Maß- und Integralrechnung Übungsblatt 2

Prof. Dr. Lars Diening Roland Tomasi

Giovanni Placini 20.10.2014

Maß- und Integralrechnung Übungsblatt 2

Aufgabe 1: 3+3 Punkte

Der HalbringJ¹ sei definiert durch

J¹:={]a, b] :a, b∈R, a≤b}.

Desweiteren seiF :R→Reine nicht-fallende Abbildung undµ_F :J¹→[0,∞[für a, b∈Rdefiniert als

µ_F(]a, b]) :=F(b)−F(a).

Zeigen Sie:

(a) IstF rechtsseitig stetig, so istµF ein von innen regulärer Inhalt aufJ¹. (b) µF ist genau dann ein Prämaß, wennF rechtsseitig stetig ist.

Bemerkung: Man nenntµF den zuF gehörigen Stieltjes-Inhalt.

Aufgabe 2: 5 Punkte

Es seien µ :H → R ein Prämaß auf dem Halbring H über der MengeX, µ^∗ das äußere Maß zuµ,Aµ^∗ dieσ-Algebra derµ^∗-meßbaren Mengen und

ζ:= µ^∗|_Aµ∗

∗

das äußere Maß zuµ^∗|_Aµ∗. Zeigen Sieζ=µ^∗.

Aufgabe 3: 3+3+3 Punkte

Es seienµ:H →Rein Inhalt auf dem HalbringHüber der Menge X undµ^∗ das zugehörige äußere Maß. Zeigen Sie:

(a) Zu jedemA⊂X gibt es ein C∈σ(H)mit A⊂Cundµ^∗(A) =µ^∗(C).

(b) Für alle A, B ⊂X istµ^∗(A∪B) +µ^∗(A∩B)≤µ^∗(A) +µ^∗(B), wobei das Gleichheitszeichen gilt, fallsA∈ Aµ^∗ oderB∈ Aµ^∗.

(c) Es seien M, N ⊂ X, und es gebe A, B ∈ Aµ^∗ mit M ⊂ A, N ⊂ B, sowie µ^∗(A∩B) = 0. Zeigen Sieµ^∗(M∪N) =µ^∗(M) +µ^∗(N).

Abgabe bis Montag, den 27.10.2014 um 10:15 Uhr