TCS
Dr. J¨urgen Koslowski
Theoretische Informatik 2
Aufgabenblatt 3, 2019-05-28
Hausaufgabe 1[22 PUNKTE]
Die folgende dTM M ist ein Entscheider f¨ur copy={w#w : w∈ {a, b}∗}.
qr
qfb qsb q0 qsa qfa
qrej qch ||h , Ni qacc
a||ha, Ni b||hb, Ni
#||h#, Ni a||h , Ri
b||h , Ri
#||h#, Ri
#||h#, Ri
||h , Ni
#||h#, Ri ||h , Ni
||h , Ni ||h , Ni b||hb, Ni
#||h#, Ni
||h , Ni a||ha, Ni
#||h#, Ni
#||h#, Li a||ha, Li
b||hb, Li
@||h@, Li a||h@, Li
b||h@, Li
||h , Ri
@||h@, Ri a||ha, Ri
b||hb, Ri
b||hb, Ri
a||ha, Ri
@||h@, Ri
@||h@, Ri
(1) [8 punkte]Analysieren Sie den Zeitverbrauch von M und bestimmen Sie m¨oglichst pr¨azise eine Funktion IN t IN, die den Zeitverbrauch von M beschr¨ankt.
(2) [8 punkte] Konstruieren Sie einen deterministischen 2-Band Entscheider f¨ur copy mit linearem Zeitverbrauch (also in O(n) ) und begr¨unden Sie, warum die Zeitschranke einge- halten wird.
Anmerkung: Man kann beweisen, dass copy mit einer 1-Band-Maschine nicht in linearer Zeit entschieden werden kann.
(3) [6 punkte] Beschreiben Sie einen deterministischen Entscheider f¨ur copy mit logarithmi- schem Platzverbrauch und begr¨unden Sie, warum die Platzschranke eingehalten wird. (Es ist keine detaillierte Konstruktion erforderlich.)
Zur Erinnerung: Die Maschine muß einread-only-Eingabeband verwenden.
Hausaufgabe 2[12 PUNKTE]
Zeigen oder widerlegen Sie:
(a) [6 punkte] Ist R eine Menge von Funktionen Σ∗ f ∆∗ zwischen endlich erzeugten freien Monoiden, die alle Identit¨atsfunktionen enth¨alt und unter Komposition abgeschlossen ist, und ist C eine Komplexit¨atsklasse, dann ist eine Sprache L ⊆Σ∗ genau dann C- hart/vollst¨andig, wenn ihr Komplement ¯L= Σ∗−L coC-hart/vollst¨andig ist (jeweils bzgl.
many-one Reduktionen aus R).
(b) [6 punkte] NL ist ein unterer Abschnitt bzgl. ≤log, d.h., aus K ≤log L ∈ NL folgt K∈NL.
Hausaufgabe 3[12 PUNKTE]
Zeigen oder widerlegen Sie:
(a) [4 punkte] Die Sprache {1} ⊆ {0,1}∗ ist L-vollst¨andig bzgl. ≤log. (b) [4 punkte] Aus K≤log {1} folgt K∈L.
( c ) [4 punkte] Jede Sprache in L ist L-vollst¨andig.
Abgabe bis Mittwoch, 2019-06-05, 08:00, im Kasten neben IZ 343
