Formale Methoden der Softwaretechnik
Vorlesung vom 16.05.11: Natürliches Schließen: Aussagenlogik
Till Mossakowski & Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2011
Rev. 1448 1 [14]
Heute
I Natürliches Schließen
IWird auch vonIsabelleverwendet.
I Aussagenlogik
IBeispiel für eineeinfache Logik
IGuterAusgangspunkt I Buchempfehlung:
Dirk van Dalen:Logic and Structure. Springer Verlag, 2004.
2 [14]
Fahrplan
I Aussagenlogik I Prädikatenlogik I Isabelle I: Grundlagen
I Aussagenlogik und natürlisches Schließen
I Prädikatenlogik und Quantoren
I Logik höherer Stufe
I Definitionen und konservative Erweiterung
I Automatische Beweisprozeduren I Isabelle II: Anwendungen
3 [14]
Formale Logik
I Ziel:FormalisierungvonFolgerungenwie
IWenn es regnet, wird die Straße nass.
IEs regnet.
IAlso ist die Straße nass.
I Nachts ist es dunkel.
I Es ist hell.
I Also ist es nicht nachts.
I EineLogikbesteht aus
IEinerSpracheLvonFormeln(Aussagen)
ISchlußregeln(Folgerungsregeln) auf diesen Formeln.
I Damit:Gültige(“wahre”) Aussagen berechnen.
4 [14]
Beispiel für eine Logik I
I SpracheL={♣,♠,♥,♦}
I Schlußregeln:
♦
♣α ♦
♠β ♣ ♠
♥ γ
♦δ
I Beispielableitung:♥
5 [14]
Beispiel für eine Logik II
I SpracheL={♣,♠,♥,♦}
I Schlußregeln:
♦
♣α ♦
♠β ♣ ♠
♥ γ
[♦]
...
♥
♥ δ0
I Beispielableitung:♥
6 [14]
Aussagenlogik
I SprachePropgegeben durch:
1.VariablenV⊆ Prop(MengeVgegeben) 2.false∈ Prop
3.Wennφ, ψ∈ Prop, dann
I φ∧ψ∈ Prop
I φ∨ψ∈ Prop
I φ−→ψ∈ Prop
I φ←→ψ∈ Prop
4.Wennφ∈ Prop, dann¬φ∈ Prop.
7 [14]
Wann ist eine Formel gültig?
I SemantischeGültigkeit|=P:Wahrheitstabellenetc.
IWirdhiernicht weiter verfolgt.
I SyntaktischeGültigkeit`P:formaleAbleitung,
INatürliches Schließen
ISequenzenkalkül
IAndere (Hilbert-Kalkül,gleichungsbasierte Kalküle, etc.) I Ziel: Kalkül, umGültigkeitinPropzu beweisen
8 [14]
Natürliches Schließen
I Vorgehensweise:
1.Erst Kalkül nur für∧,−→,false 2.DannErweiterungaufalleKonnektive.
I Für jedesKonnektiv:Einführungs-undEliminitationsregel
I NB:konstruktiver Inhaltder meisten Regeln
9 [14]
Natürliches Schließen — Die Regeln
φ ψ
φ∧ψ∧I φ∧ψ φ ∧EL
φ∧ψ ψ ∧ER
[φ]
... ψ φ−→ψ −→I
φ φ−→ψ
ψ −→E
false φ false
[φ−→false]
... false
φ raa
10 [14]
Konsistenz
I Def:Γkonsistentgdw.Γ6`false
I Lemma:Folgende Aussagen sind äquivalent:
(i) Γkonsistent
(ii) Es gibt einφso dassΓ6`φ
(iii) Es gibt keinφso dassΓ`φundΓ` ¬φ
I Satz:Aussagenlogik mit natürlichem Schließen istkonsistent.
I Satz:Aussagenlogik mit natürlichem Schließen istvollständigund entscheidbar
11 [14]
Die fehlenden Konnektive
I Einführung alsAbkürzung:
¬φ def= φ−→false
φ∨ψ def= ¬(¬φ∧ ¬ψ)
φ←→ψ def= (φ−→ψ)∧(ψ−→φ)
I Ableitungsregeln alsTheoreme.
12 [14]
Die fehlenden Schlußregeln
φ
φ∨ψ∨IL ψ φ∨ψ∨IR
φ∨ψ [φ]
... σ
[ψ]
... σ
σ ∨E
[φ]
... false
¬φ ¬I φ ¬φ
false ¬E
φ−→ψ ψ−→φ
φ←→ψ ←→I φ φ←→ψ ψ ←→EL
ψ φ←→ψ φ ←→ER
13 [14]
Zusammenfassung
I Formale Logikformalisiertdas (natürlichsprachliche) Schlußfolgern I Logik: Aussagen plus Schlußregeln (Kalkül)
I Aussagenlogik: Aussagen mit∧,−→,false
I¬,∨,←→alsabgeleitete Operatoren I NatürlichesSchließen: intuitiver Kalkül
I Aussagenlogikkonsistent,vollständig,entscheidbar.
I Nächstes Mal: Aussagenlogik inIsabelle I Nächste Woche:QuantorenundPrädikate
14 [14]
