Modellierung — Das Prinzip

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Formale Modellierung Vorlesung 1 vom 24.04.14: Einführung

Serge Autexier & Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2014

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Organisatorisches

I Veranstalter:

Serge Autexier Christoph Lüth

serge.autexier@dfki.de christoph.lueth@dfki.de MZH 3120, Tel. 59834 MZH 3110, Tel. 59830 I Termine:

Montag, 16 – 18, MZH 1100 Donnerstag, 14 – 16, MZH 1100 I Webseite:

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Ariane-5

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Die Vasa

10. August 1628

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Modellierung — Das Prinzip

Welt Welt

?

Welt Modell

Welt

Modell

!

I GrundlegendesPrinzip der Naturwissenschaften

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Modellierung — Beispiele

2Mg + O2 −→ 2MgO

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Modellierung — Beispiele

x=at²+bt+c

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Modellierung — Beispiele

T1 T2

2

= a1

a2 3

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Arten der Modellierung

I Computer— diskrete Mathematik, formale Logik

I PhysikalischeSysteme — kontinuierliche Mathematik, DGL

I EingebetteSysteme (CPS) — beides

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Lernziele

1.Modellierung—Formulierungvon Eigenschaften

2.Beweis— Formaler Beweis derEigenschaften

3.SpezifikationundVerifikation— Eigenschaften vonProgrammen

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Themen

I Formale Logik:

I Aussagenlogik (A∧B,A−→B), Prädikatenlogik (∀x.P)

I Formales Beweisen: natürliches Schließen

I Induktion, induktive Datentypen, Rekursion

I Die Gödel-Theoreme I Spezifikation und Verifikation:

I Formale Modellierung mit der UML und OCL

I Temporale Logik

I Hybride Systeme

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Der Theorembeweiser Isabelle

I InteraktiverTheorembeweiser I Entwickelt inCambridgeundMünchen I Est. 1993 (?), ca. 500 Benutzer I Andere: PVS, Coq, ACL-2 I Vielfältig benutzt:

IVeriSoft (D) —http://www.verisoft.de

IL4.verified (AUS) —

http://ertos.nicta.com.au/research/l4.verified/

ISAMS (Bremen) —http://www.projekt-sams.de

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Formale Logik

I Formale(symbolische) Logik:RechnenmitSymbolen

I Programme:Symbolmanipulation

I Auswertung:Beweis

I Curry-Howard-Isomorphie:

funktionale Programme∼=konstruktiver Beweis

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Geschichte

I GottlobFrege(1848– 1942)

I‘Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens’(1879)

I GeorgCantor(1845– 1918), BertrandRussel(1872– 1970), Ernst Zermelo(1871– 1953)

IEinfache Mengenlehre: inkonsistent (Russel’s Paradox)

IAxiomatische Mengenlehre: Zermelo-Fränkel I DavidHilbert(1862– 1943)

IHilbert’s Programm: ‘mechanisierte’ Beweistheorie

I KurtGödel(1906– 1978)

IVollständigkeitssatz,Unvollständigkeitssätze

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Grundbegriffe der formalen Logik

I AbleitbarkeitTh`P

I SyntaktischeFolgerung I GültigkeitTh|=P

I SemantischeFolgerung I KlassischeLogik:P∨ ¬P I Entscheidbarkeit

I Aussagenlogik I Konsistenz:Th6` ⊥

I Nicht allesableitbar

I Vollständigkeit:jede gültige Aussageableitbar

I Prädikatenlogikerster Stufe

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Unvollständigkeit

I Gödels 1.Unvollständigkeitssatz:

IJedeLogik, diePeano-Arithmetikformalisiert, ist entwederinkonsistent oderunvollständig.

I Gödels 2.Unvollständigkeitssatz:

IJedeLogik, die ihre eigeneKonsistenzbeweist, istinkonsistent.

I Auswirkungen:

IHilbert’s Programmterminiert nicht.

IProgrammenicht vollständig spezifierbar.

ISpezifikationssprachenimmerunvollständig(oder uninteressant).

IMitanderen Worten:Es bleibt spannend.

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Nächste Woche

I Aussagenlogik

I Erstes Übungsblatt

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