Vektoren im ℝ³
SKRIPT (6 Seiten)
Theoretische Erklärungen und Beispielaufgaben zu folgenden Themenbereichen:
▪ Eigenschaften von Vektoren im ℝ³
▪ Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Zusätzlich:
Erklärvideos (gratis!) zur visuellen Veranschaulichung.
-> QR-Codes im SKRIPT!
Allgemeine Informationen zum Skript
Anwendung des Materials:
Im Skript werden die zu erlernenden Inhalte stets durch einen Theorieblock eingeführt. Im Anschluss sollen Beispielaufgaben gelöst werden, um das Erlernte zu festigen.
Zur visuellen Veranschaulichung und für weitere Informationen werden selbst erstellte YouTube- Videos angeboten. Im Skript sind die Videos mit einem QR-Code versehen, der direkt zum Video führt. In der PDF-Datei kommt man per Klick auf den Link auch zur Erklärung.
Die Musterlösungen findest du (sofern bereits verfügbar) kostenlos auf meiner Homepage unter folgendem Link: https://prof-tegischer.com/24-vektoren-im-r%c2%b3/
Einsatz des Materials
▪
Einsatz für Lehrpersonen als Aufwertung für den eigenen Unterricht („Flipped Classroom“, Erarbeitung oder Festigung des Stoffes anhand des Skriptes, Einsatz der Lernvideos, etc.)
▪
Möglichkeiten für SchülerInnen: Selbstständiges Erarbeiten bzw. Festigen eines Stoffgebietes mit dem Skript (inkl. Videos & Musterlösungen).
▪
& noch viele weitere Möglichkeiten – wenn du eine besondere Idee hast, lass es mich wissen!!
Quellennachweis:
▪
Alle Theorieteile wurden von mir geschrieben. Alle Aufgaben wurden von mir erstellt.
▪
Alle Graphiken wurden von mir mit den Programmen „MatheGrafix PRO“ und „GeoGebra“
erstellt.
▪
Die QR-Codes in den Skripten wurden mit „QR-Code-Generator“ erstellt.
Lizenzbedingungen:
Vielen Lieben Dank, dass du dich für mein Material entschieden hast. Ich würde mich freuen, wenn es dir bei der Unterrichtsgestaltung oder beim selbstständigen Erarbeiten helfen kann.
Du darfst das Material für deinen eigenen Unterricht und deine eigenen Zwecke verwenden.
Du darfst es NICHT gewerblich nutzen, über das Internet verbreiten oder an Dritte weitergeben. Grafiken dürfen NICHT herauskopiert werden.
Hast du Fragen, Wünsche oder Anregungen zu meinen Unterrichtsmaterialien, kannst du mich gerne auf Instagram (prof. tegischer) oder per Mail kontaktieren (info@prof-tegischer.com). Auf meiner Homepage prof-tegischer.com findest du weitere Informationen zu meinen Materialien. Ich würde mich über ein Feedback dazu freuen!
YouTube-Playlist
(PDF-Datei: KLICKEN!)
THEORIE: Vektoren im ℝ³ Seite 1 von 6
Vektoren im ℝ³
Wir haben bereits Vektoren im zweidimensionalen Raum näher betrachtet. Nun fügen für noch eine Dimension hinzu.
Dafür benötigt man geometrisch gesehen nun ein dreidimensionales Koordinatensystem, das aus drei senkrecht aufeinander stehenden Koordinatenachsen (x-, y-, z-Achse) besteht.
Einen Vektor aus dem ℝ𝟑 fassen wir nun zu einem Zahlentripel zusammen. Der Vektor mit den Koordinaten 𝒂𝟏, 𝒂𝟐 𝒖𝒏𝒅 𝒂𝟑 kann entweder in Zeilenform oder Spaltenform geschrieben werden.
𝑎⃑ = (𝑎1|𝑎2|𝑎3) 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑎⃑ = ( 𝑎1
𝑎2 𝑎3
)
Analog zu ℝ𝟐 kann man Vektoren aus dem ℝ𝟑 als Punkte oder Pfeile in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellen:
▪ Darstellung von 𝐴 = (𝑎1|𝑎2|𝑎3) als Punkt: 𝑎1 entspricht der x-Koordinate, 𝑎2 der y-Koordinate und 𝑎3 der z- Koordinate des Punktes.
▪ Darstellung von 𝑎⃑ = ( 𝑎1
𝑎2
𝑎3) als Pfeil: Man wählt einen beliebigen Anfangspunkt im Raum und bewegt sich dann je nach Vorzeichen:
o um 𝒂𝟏 in Richtung bzw. Gegenrichtung der 1. Achse (x-Achse) o um 𝒂𝟐 in Richtung bzw. Gegenrichtung der 2. Achse (y-Achse) o um 𝒂𝟑 in Richtung bzw. Gegenrichtung der 3. Achse (z-Achse) Da der Anfangspunkt beliebig gewählt werden kann, können dem Vektor 𝑎⃑ = (
𝑎1
𝑎2 𝑎3
) unendlich viele Pfeile zugeordnet werden, die allesamt gleich lang, parallel und gleich gerichtet sind.
1.1 W
IEDERHOLUNG DER BISHERIGENE
IGENSCHAFTEN AUS DEM ℝ𝟐Die Rechenoperationen für Zahlentripel sind zu jenen für Zahlenpaare analog, es kommt lediglich eine dritte Koordinate hinzu:
Es seien 𝑎⃑ = ( 𝑎1
𝑎2
𝑎3) und 𝑏⃑⃑ = ( 𝑏1
𝑏2 𝑏3
) Vektoren aus ℝ𝟑 und 𝑟 ∈ ℝ. Es gilt:
𝑎⃑ + 𝑏⃑⃑ = ( 𝑎1 𝑎2
𝑎3
) + ( 𝑏1 𝑏2
𝑏3
) 𝑎⃑ − 𝑏⃑⃑ = ( 𝑎1 𝑎2
𝑎3
) − ( 𝑏1 𝑏2
𝑏3
) 𝑟 ∙ 𝑎⃑ = 𝑟 ∙ ( 𝑎1 𝑎2
𝑎3
) = ( 𝑟 ∙ 𝑎1 𝑟 ∙ 𝑎2
𝑟 ∙ 𝑎3
)
Summe Differenz Vielfache (Multiplikation mit einem Skalar) Skalarprodukt für Vektoren im ℝ𝟑
𝑎⃑ ∙ 𝑏⃑⃑ = ( 𝑎1
𝑎2 𝑎3) ∙ (
𝑏1
𝑏2 𝑏3
) = 𝑎1∙ 𝑏1+ 𝑎2∙ 𝑏2+ 𝑎3∙ 𝑏3
Das Ergebnis des Skalarprodukts ist eine reelle Zahl!
Nullvektor und Gegenvektor:
▪ Der Vektor 𝑂 = (0|0|0) heißt Nullvektor in ℝ𝟑.
▪ Ist 𝑎⃑ = ( 𝑎1
𝑎2 𝑎3
) ∈ ℝ𝟑, dann heißt der Vektor −𝑎⃑ = (
−𝑎1
−𝑎2
−𝑎3
) der Gegenvektor von A bzw. der zu A inverse Vektor.
Video 1/2
THEORIE: Vektoren im ℝ³ Seite 2 von 6
Vektor zwischen 2 Punkten:Den Vektor 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑ zwischen zwei Punkten 𝐴 = (𝑥𝐴|𝑦𝐴|𝑧𝐴) und B= (𝑥𝐵|𝑦𝐵|𝑧𝐵) berechnet man wieder mit Hilfe der „Spitze-minus- Schaft“-Regel:
𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐵 − 𝐴 = ( 𝑥𝐵
𝑦𝐵 𝑧𝐵
) − ( 𝑥𝐴
𝑦𝐴 𝑧𝐴
) = ( 𝑥𝐵− 𝑥𝐴
𝑦𝐵− 𝑦𝐴 𝑧𝐵− 𝑧𝐴
)
Es gilt aufgrund des Gegenvektors: 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = −𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑
Betrag und Einheitsvektor:
Der Betrag eines Vektors 𝑎⃑ = ( 𝑎1 𝑎2
𝑎3) berechnet man im ℝ𝟑 folgendermaßen:
|𝑎⃑| = √𝑎12+ 𝑎22+ 𝑎3² 𝒂
⃑⃑⃑𝟎 ist der Einheitsvektor von 𝒂⃑⃑⃑: 𝑎⃑0= 1
|𝑎⃑⃑|∙ 𝑎⃑
Winkelberechnung:
Für den Winkel 𝛼 zwischen zwei Vektoren 𝑎⃑ und 𝑏⃑⃑ 𝑎𝑢𝑠 𝑑𝑒𝑚 ℝ𝟑 gilt:
cos 𝜑 = 𝑎⃑ ∙ 𝑏⃑⃑
|𝑎⃑| ∙ |𝑏⃑⃑| 𝑚𝑖𝑡 𝑎⃑, 𝑏⃑⃑ ≠ 0
Parallelitätskriterium:
Sind zwei Vektoren 𝑎⃑ und 𝑏⃑⃑ zueinander parallel, so gilt: 𝑎⃑ = 𝑡 ∙ 𝑏⃑⃑ und 𝑏⃑⃑ = 𝑟 ∙ 𝑎⃑ mit 𝑟, 𝑡 ∈ ℝ Normalvektoren:
Im ℝ2 sind alle Normalvektoren zu einem Vektor parallel zueinander (d.h. sie haben alle die gleiche Richtung, die Orientierung kann jedoch verschieden sein).
Da Vektoren im ℝ𝟑 jedoch nicht in einer Ebene liegen, sondern im Raum, haben die Normalvektoren von einem Vektor nicht die gleiche Richtung! Es gibt unendlich viele Normalvektoren mit verschiedenen Richtungen (nicht parallel!)
Orthogonalitätskriterium:
Stehen zwei Vektoren normal aufeinander, so ist ihr Skalarprodukt gleich null.
𝐚⃑⃑ ∙ 𝐛⃑ = 𝟎 ⟺ 𝐚⃑⃑ ⊥ 𝐛⃑
Bsp. 1) Gegeben sind die Vektoren 𝑎⃑ = ( 5
−3 3
) , 𝑏⃑⃑ = ( 2
−5 2
) , 𝑐⃑ = ( 4
−7 6
) , 𝑑⃑ = ( 9 13
−3
) 𝑢𝑛𝑑 𝑟 = 5. Berechne.
a. 𝑎⃑ + 𝑏⃑⃑ = b. 𝑎⃑ − 2 ∙ 𝑐⃑ = c. 𝑟 ∙ 𝑏⃑⃑ + 𝑟 ∙ 𝑑⃑ =
THEORIE: Vektoren im ℝ³ Seite 3 von 6
d. 3 ∙ 𝑑⃑ − 2 ∙ 𝑎⃑ + 10 ∙ 𝑐⃑ = e. 𝑟 ∙ 𝑏⃑⃑ − 2 ∙ 𝑑⃑ + 𝑎⃑ = f. 4 ∙ 𝑐⃑ − 2 ∙ 𝑑⃑ − 2 ∙ 𝑏⃑⃑ =g. |𝑎⃑| =? , 𝑎⃑0=? h. |𝑏⃑⃑| =? , 𝑏⃑⃑0=? i. |𝑐⃑| =? , 𝑐⃑0=?
Bsp. 2) Gegeben sind die Punkte 𝐴 = (3|−4|5), 𝐵 = (−2|1|1), 𝐶 = (7|−1|6) 𝑢𝑛𝑑 D = (9|1|0). Berechne.
𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐷𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =
Bsp. 3) Bestimme den von den beiden Winkeln eingeschlossenen Winkel.
𝑎⃑ = ( 4
−1 3
) , 𝑏⃑⃑ = ( 9
−1 4
) 𝑐⃑ = (
−4
−3 6
) , 𝑑⃑ = (
−2 3
−3 )
THEORIE: Vektoren im ℝ³ Seite 4 von 6
Bsp. 4) Überprüfe rechnerisch, ob die beiden Vektoren zueinander parallel sind.𝑎⃑ = ( 3 1 5
) , 𝑏⃑⃑ = (
−9
−3
−15
) 𝑎⃑ = (
1 3
−1 2
) , 𝑏⃑⃑ = (
−1
−3
−6 )
Bsp. 5) Finde drei nicht parallele Vektoren, die normal auf dein angegebenen Vektor stehen.
𝑎⃑ = (−
3 1 5
) 𝑏⃑⃑ = (
−2
−3
−1 )
Bsp. 6) Bestimme die Koordinate 𝑐 ∈ ℝ so, dass die beiden Vektoren normal aufeinander stehen.
𝑎⃑ = ( 2 7
−1 ) , 𝑏⃑⃑ = (
3
−4 𝑐
) 𝑎⃑ = (
𝑐
−2 2
) , 𝑏⃑⃑ = ( 4
−7 7
)
THEORIE: Vektoren im ℝ³ Seite 5 von 6 1.2 D
ASV
EKTORPRODUKT(K
REUZPRODUKT)
Zu einem einzigen Vektor im ℝ𝟑 gibt es unendlich viele Normalvektoren mit verschiedenen Richtungen. Sucht man jedoch einen Normalvektor zu zwei (nicht parallelen) Vektoren 𝑎⃑ und 𝑏⃑⃑, so gibt es nur eine passende normale Richtung. Alle Vektoren, die zu 𝑎⃑ und 𝑏⃑⃑ normal sind, sind zueinander parallel und unterscheiden sich nur durch ihre Länge und Orientierung. Mit Hilfe des Vektorproduktes kann so ein Normalvektor gefunden werden:
Bsp. 7) Gib einen Vektor an, der zu 𝑎⃑ und 𝑏⃑⃑ normal ist.
𝑎⃑ = (
−2
−1 1
) und 𝑏⃑⃑ = ( 4 0 3
) 𝑎⃑ = (
3 5
−1
) und 𝑏⃑⃑ = ( 1 0 0 )
Seien 𝑎⃑ = ( 𝑥
𝑎𝑦
𝑎𝑧
𝑎) und 𝑏⃑⃑ = ( 𝑥
𝑏𝑦
𝑏𝑧
𝑏) zwei Vektoren des ℝ
𝟑, dann ist ihr Kreuzprodukt:
𝒂
⃑⃑⃑ × 𝒃 ⃑⃑⃑ = ( 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑎
) × ( 𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 𝑏
) =
= (
𝑦 𝑎 ∙ 𝑧 𝑏 − 𝑧 𝑎 ∙ 𝑦 𝑏 𝑧 𝑎 ∙ 𝑥 𝑏 − 𝑥 𝑎 ∙ 𝑧 𝑏 𝑥 𝑎 ∙ 𝑦 𝑏 − 𝑦 𝑎 ∙ 𝑥 𝑏 )
Eigenschaften des Vektorproduktes
▪ Das Ergebnis des Kreuzproduktes 𝑎⃑ × 𝑏⃑⃑ ist ein Vektor, der zu 𝑎⃑ UND 𝑏⃑⃑ normal steht.
𝑎⃑ ⊥ 𝑎⃑ × 𝑏⃑⃑ 𝑢𝑛𝑑 𝑏⃑⃑ ⊥ 𝑎⃑ × 𝑏⃑⃑
▪ Der Betrag des Vektorproduktes ist genauso groß wie die Fläche des Parallelogramms, das von den Ausgangsvektoren aufgespannt wird.
𝐴𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚= |𝑎⃑ × 𝑏⃑⃑|
▪ Für den Flächeninhalt A eines von den Vektoren 𝑎⃑ und 𝑏⃑⃑ aufgestellten Dreiecks (=halbes Parallelogramm) gilt:
𝐴𝐷𝑟𝑒𝑖𝑒𝑐𝑘=1
2∙ |𝑎⃑ × 𝑏⃑⃑|
Video 2/2
THEORIE: Vektoren im ℝ³ Seite 6 von 6
Bsp. 8) Berechne mit Hilfe des Vektorprodukts den Flächeninhalt eines (1) Parallelogramms, (2) Dreiecks, das von den Vektoren 𝑎⃑ und 𝑏⃑⃑ aufgespannt wird.𝑎⃑ = ( 1 2 3
) und 𝑏⃑⃑ = ( 7 4
−1
) 𝑎⃑ = (
1 4
−6
) und 𝑏⃑⃑ = (
−5 2
−1 )
