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2 Das d -dimensionale Lebesgue-Maß

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Academic year: 2022

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2 Das d -dimensionale Lebesgue-Maß

10. Satz Es existiert genau eine

σ

-additive Abbildung

λ

d

: B

d

→ [0, ∞ ]

mit

∀ a

i

≤ b

i

: λ

d

([a

1

, b

1

] × · · · × [a

d

, b

d

]) =

Y

d

i=1

(b

i

− a

i

).

Diese erf¨ullt

λ

d

(a + Q(A)) = λ(A)

f¨ur alle

a ∈ R

d,

A ∈ B

d und alle orthogonalen Abbildungen

Q : R

d

→ R

d.

Beweis. Siehe Meintrup, Sch¨affler (2005, Anhang A.1) 200/1

(2)

11. Definition

λ

d gem. Satz 10 heißt Lebesgue-Maß auf

B

d

oder

d

-dimensionales Lebesgue-Maß.

12. Bemerkung Definiere

Ω := [0, 1]

bzw.

[0, 1[,

A := { A ∩ Ω : A ∈ B

1

} , P (A) := λ

1

(A), A ∈ A,

U (ω) := ω, ω ∈ Ω.

Dann ist

(Ω, A, P )

ein W’raum und es gilt

U ∼ U (Ω)

. Siehe Definition IV.25.

201/1

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