Grundwissen Jahrgangsstufe 8 MGF 1. Funktionen Eine

Grundwissen Jahrgangsstufe 8 MGF

1. Funktionen

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung: Jedem Wert x aus der Definitionsmenge D wird genau ein Wert y aus der Wertemenge W zugeordnet.

Funktionen können durch Wertetabellen, Pfeildiagramme, und Graphen veranschaulicht werden.

Der Graph einer Funktion heißt steigend (fallend), wenn die y-Werte der Graphenpunkte von links nach rechts betrachtet immer größer (kleiner) werden. Die zugehörige Funktion heißt dann

zunehmend (abnehmend).

2. Lineare Funktionen

Für alle m,t∈Θ heißt die Funktion f :xα mx+t lineare Funktion.

Ihr Graph ist eine Gerade mit der Gleichung y =mx+t. Die Gerade hat die Steigung m und den y-Abschnitt t .

Zeichnen der Geraden mit y-Abschnitt und Steigungsdreieck oder mithilfe zweier Punkte.

Die Stelle x, an der der Graph von f die x-Achse schneidet, heißt Nullstelle von f .

Berechnung der Nullstelle: mx+t =0 nach x auflösen.

Spezialfall: t=0: Ist y=mx, so spricht man von einer direkten Proportionalität.

Der zugehörige Graph ist eine Ursprungsgerade.

Spezialfall: m=0: Ist y =t, so spricht man von einer konstanten Funktion.

Der zugehörige Graph ist eine Parallele zur x-Achse.

3. Gebrochen-rationale Funktionen

Die Funktionsterme gebrochen-rationaler Funktionen enthalten im Nenner die unabhängige Variable x.

Für diex-Werte, für die der Nenner Null würde, ist die Funktion nicht definiert. Der Graph hat hier in der Regel eine Polstelle.

Einfache Beispiele sind Funktionen g mit b a x x

g +

−

= ±1 )

( .

Ihre Graphen sind Hyperbeln. Sie haben bei x=a eine Polstelle.

Die Gerade x=a ist senkrechte Asymptote und die Gerade y=b ist waagrechte Asymptote dieser Hyperbeln.

Die Graphen von g gehen alle durch Verschieben oder Spiegeln an der x-Achse aus dem Graphen von f mit

x x

f 1

)

( = hervor.

Spezialfall: Bei der Zuordnung x

y= k handelt es sich um eine indirekte Proportionalität.

4. Bruchterme und Bruchgleichungen

Bei einem Bruchterm und bei einer Bruchgleichung kommt die Variable im Nenner vor.

Bruchgleichungen ergeben sich z. B. bei der Bestimmung der Schnittpunkte zweier gebrochen- rationaler Funktionen ( f(x)=g(x)) oder bei der Bestimmung der Nullstellen gebrochen- rationaler Funktionen ( f(x)=0).

Zur Lösung einer Bruchgleichung wird meist mit den Nennern (Hauptnenner) multipliziert.

Das „Über-Kreuz-Multiplizieren“ eignet sich für Bruchgleichungen des Typs

2 2 1 1

N Z N

Z =

5. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten

Lösungen linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten sind Zahlenpaare, die beim Einsetzen beide Gleichungen erfüllen.

Lösungsmöglichkeiten:

Graphische Lösung (Schnittpunkt der zu den Gleichungen gehörenden Geraden)

Gleichsetzverfahren, Einsetzverfahren oder Additionsverfahren (Subtraktionsverfahren) Lösungsvielfalt:

Genau eine Lösung (Geraden schneiden sich in einem Punkt.)

Keine Lösung (Geraden liegen echt parallel, bei der Lösung ergibt sich ein Widerspruch.) Unendlich viele Lösungen (Geraden sind identisch, bei der Lösung ergibt sich eine allgemeingültige Aussage.)

6. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Für a,b∈Θ\{0} und m,n∈Ζ gilt:

0 =1

a und ⁿ _n

a⁻ = a1

Potenzen mit gleicher Basis:

n m n

m a a

a ⋅ = ⁺

n m n

m a a

a : = ⁻

( )

Potenzen mit gleichem Exponenten

( )

n

n b ab

a ⋅ =

( )

n

n b a b

a : = :

7. Umfang und Flächeninhalt des Kreises

Für einen Kreis mit dem Radius r und dem Durchmesser d =2r gilt:

Umfang u=²π⋅r ^{bzw. u}=π ⋅^{d (}Umfang direkt proportional zum Radius bzw. zum Durchmesser) Flächeninhalt A=π⋅r^{2 bzw.}

4 d2

A=π⋅

Kreiszahl π =3,14159265... → TR, Näherungswert π ≈3,14

8. Strahlensatz und Ähnlichkeit

Werden zwei Geraden g und h mit dem Schnittpunkt Z von zwei Parallelen p₁ und p₂ geschnitten, so gilt:

1. Je zwei Abschnitte auf g verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf h .

2. Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die Entfernungen ihrer Endpunkte von Z auf g (oder h ).

Zueinander ähnliche Dreiecke stimmen in allen entsprechenden Winkeln und in allen

Verhältnissen entsprechender Seitenlängen überein. Ob zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, lässt sich mithilfe von Ähnlichkeitssätzen feststellen.

9. Zufall und Wahrscheinlichkeit

Versuchsausgänge von Zufallsexperimenten heißen Ergebnisse ω^.

Werden alle Ergebnisse zu einer Menge zusammengefasst, erhält man den Ergebnisraum Ω. Teilmengen des Ergebnisraums bilden Ereignisse. Ein Elementarereignis enthält nur ein Element.

Zufallsexperimente mit gleich wahrscheinlichen Elementarereignissen heißen Laplace-

Experimente. Bei Lapace-Experimenten kann die Wahrscheinlichkeit ^P

( )

( )

von Elemente der

Anzahl

E von Elemente der

Anzahl E E

P

Beispielaufgaben:

1) Gegeben ist die Gerade g mit der Funktionsgleichung 3x+y=2. a) Zeichne die Gerade g in ein Koordinatensystem.

b) Gib die Gleichung einer Geraden h an, die zur Geraden g parallel ist und durch den Punkt )

5

| 0

( − verläuft.

c) Berechne die Gleichung einer Geraden l auf der die Punkte R

(

)

( )

2) Bestimme die Lösungen folgender Ungleichung: −⁴

(

) (

)

3) Gegeben sind zwei Funktionen f und g durch ihre Funktionsterme:

2

3 2 ) 1

( +

= − x x

f und 3

1 ) 2

( +

+

= − x x

g .

a) Skizziere die Graphen beider Funktionen. Lies aus der Skizze näherungsweise die Punkte ab, wo sich die Graphen schneiden. Lies die Schnittpunkte der Graphen mit den Achsen ab.

b) Berechne die Nullstellen der Funktionen.

c) Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g durch Rechnung.

4) Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist 12. Die Zahl ist das Sechsfache ihrer Einerziffer.

Um welche Zahl handelt es sich?

5) Schreibe ohne Bruchstrich und vereinfache.

a)

( )

( )

7 3 14

− −

− −

−

x xy

x y

x b)

( )

ab ^{3 1}

2

2 4

: 2

− −













6) Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Kreisrings:

7) Berechne für die abgebildete Figur aus den angegebenen Maßen (in cm) die

Streckenlängen x, y und z. Welche Annahme legst du deinen Rechnungen zugrunde?

8) Julia zieht eine Karte aus einem Skat-Blatt (32 Karten). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte

a) eine Dame, b) keine Herz-Karte,

c) ein Bube oder eine Herz-Karte ist?

5cm 2cm

y z x

3

6 12

4 3

Lösungen:

1) explizite Form:y=−3x+2;

a) y-Abschnitt: t=2, Steigung: m=−3 („1 nach rechts, 3 nach unten“ bzw. „1 nach links, 3 nach oben“)

b) h(x)=−3x−5

c) ^{m xy}S ^xyR ³⁴

( )

R

S =

−

−

= −

−

= − ; y= x+t

5

1 ;

Einsetzen von z.B. S

(

)

( )

5

3 1 ergibt

5 32

=

t und damit

5 32 5 1 +

= x y 2) −−−−⁴

((((

)))) ((((

))))

3 x 6 x 4

4++++ >>>> −−−−

−−−−

−−−−2x>>>>1

2 x 1

! −−−−

<<<< ; L=

]

[

3) a) G_f mit waagrechter Asymptote 2

= 3

y und senkrechter Asymptote x=2. Gg mit waagrechter Asymptote y=3 und senkrechter Asymptote x=−1. Zum Zeichnen von G_g werden die Funktionswerte von

y 1x

= mit 2− multipliziert.

Schnittpunkte der Graphen: S₁(0|1); S₂(3|2,5);

Schnittpunkte mit der x-Achse: G_f: (1,3/0); G_g: (-0,3 /0) mit der y-Achse: jeweils (0/1) b) Aus f(x)=0, also 0

2 3 2

1 + =

−

x , folgt

3

= 4 x . Aus g(x)=0, also 3 0

1 2 + = +

−

x , folgt

3

−1

=

x .

c) ^f

( ) ( )

1 2 2 3 2

1 +

+

= −

− + x

x

2

3 1 2 2

1 =

+ +

− x

x | ⋅²

(

)(

)

²

(

) (

) (

)(

)

3x² −9x=0 3x x - 3 = 0

( )

x=0 oder x=3; S₁(0|1); S₂(3|2,5) 4) Zehnerziffer: x , Einerziffer: y , Zahl: 10x+y

I) x+y =12, II) 10x+y=6y

I) y =12−x in II) 10⋅(12−y)+ y=6y ………. y=8, x=4. Die gesuchte Zahl ist 48.

oder Additionsverfahren: I) x + y = 12 II) 2x – y = 0 3x = 12 usw.

oder Gleichsetzungsverfahren: I) y = 12 – x….II) y = 2x 12 –x = 2x usw.

5) a) Ergebnis: x³⁵y⁻³ b) Ergebnis: 2a⁴c⁻²

6) ^A=π ^⋅

(

)

( )

cm cm

cm

u =π⋅5 +π⋅2 =π ⋅7 ≈22 7) x:3=6:4, damit x=4,5

4 : 9 3 : =

y , damit y=6,75 9

: 3 12

: =

z , damit z=4

Dabei wird zugrunde gelegt, dass die Strecken mit den Maßzahlen y, x und 3 parallel verlaufen.

8) a)

8 1 32 ) 4

(A = =

P ; b)

4 3 32 24 32 1 8 )

(B = − = =

P ; c)

32 ) 11 (C = P