Modellierung — Das Problem

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Formale Modellierung Vorlesung 1 vom 03.04.13: Einführung

Serge Autexier & Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2013

Rev. 2064 1 [16]

Organisatorisches

I Veranstalter:

Serge Autexier Christoph Lüth

serge.autexier@dfki.de christoph.lueth@dfki.de MZH 3120, Tel. 59834 MZH 3110, Tel. 59830 I Termine:

Montag, 16 – 18, MZH 1110 Donnerstag, 14 – 16, MZH 1110 I Webseite:

http://www.informatik.uni-bremen.de/~cxl/lehre/foma.ss13

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Ariane-5

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Die Vasa

10. August 1628

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Modellierung — Das Problem

Welt

Welt Modell

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Modellierung — Das Problem

2Mg + O2 −→ 2MgO

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Modellierung — Das Problem

x=at²+bt+c

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Modellierung — Das Problem

T1 T2

2

= a1

a2 2

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Lernziele

1.Modellierung—Formulierungvon Eigenschaften

2.Beweis— Formaler Beweis derEigenschaften

3.SpezifikationundVerifikation— Eigenschaften vonProgrammen

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Themen

I Formale Logik:

IAussagenlogik (A∧B,A−→B), Prädikatenlogik (∀x.P)

IFormales Beweisen: natürliches Schließen und der Sequenzenkalkül

IInduktion, induktive Datentypen, Rekursion

IDie Gödel-Theoreme I Spezifikation und Verifikation:

IDie Spezifikationssprache Z

IProgramme in Z

IBeispiel, Anwendung

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Der Theorembeweiser Isabelle

I InteraktiverTheorembeweiser I Entwickelt inCambridgeundMünchen I Est. 1993 (?), ca. 500 Benutzer I Andere: PVS, Coq, ACL-2 I Vielfältig benutzt:

I VeriSoft (D) —http://www.verisoft.de

I L4.verified (AUS) —

http://ertos.nicta.com.au/research/l4.verified/

I SAMS (Bremen) —http://www.projekt-sams.de

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Formale Logik

I Formale(symbolische) Logik:RechnenmitSymbolen

I Programme:Symbolmanipulation

I Auswertung:Beweis

I Curry-Howard-Isomorphie:

funktionale Programme∼=konstruktiver Beweis

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Geschichte

I GottlobFrege(1848– 1942)

I ‘Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens’(1879)

I GeorgCantor(1845– 1918), BertrandRussel(1872– 1970), Ernst Zermelo(1871– 1953)

I Einfache Mengenlehre: inkonsistent (Russel’s Paradox)

I Axiomatische Mengenlehre: Zermelo-Fränkel I DavidHilbert(1862– 1943)

I Hilbert’s Programm: ‘mechanisierte’ Beweistheorie

I KurtGödel(1906– 1978)

I Vollständigkeitssatz,Unvollständigkeitssätze

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Grundbegriffe der formalen Logik

I AbleitbarkeitTh`P

ISyntaktischeFolgerung I GültigkeitTh|=P

ISemantischeFolgerung I KlassischeLogik:P∨ ¬P I Entscheidbarkeit

IAussagenlogik I Konsistenz:Th6` ⊥

INicht allesableitbar

I Vollständigkeit:jede gültige Aussageableitbar

IPrädikatenlogikerster Stufe

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Unvollständigkeit

I Gödels 1.Unvollständigkeitssatz:

I JedeLogik, diePeano-Arithmetikformalisiert, ist entwederinkonsistent oderunvollständig.

I Gödels 2.Unvollständigkeitssatz:

I JedeLogik, die ihre eigeneKonsistenzbeweist, istinkonsistent.

I Auswirkungen:

I Hilbert’s Programmterminiert nicht.

I Programmenicht vollständig spezifierbar.

I Spezifikationssprachenimmerunvollständig(oder uninteressant).

I Mitanderen Worten:Es bleibt spannend.

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Nächste Woche

I Aussagenlogik

I Erstes Übungsblatt

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