Aufgabe 10.2: Neumannsche Reihe

Universit¨at Heidelberg G. Kanschat, S. Meggendorfer

Abgabe:09.07.2019

Ubung Nr. 10 ¨

zur Vorlesung Einf ¨uhrung in die Numerik, Sommer 2019 Aufgabe 10.1: Approximation der Inversen mit der Fixpunktiteration

Zur Berechnung der InversenA⁻¹einer invertierbaren MatrixA∈R^n×nwird folgende Fixpunktiteration betrachtet

X^(k+1)=X^(k)(I−AC) +C, k= 0,1,2, . . . f¨ur ein regul¨aresC∈R^n×n.

(a) Zeigen Sie, dass das Verfahren f¨urkI−ACk ≤q <1gegenA⁻¹konvergiert.

(Hinweis:Sie d¨urfen benutzen, dass der Banachsche Fixpunktsatz auch auf abgeschlossenen MengenM ⊂R^n×ngilt.)

(b) Beweisen Sie, dass das Verfahren folgende Absch¨atzung erf¨ullt

kX^(k)−A⁻¹k ≤q^kkX⁽⁰⁾−A⁻¹k, k≥0.

Aufgabe 10.2: Neumannsche Reihe

Es seiT ∈R^n×nmitkTk<1undI∈R^n×ndie Einheitsmatrix. F¨ur die Neumannsche Reihe wollen wir zeigen, dass

(I−T)⁻¹=

∞

X

k=0

T^k.

(a) Zeigen Sie zun¨achst, dass die Folge(S⁽ⁿ⁾)n∈Nder PartialsummenS⁽ⁿ⁾=Pn

k=0T^keine Cauchy-Folge ist.

(b) Multiplizieren Sie dien-te Partialsumme mitI−T und folgern Sie, dass

S⁽ⁿ⁾→(I−T)⁻¹ f¨urn→ ∞.

Aufgabe 10.3: Verfahren von Schulz zur Matrizeninvertierung

Zur Berechnung der InversenA⁻¹einer regul¨aren MatrixA∈R^n×nwird folgende Fixpunktiteration betrachtet

X^(k+1)=X^(k)(2I−AX^(k)), k= 0,1,2, . . . .

(a) Zeigen Sie, dass die Methode unter der BedingungkI−AX⁽⁰⁾k ≤q <1gegenA⁻¹konvergiert.

(b) Zeigen Sie weiter, dass das Verfahren folgende Absch¨atzung erf¨ullt

kX^(k)−A⁻¹k ≤ kX⁽⁰⁾k

1−q kI−AX^(k)k ≤q^(2j)kX⁽⁰⁾k

1−q , k≥0.

(Hinweis:Neumannsche Reihe)