a−xi+ 2λha−x, ei+λ².

Dieses Polynom zweiten Grades besitzt ein eindeutiges Minimum. Durch Dif- ferenzieren und Nullsetzen ergibt sich, dass das Minimum f¨urλ=−ha−x, ei angenommen wird. Setzen wir dieses λ ein, so erhalten wir die Behaup- tung.

Nun wird G als eine Rotationsachse interpretiert. Das Tr¨agheitsmoment der Materie, deren Verteilung ¨uber R³ durch das Maß µ beschrieben ist, bezogen auf die Achse G, l¨asst sich definieren als

(4.2) Θ(µ, G) :=

Z

R³

dist(x, G)²dµ(x).

Sei G := {S(µ) +λe|λ ∈ R} die durch den Richtungsvektor e eindeutig bestimmte Gerade, welche durch den Schwerpunkt S(µ) der Materie geht.

Wir formulieren und beweisen den Satz von Steiner.

4.1 Satz:

Sei G := {a+λe|λ ∈ R} eine beliebige Gerade in R³ mit Richtungsvektor e∈S² aus der Einheitssph¨are S² ⊂R³. Es gilt:

Θ(µ, G) +µ(R³)·dist(S(µ), G)² = Θ(µ, G),

d.h. das Tr¨agheitsmoment der Materie ist bez¨uglich G minimal, wenn man zur Konkurrenz alle Geraden mit dem Richtungsvektor e zul¨asst.

Beweis. Wir nehmen o.B.d.A. an, dass µ(R³) = 1 und < a, e >= 0 ist. Sei x∈R³ beliebig. (4.1) und eine Standard-Rechnung implizieren

dist(x, G)²−dist(x, G)²

= (ha−x, a−xi − ha−x, ei²)−(hS(µ)−x, S(µ)−xi − hS(µ)−x, ei²)

= ha, ai −2· ha, xi − hS(µ), S(µ)i+ 2· hS(µ), xi − hS(µ), ei²

+ 2· hS(µ), ei · hx, ei;

das Ausintegrieren nach der Variablen x bez¨uglich µ ergibt:

Θ(µ, G)−Θ(µ, G) = hS(µ)−a, S(µ)−ai − hS(µ)−a, ei²

= dist(S(µ), G)² ≥0

Gem¨aß dem Satz von Steiner kommt den Geraden G, die durch den Schwer- punkts = (s1, s2, s3) :=S(µ) gehen, eine besondere Bedeutung zu. Sie lassen sich insbesondere durch e := (e₁, e₂, e₃) ∈ S² :={u ∈R³| |u| = 1} parame- trisieren:

Ge :={s+λ·e|λ ∈R}.

(4.1) und (4.2) implizieren die G¨ultigkeit der folgenden Identit¨at (4.3) Θ(µ, G_e) =

Z

R³ 3

X

j=1

(x_j−s_j)²dµ(x)−

Z

R³ 3

X

j,k=1

(x_j−s_j)·(x_k−s_k)·e_j·e_kdµ(x)

f¨ure= (e₁, e₂, e₃)∈S²; wir erhalten:

(4.4) Θ(µ, G_e) =

3

X

j=1

ϑ_jj−

3

X

j,k=1

ϑ_jk ·e_j·e_k =

3

X

j=1

ϑ_jj− he, ϑei

f¨ure= (e1, e2, e3)∈S², wobeiϑ = (ϑjk)³_j,k=1 die durch (4.5) ϑjk :=

Z

R³

(xj −sj)·(xk−sk)dµ(x) (j, k = 1,2,3)

definierte Matrix ist.

4.2 Bemerkung:

Seien µ₁ und µ₂ zwei endliche Maße auf (R³,B³) derart, dass (2.1) und die folgenden drei Bedingungen erf¨ullt sind:

(4.6) 0< µ₁(R³) = µ₂(R³)<∞

(4.7)

Z

3

x_jdµ₁(x) = Z

3

x_jdµ₂(x) (j = 1,2,3)

(4.8)

Z

R³

x_j·x_kdµ₁(x) = Z

R³

x_j·x_kdµ₂(x) (j, k = 1,2,3).

Der Satz von Steiner und (4.3)-(4.8) implizieren die Identit¨at

(4.9) Θ(µ₁, G) = Θ(µ₂, G)

f¨ur alle GeradenG⊂R³, d.h. die Tr¨agheitsmomente von µ1 und vonµ2 sind bez¨uglich einer beliebigen Rotationsachse Gjeweils identisch.

Literatur

[1] H. Bauer,Measure and Integration Theory. De Gruyter, Berlin, New York (2001).

[2] J. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, 2. Aufl., Springer (1998).

[3] W. Kirsch,Maß- und Integrationstheorie. Kurs der FernUniversit¨at, Hagen (2015).