Grundwissen Lehrplan PLUS Jahrgangsstufe 5 MGF 1. Natürliche und ganze Zahlen Für

Grundwissen Lehrplan PLUS Jahrgangsstufe 5 MGF

1. Natürliche und ganze Zahlen

Für große Zahlen verwendet man folgende Namen und schreibt sie mit Hilfe von Zehnerpotenzen:

1 Million =1000000 = 10⁶; 1 Milliarde =1000000000 = 10⁹; 1 Billion = 1000000000000 = 10¹² Runden einer Zahl auf eine bestimmte Stelle: Betrachte die Ziffer rechts davon.

Bei 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet.

Teilbarkeit: Eine Zahl ist nur dann (ohne Rest) teilbar … durch 2, wenn sie die Einerziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 besitzt, durch 5, wenn sie die Einerziffer 0 oder 5 besitzt,

durch 3, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Zur Menge ℤ der ganzen Zahlen gehören die positiven Zahlen, die negativen Zahlen und die 0.

Liegt auf der Zahlengeraden eine Zahl a links von einer Zahl b, so ist ab.

Zahlen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, heißen Gegenzahlen. Sie sind auf der Zahlengeraden gleich weit vom Nullpunkt entfernt. Der Abstand der Zahl a von der Null heißt Betrag von a. Man schreibt dafür a. Beispiel: 9 und 9− sind Gegenzahlen. −9 = 9 =9.

Jeder Punkt in einem Koordinatensystem lässt sich durch ein Zahlenpaar beschreiben. Die Zahlen heißen Koordinaten des Punktes: P

( )

4|2 (x-Koordinate: 4 nach rechts | y-Koordinate: 2 nach oben) Beweistechnik: Um zu beweisen, dass eine allgemeine Aussage nicht zutreffend ist, genügt es, ein einziges Gegenbeispiel zu finden.

2. Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

Addieren bedeutet am Zahlenstrahl nach rechts gehen, Subtrahieren bedeutet nach links gehen.

Bezeichnungen beim Addieren: 1. Summand + 2. Summand = Wert der Summe Bezeichnungen beim Subtrahieren: Minuend – Subtrahend = Wert der Differenz

Einen Rechenausdruck, der aus Zahlen, Rechenzeichen und eventuell Klammern besteht, nennt man Term.

Gliederung: Die zuletzt auszuführende Rechenart legt die Art des Terms fest.

Kommutativgesetz der Addition: a+b=b+a

Assoziativgesetz der Addition:

(

a+b

)

+c=a+

(

b+c

)

Aggregatsregel: Von der Summe der Plusglieder wird die Summe der Minusglieder subtrahiert.

Subtrahieren einer Zahl bedeutet dasselbe wie Addieren ihrer Gegenzahl:

2 3 ) 2 (

3− − = + ; 3−

( )

+2 =3+

( )

−2 =3−2

Addieren / Subtrahieren zweier ganzer Zahlen mit gleichen Vorzeichen:

Addiere die Beträge und gib der Summe das gemeinsame Vorzeichen: −5−3=−(5+3) Addieren / Subtrahieren zweier ganzer Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen:

Subtrahiere den kleineren Betrag vom größeren Betrag und gib der Differenz das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag: 3−5=−(5−3)

Beim Vertauschen von Gliedern sind die Vorzeichen immer mitzunehmen: −3+5=+5−3. 3. Geometrische Grundbegriffe

Eine Strecke ist von zwei Punkten begrenzt. Schreibweise z.B. 𝐴𝐵.

Eine Halbgerade hat einen Anfangspunkt, aber keinen Endpunkt. Schreibweise z.B. [𝐴𝐵.

Eine Geraden ist unendlich lang und wird durch zwei Punkte festgelegt. Schreibweise z.B. 𝐴𝐵.

Die Länge einer Strecke 𝐴𝐵 wird mit |𝐴𝐵| angegeben.

Zueinander senkrechte Geraden: g ⊥h; zueinander parallele Geraden: g||h

Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die Länge der zu g senkrechten Verbindungsstrecke von P bis g.

Der Abstand zweier Parallelen g und h ist die Länge einer zu g und h senkrechten Verbindungsstrecke.

Alle Punkte eines Kreises haben vom Mittelpunkt den gleichen Abstand. Dieser Abstand heißt Radius.

Ein Winkel wird durch seinen Scheitel und seine Schenkel festgelegt. Sie werden mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet: z.B. ,,,…

Ein 90°-Winkel wird als rechter Winkel bezeichnet.

Trapez: Zwei Seiten sind parallel

Parallelogramm: Gegenüberliegende Seiten sind jeweils zueinander parallel.

Raute: Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten.

Rechteck: Parallelogramm mit vier rechten Winkeln.

Quadrat: Rechteck mit vier gleich langen Seiten.

Drachenviereck: Symmetrisch zu einer Diagonalen 4. Multiplikation und Division ganzer Zahlen

Bezeichnungen beim Multiplizieren: 1. Faktor 2. Faktor = Wert des Produkts Bezeichnungen beim Dividieren: Dividend : Divisor = Wert des Quotienten Multiplizieren / Dividieren zweier ganzer Zahlen:

1. Multipliziere / Dividiere die Beträge.

2. Bei gleichen Vorzeichen gib dem Ergebnis das Vorzeichen +, bei verschiedenen Vorzeichen gib dem Ergebnis das Vorzeichen – .

0 0 0=  =

 a

a ; a1=1a=a; 0:a=0; 0

:

a ist verboten, durch Null kann man nicht dividieren!

Kommutativgesetz der Multiplikation: ab=ba

Assoziativgesetz der Multiplikation:

( )

ab c=a

( )

bc Distributivgesetz (Verteilungsgesetz):

(

a+b

)

c=ac+bc;

(

a−b

)

c=ac−bc Rechenvorteile nutzen!

(

a+b

)

:c=a:c+b:c;

(

a−b

)

:c=a:c−b:c

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler, nämlich 1 und sich selbst.

Eine Zahl kann in seine Primfaktoren zerlegt werden.

Potenzieren bedeutet mehrfaches Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst. aaaa=a⁴ Der Exponent (Hochzahl) gibt an, wie oft die Basis (Grundzahl) als Faktor auftritt.

Zählprinzip: Die Gesamtzahl der Auswahlmöglichkeiten ist das Produkt aus den Anzahlen der Möglichkeiten der Einzelentscheidungen.

Bei Termen gilt für die Reihenfolge der Rechenschritte:

Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet. Potenzieren vor Punktrechnung vor Strichrechnung.

5. Größen

Jede Größe besteht aus Maßzahl und Einheit.

Länge Masse Geld Zeit

1km = 1000m 1t = 1000kg 1€ = 100ct 1d = 24h

1m = 10dm 1kg = 1000g 1h = 60min

1dm = 10cm 1g = 1000mg 1 min = 60s

1cm = 10mm

Größe : Größe = Zahl; Größe : Zahl = Größe Die Angabe Maßstab 1:200 in einem Plan bedeutet:

Länge in der Wirklichkeit = Länge im Plan mal 200.

Länge im Plan = Länge in Wirklichkeit dividiert durch 200.

Schlussrechnungen sind mit Dreisatz möglich.

6. Flächen

Die Umrechnungszahl bei Flächeneinheiten ist 100!

1km² = 100ha; 1ha = 100a; 1a = 100m²; 1m² = 100dm²; 1dm² = 100cm²; 1cm² = 100mm² Fächeninhalt eines Rechtecks mit Länge l und Breite b: 𝐴 = 𝑙 ∙ 𝑏

Fächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge s: 𝐴 = 𝑠 ∙ 𝑠 = 𝑠² Umfang eines Rechtecks mit Länge l und Breite b: 𝑈 = 2 ∙ 𝑙 + 2 ∙ 𝑏 = 2 ∙ (𝑙 + 𝑏) Umfang eines Quadrats mit Seitenlänge s: 𝑈 = 4 ∙ 𝑠

Der Oberflächeninhalt eines Körpers ist die Summe der Flächeninhalte der Begrenzungsflächen.

Oberflächeninhalt eines Quaders mit Länge l, Breite b und Höhe h:

𝑂 = 2 ∙ 𝑙 ∙ 𝑏 + 2 ∙ 𝑙 ∙ ℎ + 2 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 2 ∙ (𝑙 ∙ 𝑏 + 𝑙 ∙ ℎ + 𝑏 ∙ ℎ) Oberflächeninhalt eines Würfels mit Kantenlänge s: 𝑂 = 6 ∙ 𝑠 ∙ 𝑠 = 6 ∙ 𝑠²

( ) ( )

+  + =+;

( ) ( )

+ : + =+

( ) ( )

−  − =+;

( ) ( )

− : − =+

( ) ( )

+  − =−;

( ) ( )

+ : − =−

( ) ( )

−  + =−;

( ) ( )

− : + =−

Aufgaben zum Grundwissen Lehrplan PLUS Jahrgangsstufe 5 MGF

1) a) Schreibe in Ziffern und anschließend mit Hilfe von Zehnerpotenzen kürzer:

acht Billionen siebenhundert Milliarden

b) Schreibe in Ziffern: acht Billionen vierzig Milliarden zweihundert Millionen achthundertdreitausendfünfhundertzweiunddreißig

c) Runde auf Tausender (auf Hunderter): 587499 2) Berechne geschickt: a) 134+12−88−17+41

b) 288+157+512 Berechne: c) −7+

( ) ( ) ( ) ( )

−8 − −9 − +10 + +11

d)

 ( )

−15 +27



−

 ( ) ( )

−9 − −13



e) −13+37+48−63−14+83

3) Zeichne in ein Koordinatensystem die Punkte A

(

−3|4

)

, B

(

1|−2

)

und C

( )

2|5 . Zeichne die Gerade AB, die Strecke 𝐵𝐶 sowie die Parallele zu AB durch C. Miss den Winkel ABC. 4) a) Zerlege 120 und 252 in Primfaktoren und gib in Potenzschreibweise an!

b) Wie viele verschiedene Menüs kann man aus 3 Vorspeisen, 4 Hauptspeisen und 2 Nachspeisen bilden?

c) Anja, Beate und Cora wollen sich auf drei Stühle setzen. Wie viele Möglichkeiten haben sie?

Berechne: d)

( ) ( ) ( )

−4  +5  −6 e)

(

−289

) ( )

: −17

f) −2⁴ +

( )

−2 ³ g)

(

^{28 −82}

)

^31

h) 10³ −218²

i)



−13+

(

−29+7

) 

:

( )

−7

j)

( ( )

^{−2 3 −27}

)

^:7−

^

⁻²¹⁻

⁽

⁻¹⁶⁺³¹

^{) }

k)

 ( )

^{−6 8+32 }

( )

^{−2 2}



^:22

l)



5

(

−22

)

+17

( )

−2



:



20+24:

( )

−3



Berechne geschickt: m) −877+48

( )

−8

n) −19

(

−73

) (

+ −27

) ( )

 −19 o) 4

( ) (

−17  −75

)

p)

(

−125

)

27

( ) ( )

−8  −2 Stelle einen Term auf und berechne seinen Wert:

q) Subtrahiere von der Differenz der Zahlen 1036 und 128− die Summe Zahlen −254 und 375 . r) Addiere das Quadrat des Quotienten aus 2000 und 40 zu der Differenz, deren Minuend die Zahl −5000 ist und deren Subtrahend das Produkt der Zahlen 5 und 12 ist.

5) Schreibe mit der in Klammern angegebenen Einheit:

a) 12km3dm

 

cm , b) 7t5kg18g

 

kg Berechne: c) 10km11m:30

d)

(

15h20min−13h28min

)

:8min

e) Wie lang ist eine 12km lange Strecke auf einer Karte mit dem Maßstab 1:500 000?

f) Eine Rinderlende wiegt 2,65kg. Der Metzger schneidet 8 Steaks zu je 150g ab.

Wie viel kg Lende bleiben noch übrig?

6) Schreibe mit der in Klammern angegebenen Einheit:

a) 7ha9dm² [m²], b) 40m²5dm² [cm²]

c) Ein rechteckiges Grundstück ist 42m lang und hat einen Flächeninhalt von 14a70m². Berechne Breite und Umfang des Grundstücks!

d) Ein Quader ist 3m lang, 2m5cm breit und 1m5dm hoch. Berechne seine Oberfläche!

Lösungen der Aufgaben zum Grundwissen Lehrplan PLUS Jahrgangsstufe 5 MGF 1) a) 8700 000 000 000 =8710¹¹

b) 8040 200 803 532

c) auf Tausender: 587499 587000 auf Hunderter: 587499 587500

2) a) 134+12−88−17+41=(134+12+41)−(88+17)=187−105=82 b) 288+157+512 =

(

288+512

)

+157=800+157=957

c) −7+

( ) ( ) ( ) ( )

−8 − −9 − +10 + +11 = −7−8+9−10+11=

(

9+11

)

−(7+8+10)=20−25=−5 d)

 ( )

−15 +27



−

 ( ) ( )

−9 − −13



=12−



−9+13



=12−4=8

e) −13+37+48−63−14+83=(37+48+83)−(13+63+14)=168−90 =78 3) CBA42ABC=360−CBA318

4) a) 120=22235=2³35 252=22337=2² 3²7

b) Es gibt 342=24 verschiedene Menüs.

c) Sie haben 321=6 Möglichkeiten.

d)

( ) ( ) ( )

−4  +5  −6 =

(

−20

) ( )

 −6 =120 e)

(

−289

) ( )

: −17 =17

f) −2⁴ +

( )

−2 ³ =−16+

( )

−8 =−24

g)

(

^{28 −82}

)

^31=

(

256−64

)

3=1923=576 h) 10³ −218² =1000 −2324 =1000−648=352

i)



−13+

(

−29+7

) 

:

( )

−7 =



−13−22



:

( )

−7 =−35:

( )

−7 =5

j)

( ( )

^{−2 3 −27}

)

^:7−

^

⁻²¹⁻

⁽

⁻¹⁶⁺³¹

^{) }

⁼

⁽

⁻⁸⁻²⁷

⁾

^:7−



⁻²¹⁻¹⁵



^=−35:7−

 

^{−36 =−5+36=31}

k)

 ( )

^{−6 8+32}

( )

^{−2 2}



^{:22 =}



^−48+94



^:4=



⁻⁴⁸⁺³⁶



^{:4=−12:4=−3}

l)



^5

(

⁻²²

)

^+17

( )

⁻²



^:



^20+24:

( )

⁻³



⁼



^−110−34

 

^{: 20−8}



^{=−144:12=−12}

m) −877+48

( )

−8 =−8(77+48)=−8125=−1000

n) −19

(

−73

) (

+ −27

) ( )

 −19 =−19

 (

−73

) (

+ −27

) 

=−19

(

−100

)

=1900 o) 4

( ) (

−17  −75

)

=417325=

(

425

) (

 317

)

=10051=5100

p)

(

−125

)

27

( ) ( )

−8  −2 =−

(

1258

) (

 272

)

=−100054=−54000 q)

(

1036−

(

−128

) ) (

− −254+375

)

=1164−121=1043

r)

(

−5000 −512

) (

+ 2000:40

) (

² = −5000 −60

)

+50² =−5060+2500 =−2560 5) a) 12km3dm=1 200 030cm

b) 7t5kg18g =7 005,018kg

c) 10km11m:30=100110dm:30=3337dm=333m7dm

d)

(

15h20min−13h28min

)

:8min =

(

14h80min−13h28min

)

:8min = 14

min 8 : min 112 min 8 : min 52

1 = =

= h

e) 12km:500000 =12000000 mm:500000 =24mm f) 2,65kg−8150g =2650g−1200g =1450g =1,45kg

6) a) 7ha9dm² =70 000,09m² b) 40m²5dm² =400 500cm²

c) Breite: b= A:l =1470m² :42m=35m; Umfang: u=2

(

42m+35m

)

=154m d)2

(

300cm205cm+300cm150cm+205cm150cm

)

=

(

^{61500 2 45000 2 30750 2}

)

^{2745 2 27 245 2}

2 cm + cm + cm = dm = m dm

=