Inhaltsverzeichnis AufgabenundL¨osungenzurKlausurvorbereitung”Mathematikf¨urStudierendederAgrarwissenschaften“

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Aufgaben und L¨osungen zur Klausurvorbereitung

” Mathematik f¨ ur Studierende der Agrarwissenschaften“

Mathematisches Seminar der Landwirtschaftlichen Fakult¨at Universit¨at Bonn

Inhaltsverzeichnis

1 Lineares Optimieren 2

2 Summen- und Produktzeichen 16

3 Finanzmathematik 21

4 Spezielle Funktionen 27

5 Differentialrechnung 33

6 Vektoren und Matrizen 39

7 Lineare Gleichungssysteme 44

8 Mehrere Teilgebiete 48

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1 Lineares Optimieren

Aufgabe 1.1:

Ein Landwirt möchte 90 ha Land mit Kartoffeln und Zuckerrüben bebauen. Kartoffeln erfordern einen Arbeitsaufwand von 3 Tagen je ha und einen Kapitalaufwand von 400 EUR je ha, Zuckerrüben erfordern 4 Tage je ha und 200 EUR je ha. Wegen der Bodenqualität müssen mindestens 50 ha Zuckerrüben angebaut werden. Für die Bewirtschaftung der 90 ha stehen maximal 360 Arbeitstage und maximal 24.000 EUR zur Verfügung.

a) Welche Aufteilung des Landes muss gew¨ahlt werden, wenn 1 ha Kartoffeln einen Gewinn (= Rein- ertrag) von 450 EUR und 1 ha Zuckerr¨uben einen Gewinn von 150 EUR bringen und der Gewinn maximal werden soll?

b) Interpretieren Sie den Maximalpunkt im Hinblick auf die gegebenen Ressourcen.

L¨osung in drei Schritten:

1. Aufstellung des mathematischen Modells.

2. Bestimmung des Planungspolygons.

3. Ermittlung des Maximalpunktes und des maximalen Gewinns sowie Interpretation im Hinblick auf die gew¨ahlten Ressourcen.

L¨osung:

1. Schritt:

x: Anzahl der Hektar Kartoffeln y: Anzahl der Hektar Zuckerr¨uben Mathematisches Modell:

a) Nichtnegativit¨atsbedingung: x≥0 y ≥0 (1)/(2)

b) Weitere einschr¨ankende Bedingungen:

Land: x + y ≤ 90 (3)

Arbeit: 3x + 4y ≤ 360 (4)

Kapital: 400x + 200y ≤ 24000 (5)

Bodenqualit¨at: y ≥ 50 (6)

Gewinnfunktion: G(x, y) = 450x+ 150y (7)

2. Schritt:

Die begrenzenden Geraden des Planungspolygons P sind:

x = 0 y = 0 (1’)/(2’)

x + y = 90 (3’)

3x + 4y = 360 (4’)

400x + 200y = 24000 (5’)

y = 50 (6’)

Die Isogewinnfunktion erhält man, wenn man in (7) G(x, y) konstant setzt und dann nach yauflöst. Man erhält die Gleichung einer Geraden:

y=−3x+ G

150 (7’)

Das Planungspolygon P ergibt sich als Schnittmenge der 6 Halbebenen (1)−(6). P ist in der Zeichung grau unterlegt.

(3)

3. Schritt:

In der Skizze wird eine Isogewinngerade eingezeichnet, z.B. (7⁰) f¨ur G = 9000 EUR. Dann wird diese Gerade parallel so weit nach

”oben“ verschoben, bis sie einen maximalen y-Achsenabschnitt hat, aber noch mindestens einen Punkt mit dem Planungspolygon P gemeinsam hat. Das ist der Fall, wenn die Isogewinngerade durch den Punkt M geht (siehe Skizze).

Der MaximalpunktM ist der Schnittpunkt der Geraden (5⁰) und (6⁰).

Aus (6⁰) liest man ab: y_max = 50.

Dies in (5⁰) eingesetzt ergibt:

400x_max+ 200·50 = 24000⇐⇒x_max = 35.

Also: Der Gewinn ist maximal, wenn 35 ha mit Kartoffeln und 50 ha mit Zuckerr¨uben bebaut werden. Der maximale Gewinn ist dann:

G_max =G(35,50) = (450·35 + 150·50)EUR = 23250 EUR.

10 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20

130 120 110 100 90 70 80

60 50 40 30 20 10

x y

P

(7') für G = 9000

(5') (3') (4')

(6')

(7') für maximales G

M

Interpretation der Koordinaten des Maximalpunktes im Hinblick auf die Ressourcen Arbeit, Kapital und Land:

Die Koordinaten x_max = 50, y_max = 35 werden in die linken Seiten von (3), (4), (5) eingesetzt und mit den rechten Seiten verglichen:

Land: x+y = 35 + 50 = 85.

Das bedeutet: (90−85)ha = 5ha liegen brach.

Arbeit: 3x+ 4y= 3·35 + 4·50 = 305.

Das bedeutet: (360−305)Tage = 55 Tage werden nicht ben¨otigt.

Kapital: 400x+ 200y= 400·35 + 200·50 = 24000.

Das bedeutet: Das vorhandene Kapital wird voll ausgenutzt.

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Aufgabe 1.2:

Ein Landwirt hat 50 Morgen für den Anbau von Braugerste und Zuckerrüben zur Verfügung.

Für die Frühjahrsarbeit sind bei Braugerste 10 Stunden/Morgen, bei Zuckerrüben 40 Stunden/Morgen erforderlich. Während dieser Zeit stehen insgesamt 800 Stunden zur Verfügung.

F¨ur die Erntezeit sind bei Braugerste 8 Stunden/Morgen, bei Zuckerr¨uben 20 Stunden/Morgen notwendig.

Es stehen f¨ur diese Zeit 460 Stunden zur Verf¨ugung.

Wegen des notwendigen Fruchtwechsels d¨urfen nicht mehr als 18 Morgen Zuckerr¨uben angebaut werden.

Der Gewinn je Morgen Braugerste betr¨agt a = 200 Euro und je Morgen Zuckerr¨uben b = 600 Euro.

a) Stellen Sie das mathematische Modell auf.

b) Bestimmen Sie f¨ur das mathematische Modell aus Aufgabe 1 den maximalen Gewinn G_max. L¨osen Sie in folgenden Schritten:

i) Bestimmen Sie das Planungspolygon zeichnerisch, machen Sie es durch Schraffur kenntlich, und interpretieren Sie es inhaltlich.

ii) Tragen Sie in der Zeichnung aus a) die Steigung der begrenzenden Geraden ein.

iii) Ermitteln Sie den Punkt, in dem die Zielfunktion (der Gewinn) maximal wird.

iv) Bestimmen Sie den maximalen Gewinn.

L¨osung:

Fr¨uhjahrsarbeit Erntearbeit Gewinn

Braugerste 10 h/Morgen 8 h/Morgen 200 EUR/Morgen

Zuckerr¨uben 40 h/Morgen 20 h/Morgen 600 EUR/ Morgen

Gesamte Arbeitszeit 800 h 460 h

x₁ sei die Anzahl der Morgen Land, auf dem Braugerste,

x₂ sei die Anzahl der Morgen Land, auf dem Zuckerr¨uben angebaut werden.

a) Das mathematische Modell lautet:

1.) Nicht-Negativit¨atsbedingungen: x₁ ≥0 x₂ ≥0 2.) Weitere einschr¨ankende Bedingungen:

Land: x₁+x₂ ≤ 50 (1)

Fruchtwechsel: x₂ ≤ 18 (2)

Fr¨uhjahrsarbeit: 10x₁+ 40x₂ ≤ 800 (3)

Erntearbeit: 8x₁+ 20x₂ ≤ 460 (4)

3.) Zielfunktion: G(x1, x2) = 200x1+ 600x2 (5)

ist ¨uber den durch 1. und 2. festgelegten Planungspolygon zu maximieren.

b) i) Zur Bestimmung des Planungspolygons ist es g¨unstig, die begrenzenden Geraden und deren wich- tigste Parameter entsprechend dem mathematischen Modell festzulegen.

Begrenzende Geraden

Gegebene Gleichung Achsenabschnittsform Normalform Steigung

x₁+x₂ = 50 ^x₅₀¹ + ^x₅₀² = 1 x₂ =−x₁+ 50 m₁ =−1 (1’)

x₂ = 18 ^x₁₈² = 1 x₂ = 18 m₂ = 0 (2’)

10x₁+ 40x₂ = 800 ^x₈₀¹ + ^x₂₀² = 1 x₂ =−¹₄x₁+ 20 m₃ =−¹₄ (3’) 8x₁+ 20x₂ = 460 _57,5^x¹ +^x₂₃² = 1 x₂ =−²₅x₁+ 23 m₄ =−²₅ (4’)

sowie x₁ = 0 undx₂ = 0

F¨ur die Punkte mit den Wertepaaren, die einen konstanten vorgegebenen GewinnGergeben, gilt:

G= 200x1+ 600x2 (5)

(5)

Der Graph f¨ur einen festen vorgegebenen Wert G ist eine Gerade, die Isogewinngerade: F¨ur alle Punkte dieser Gerade ist der Gewinn gleich G.

So folgt aus (5):

x₂ =−1

3x₁+ G

600 (6)

Setzt man f¨ur G verschiedene Werte ein, so ist (6) die Gleichung f¨ur eine Schar von paralellen Geraden mit der Steigung −1/3 und dem x₂-Achsenabschnitt ₆₀₀^G .

Der Wert G ist dann maximal, wenn derx₂−Achsenabschnitt maximal ist. Man erhält daher den maximalen Wert der Zielfunktion, indem man aus der Schar der Geraden diejenigen auswählt, für die der Achsenabschnitt auf der x2-Achse möglichst groß ist und die noch mindestens einen Punkt mit dem Planungspolygon gemeinsam hat: Siehe die gestrichelte Gerade (6 für max.).

Die folgende Zeichnung zeigt das Planungspolygon:

-10 0 10 20 30 40 50 60

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90X1

X2

(6) für=0 (1`) (6) für max.

(2`)

(4`) (3`) C=Max

E D B

A

m1= -1 m2= 0 m3= -1/4 m4= -2/5 m6= -1/3

Das Planungspolygon ist schraffiert. Es enth¨alt alle Punktepaare ( Koordiantenpaare), die die Be- dingungen erf¨ullen.

ii) Die Steigungen sind in der Abbildung eingetragen worden.

iii) In C(20/15) wird die Zielfunktion maximal. C ist der Schnittpunkt der Geraden (4‘) und (3‘).

Aus (4‘) oder (4): x₂ = 23−0,4x₁ (7)

Aus (3‘) oder (3): 10x₁−40x₂ = 800 (8)

10x₁+ 920−16x₁ = 800, x₁ = 20.

Aus (7) folgt: x₂ = 15.

iv) Der maximale Gewinn betr¨agt:

G_max = G(20; 15) = (200·20 + 600·15)EUR = 13000 EUR

(6)

Aufgabe 1.3:

a) Interpretieren Sie in Aufgabe 1.2 die Koordinaten des Maximalpunktes im Bezug auf das gegebene reale Problem.

b) Welche Ressourcen werden im Maximalpunkt voll ausgenutzt, welche nicht?

c) Bestimmen Sie in Aufgabe 1.2 f¨ur alle Gewinne a und b das jeweilige Produktionsprogramm und geben Sie es in einer ¨ubersichtlichen tabellarischen Darstellung an.

L¨osung:

a) So sieht das Produktionsprogramm im Maximalpunkt C(20/15) aus:

Nicht-Negativitätsbedingungen und einschränkende Bedingungen werden erfüllt:

x₁ ≥0, x₂ ≥0, x₁ = 20, x₂ = 15

Land: x₁+x₂ ≤ 50 (1)

Land: 20 + 15 = 35 (1_max)

Fruchtwechsel: x₂ ≤ 18 (2)

Fruchtwechsel: 15 ≤ 18 (2_max)

Fr¨uhjahrsarbeit: 10x₁+ 40x₂ ≤ 800 (3)

Fr¨uhjahrsarbeit: 200 + 600 = 800 (3_max)

Erntearbeit: 8x₁+ 20x₂ ≤ 460 (4)

Erntearbeit: 160 + 300 = 460 (4max)

b) Aus der Tabelle kann man ablesen, dass die zur Verfügung stehenden 50 Morgen Land und die für den Fruchtwechsel maximal möglichen 18 Morgen Land im Maximalpunkt nicht voll ausgenutzt werden, wohl aber die Arbeitzeit für die Frühjahrsarbeit und die Erntearbeit.

c) Die Kosten pro angebaute Braugerstefläche (Morgen)x1 mögenaEUR und die Kosten pro angebaute Zuckerrübenfläche (Morgen) x₂ mögen b EUR betragen.

Dann ist die Zielfunktion:

G(x₁, x₂) =ax₁+bx₂ (9)

setzt man G(x₁, x₂) = G= const., folgt aus (9)

y=−a

bx₁+ G

bx₂ (9^∗)

Ist (9^∗) parallel zur Achse x₂, d.h. sie haben dieselbe Steigung, so ist G(x₁/x₂) maximal f¨ur alle Punkte OA

Wir stellen die Ergebnisse in folgender Tabelle zusammen:

Preisverhältnis â_b Steigung m=−â_b der Kostenfunktion Minimalpunkt(e)

a

b >0 m <0 A

a

b = 0 m = 0 AB

0> ^a_b > ¹₄ 0< m <−¹₄ B

a

b = ¹₄ m=−¹₄ BC

1

4 > ^a_b > ²₅ −¹₄ < m <−²₅ C

a

b = ²₅ m=−²₅ CD

2

5 > ^a_b >1 −²₅ < m <−1 D

a

b = 1 m=−1 ED

a

b >1 m <−1 E

(7)

Aufgabe 1.4:

Aus zwei SubstanzenS₁ undS₂ soll ein Vitaminpräparat hergestellt werden. Der Gehalt an den Vitaminen A, B, C und D in 1000 I.E. (internationale Einheiten) je g dieser Substanzen, der Mindestbedarf pro Tag in 1000 I.E. in dem herzustellenden Präparat und die Kosten a für S₁ und b für S₂ (in EUR/g) sind:

Gehalt in 1000 I.E. je g Mindestbedarf (pro bei S₁ bei S₂ Tag) in 1000 I.E.

Vitamin A 2 1 16

Vitamin B 1 0 2

Vitamin C 2 3 32

Vitamin D 2 5 40

Kosten (EUR/g) 10 8

Das Pr¨aparat soll durch Mischung von S₁ und S₂ so hergestellt werden, dass die angegebenen Mindest- mengen darin enthalten sind und die Kosten minimal sind.

a) Wie muss gemischt werden? Wie hoch sind die minimalen Kosten?

L¨osung in folgenden Schritten:

i) Stellen Sie das mathematische Modell auf.

ii) Bestimmen Sie das Planungspolygon zeichnerisch und machen Sie es durch Schraffur kenntlich.

Interpretieren Sie es inhaltlich.

iii) Tragen Sie die Steigungen der begrenzenden Geraden ein.

iv) Ermitteln Sie den Punkt, in dem die Zielfunktion (die Kosten) minimal wird, aus der Zeichnung.

Bestimmen Sie seine Koordinaten rechnerisch und interpretieren Sie sie inhaltlich.

v) Bestimmen Sie die minimalen Kosten.

b) Interpretieren Sie die Koordinaten des Minimalpunktes in Bezug auf das gegebene Problem. Bei welchen Vitaminen ist der Mindestbedarf exakt eingehalten, bei welchen wird er im Minimalpunkt

¨uberschritten?

c) Bestimmen Sie für alle Kosten a und b die jeweilige Zusammensetzung der Präparate und geben Sie sie in einer übersichtlichen tabellarischen Darstellung an.

L¨osung:

S₁ sei die Menge der Substanz S₁ zur Herstellung eines Vitaminpr¨aparates, S₂ sei die Menge der Substanz S₂ zur Herstellung eines Vitaminpr¨aparates.

a) Das mathematische Modell lautet:

i) 1) Nicht-Negativit¨atsbedingungen: S₁ ≥0, S₂ ≥0 2) Weitere einschr¨ankende Bedingungen:

Vitamin A: 2S1 +S2 ≥ 16 (1)

Vitamin B: S₁ ≥ 2 (2)

Vitamin C: 2S₁+ 3S₂ ≥ 32 (3)

Vitamin D: 2S₁+ 5S₂ ≥ 40 (4)

3) Zielfunktion: G(S₁, S₂) = 10S₁+ 8S₂ (5)

soll ¨uber das durch 1. und 2. festgelegte Planungspolygon minimiert werden.

ii) Um das Planungspolygon zu zeichnen ist es empfehlenswert die begrenzenden Geraden festzulegen.

(8)

Begrenzende Geraden

gegebene Gleichung Achsenabschnittsform Normalform Steigung

2S₁+S₂ = 16 ¹₈S₁+₁₆¹ S₂=1 S₂ =−2S₁ + 16 m₁ =−2 (1’) S1 = 2 ¹₂S1=1 S1 = 2 m2 =∞ nicht def. (2’) 2S₁+ 3S₂ = 32 ₁₆¹ S₁+₃₂³ S₂=1 S₂ =−²₃S₁+³²₃ m₃ =−²₃ (3’) 2S₁+ 5S₂ = 40 ₂₀¹S₁+¹₈S₂=1 S₂ =−²₅S₁+ 8 m₄ =−²₅ (4’) 10S₁+ 8S₂ =G ¹⁰_GS₁+ _G⁸S₂=1 S₂ =−⁵₄S₁+^G₈ m₅ =−⁵₄ (5’) sowieS₁ = 0 undS₂ = 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20S1

S2

(3’) (4’)

(2’)

C A

(5_min’) (1’)

B=M_min

Steigungen m1= -2

m2= ∝ [nicht def.]

m3= -2/3 m4= -2/5 m5= -5/4

Das Planungspolygon ist in der Abbildung schraffiert. Der Graph der Zielfunktion f¨ur einen festen, vorgebenen Wert G ist eine Gerade, die Isogewinngerade genannt wird.

Die Isogewinngeraden sind paralelle Geraden (gleicher Anstiegm₅ =−⁵₄ mit demS₂-Achsenabschnitt

G 8.

Der Wert Gist dann minimal, wenn der Achsenabschnitt der S₂-Achse minimal ist.

Der minimale Wert der Zielfuntion wird erreicht, wenn aus den Isogewinngeraden diejenige aus- gew¨ahlt wird, bei der der Achsenabschnitt am kleinsten ist und diese noch mindestens einen gemeinsamen Punkt mit dem Planungspolygon hat. Diese Gerade (5min) ist in der Abbildung eingezeichnet.

iii) Die Steigungen sind aus der Tabelle in der Abbildung eingetragen worden.

iv) Der Punkt M_min kann aus der Abbildung abgelesen werden. M_min ist der Schnittpunkt der Ge- raden (1’) und (3’).

(9)

2S₁ = 16−S₂ (1’)

2S₁ = 32−3S₂ (3’)

16−S₂ = 32−3S₂ S₂ = 8

2S₁ = 16 - 8 S₁ = 4

M_min(4/8) ist der gesuchte Punkt, bei dem die Zielfunktion (die Kosten) minimal ist. Aus der Substanz 1 (S₁) müssen 4 g und aus der Substanz 2 ( S₂) 8 g zusammengestellt werden um ein Vitaminpräparat herzustellen, das den täglichen Mindestbedarf der aufgelisteten Vitamine deckt.

v) Mit Hilfe der Koordinaten von M_min(4/8) k¨onnen auch die minimalen Kosten zur Herstellung eines Vitaminpr¨aparates ermittelt werden.

10S₁ + 8S₂ = G(S₁, S₂) 10·4 + 8·8 = G(4,8)

40 + 64 = G(4,8) G(4,8) = 104

Die minimalen Kosten zur Herstellung des Vitaminpr¨aparates betragen 104 EUR.

b) Laut der Rechenkontrolle wird im Minimalpunkt der t¨agliche Mindestbedarf f¨ur jedes Vitamin ge- deckt. Rechenkontrolle:

Vitamin A: 2·4 + 8 ≥ 16 (1)

16 ≥ 16

Vitamin B: 4 ≥ 2 (2)

Vitamin C: 2·4 + 3·8 ≥ 32 (3)

32 ≥ 32

Vitamin D: 2·4 + 5·8 ≥ 40 (4)

48 ≥ 40

Bei den Vitaminen A und C wird der Mindestbedarf exakt eingehalten, bei den Vitaminen B und D wird er ¨uberschritten.

c) Die Kosten pro g vonS1 m¨ogen a EUR und die Kosten pro g von S2 m¨ogen b EUR betragen. Dann ist die Zielfunktion:

G(S₁, S₂) =aS₁ +bS₂ (6)

setzt man G(S₁, S₂) = K = const., folgt aus (6) y=−a

bS₁+ K

b S₂ (6’)

Ist (6’) parallel zu (1’), d.h. (6’) und (1’) haben dieselbe Steigung, so ist K(S₁/S₂) minimal f¨ur alle Punkte AB.

Ist (6’) parallel zu (3’), d.h. (6’) und (3’) haben dieselbe Steigung, so ist K(S₁/S₂) minimal f¨ur alle Punkte BC.

Ist (6’) parallel zu (4’), d.h. (6’) und (4’) haben dieselbe Steigung, so ist K(S₁/S₂) minimal f¨ur alle Punkte CD.

Steigungen (1’) m₁ = −2 (3’) m₃ = −²₃ (4’) m₄ = −²₅

Liegt die Steigung m von (6’) zwischen der Steigung von (1’) und (3’), also zwischen −2 und −2/3, d. h. −2< m <−2/3, so ergibt sich B als Minimalpunkt. Ist die Steigung m von (6’) kleiner als die Steigung von (1’), also m <−2; so istA der Minimalpunkt.

(10)

Wir stellen die Ergebnisse in folgender Tabelle zusammen:

Preisverhältnis â_b Steigung m=−â_b der Gewinnfunktion Maximalpunkt(e)

a

b >2 m <−2 A

a

b = 2 m=−2 AB

2> ^a_b > ²₃ −2< m <−²₃ B

a

b = ²₃ m =−²₃ BC

2

3 > ^a_b > ²₅ −²₃ < m <−²₅ C

a

b = ²₅ m =−²₅ CD

a

b > ²₅ −²₅ < m <0 D

Aufgabe 1.5:

Ein Landwirt hat 160 ha Ackerland f¨ur den Anbau von Raps (x1) und Getreide (3x1) zur Verf¨ugung.

Getreide wird immer dreimal soviel als Raps angebaut.

Die Weinanbaufl¨ache (x₂) dieses Betriebes ist auf maximal 6 ha begrenzt.

Anhand des folgenden mathematischen Modells soll der Landwirt sein Produktionsprogramm und den dabei erzielbaren Gewinn (in Euro) ermitteln:

1.) Nicht-Negativit¨atsbedingungen: x₁ ≥0 x₂ ≥0 (1)

2.) Weitere einschr¨ankende Bedingungen:

Ackerbau: x1 + 3x1≤160 (2)

Weinbau: x₂≤6 (3)

Arbeitszeitbedarf: 9(x₁+ 3x₁) + 1200x₂≤8400 (4)

3.) Die Gewinnfunktion: G(x1, x2) = 150(x1+ 3x1) + 7200x2 (5) ist ¨uber das durch (1)-(4) festgelegte Planungspolygon zu maximieren.

L¨osen Sie die Aufgabe in folgenden Schritten:

a) Bestimmen Sie das Planungspolygon zeichnerisch und machen Sie es durch Schraffur kenntlich.

b) Tragen Sie in der Zeichnung aus a) die Steigung der begrenzenden Geraden des Planungspolygons ein.

c) Zeichnen Sie eine Isogewinngerade und tragen Sie ihre Steigung ein.

d) Bestimmen Sie den Punkt M, in dem die Gewinnfunktion (5) maximal wird, zeichnerisch und seine Koordinaten rechnerisch.

e) Bestimmen Sie den maximalen Gewinn. Vergessen Sie bitte die W¨ahrungseinheit nicht!

L¨osung:

Begrenzende Geraden:

4x1 = 160 (2’)

x₁ = 40

x₂ = 6 (3’)

36x₁+ 1200x₂ = 8400 (4’)

x₂ = −₁₀₀³ x₁+ 7

Gewinnfunktion G(x₁, x₂) = 600x₁+ 7200x₂ (5’)

Isogewinngerade: x₂ = −₁₂¹x₁+ ₇₂₀₀^G

f¨ur G=14400 x₂ = −₁₂¹x₁+ 2 (5’^∗)

(11)

a) b) und c) Die folgende Zeichnung enth¨alt die L¨osungen.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

(2’)

Steigungen:

m2=∝ [nicht def.]

m3=0 m4=-0,03 m5=-1/12 (5’max)

(5’)*

(4’) M (40 / 5,8) (3’)

Planungspolygon (P)

X₁ X₂

* Isogewinngerade für G=14400

d) Die Bestimmung der Koordinaten im PunktM (Schnittpunkt der begrenzenden Geraden 2’ und 4’):

x₁ = 40

x₂ = −₁₀₀³ ·40 + 7 aus (4’)

x₂ = 5,8

Der Maximalpunkt ist M(40/5,8).

e) Der maximale Gewinn dieses Produktionsprogramms betr¨agt:

G_max =G(40; 5,8) = 40·600 + 7200·5,8 = 65760 EUR Aufgabe 1.6:

Ein Problem der linearen Optimierung sei durch folgendes mathematische Modell gegeben:

a) Nicht-Negativit¨atsbedingungen:

x≥0, y ≥0 (1)

b) Weitere einschr¨ankende Bedingungen:

30x+ 20y ≤ 240 (2)

x ≤ 5,6 (3)

y ≤ 5 (4)

35x+ 42y ≥ 147 (5)

c) Zielfunktion:

Z₁(x, y) = 9x+ 3y, (6)

i) Bestimmen Sie das Planungspolygon zeichnerisch.

ii) Ermitteln Sie den PunktM₁₁, in dem die Zielfunktion maximal wird, und den Punkt M₁₂, in dem die Zielfunktion minimal wird, jeweils zeichnerisch und seine Koordinaten jeweils rechnerisch.

iii) Wie groß ist der maximale bzw. minimale Wert der Zielfunktion?

(12)

L¨osung:

i) Um das Planungspolygon zu zeichnen ist es empfehlenswert die begrenzenden Geraden festzulegen.

Begrenzende Geraden Achsenabschnittsform Normalform Steigung

1

8x+ ₁₂¹y=1 y=−³₂x+ 12 m₂ =−³₂ (2’)

1

5,6x=1 x= 5,6 m3 =∞ nicht def. (3’)

1

5y=1 y= 5 m₄ = 0 (4’)

5

21x+ ₂₁⁶y=1 y=−⁵₆x+ ²¹₆ m5 =−⁵₆ (5’)

9 Z1x+ _Z³

1y=1 y=−3x+ ^Z₃¹ m₆ =−3 (6’)

sowiex= 0 und y= 0 (1a’)/(1b’)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 10

y

(4’)

(2’)

(5’)

(6min’) (6max’)

A=M12

F E

D=M11

C B

(3’)

Steigungen m2= -3/2

m3= ∝ [nicht def.]

m4= 0 m₅= -5/6 m_6min= -3 m6max= -3

ii) Z₁ist genau dann maximal/minimal, wenn dery-Achsenabschnitt ^Z₃¹ maximal/minimal ist. Die Punk- teM₁₁ und M₁₂ wurden in der Zeichnung mit Hilfe der jeweiligen Isogewinngeraden (6_max und 6_min) eingezeichnet. Zur rechnerischen Bestimmung dieser Punkte muss vom Planungspolygon abgelesen werden, welche begrenzenden Geraden den Schnittpunkt zu den gesuchten Koordinaten geben.

• Der MaximalpunktM₁₁ergibt sich aus dem Schnittpunkt der begrenzenden Geraden (2’) und (3’).

30x+ 20y = 240 (2’)

x = 5,6 (3’)

x = 5,6 30·5,6 + 20y = 240 168 + 20y = 240 20y = 72

y = 3,6

Der gesuchte Maximalpunkt, in dem die Zielfunktion maximal wird, ist M11(5,6/3,6).

(13)

• Der MinimalpunktM₁₂ kann in gleicher Weise aus dem Schnittpunkt der begrenzenden Geraden (1a’) und (5’) bestimmt werden.

x = 0 (1a’)

35x+ 42y = 147 (5’)

42y = 147 y = 3,5

Der gesuchte Minimalpunkt, in dem die Zielfunktion minimal wird, ist M₁₂(0/3,5).

iii) • Der maximale Gewinn der Zielfunktion wird im MaximalpunktM11(5,6/3,6) erreicht:

Z_1max(x, y) = 9x+ 3y

Z_1max = 9·5,6 + 3·3,6 Z_1max = 50,4 + 10,8 Z_1max = 61,2

• Der minimale Gewinn der Zielfunktion wird im MinimalpunktM₁₂(0/3,5) erreicht:

Z_1min(x, y) = 9x+ 3y Z_1min = 9·0 + 3·3,5 Z_1min = 10,5

Aufgabe 1.7:

Ersetzen Sie in Aufgabe 1.6 die Zielfunktion (6) durch

Z₂(x, y) = 40x−10y+ 20 (7)

und l¨osen Sie ii) und iii) entsprechend (Maximalpunkt sei M₂₁, Minimalpunkt M₂₂).

L¨osung:

i) Das mathematische Modell wurde in der Aufgabenstellung nicht ge¨andert. Das Planungspolygon bleibt auch g¨ultig. Nur die Zielfunktion ist anders.

Begrenzende Geraden Achsenabschnittsform Normalform Steigung

1

8x+₁₂¹ y = 1 y =−³₂x+ 12 m₂ =−³₂ (2’)

1

5,6x = 1 x= 5,6 m3 =∞ nicht def. (3’)

1

5y = 1 y= 5 m₄ = 0 (4’)

5

21x+₂₁⁶ y = 1 y =−⁵₆x+²¹₆ m₅ =−⁵₆ (5’)

40 Z2x− _Z¹⁰

2y+_Z²⁰

2 = 1 y= 4x+ 2−^Z₁₀² m₇ = 4 (7’)

sowiex= 0 und y= 0 (1a’)/(1b’)

ii) Z₂ ist genau dann maximal/minimal, wenn der y-Achsenabschnitt 2− ^Z₁₀² minimal/maximal ist. Die Punkte M₂₁ und M₂₂ wurden in der folgenden Zeichnung mit Hilfe der jeweiligen Isogewinngeraden (7_max und 7_min) eingezeichnet. Zur rechnerischen Bestimmung dieser Punkte muss vom Planungpoly- gon abgelesen werden, welche begrenzenden Geraden den Schnittpunkt zu den gesuchten Koordinaten geben.

(14)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

y

(3’)

(4’)

(2’) F

D

E=M₂₁ C

A

(7_max’)

(7min’)

(5’) B=M₂₂

Steigungen m2= -3/2 m3= ∝ [nicht def.]

m4= 0 m5= -5/6 m7min= 4 m7max= 4

• Der MaximalpunktM21ergibt sich aus dem Schnittpunkt der begrenzenden Geraden (1b’) und (3’).

y= 0 (1b’)

x= 5,6 (3’)

Der gesuchte Maximalpunkt, in dem die Zielfunktion maximal wird, ist M₂₁(5,6/0).

• Der MinimalpunktM₂₂ kann in gleicher Weise aus dem Schnittpunkt der begrenzenden Geraden (1a’) und (4’) bestimmt werden.

x= 0 (1a’)

y= 5 (4’)

Der gesuchte Minimalpunkt, in dem die Zielfunktion minimal wird, ist M₂₂(0/5).

iii) • Der maximale Gewinn der Zielfunktion wird im MaximalpunktM₂₁(5,6/0) erreicht:

Z_2max(x, y) = 40x−10y+ 20 Z_2max = 40·5,6−10·0 + 20 Z2max = 224 + 20

Z_2max = 244

• Der minimale Gewinn der Zielfunktion wird im MinimalpunktM₂₂(0/5) erreicht:

Z2min(x, y) = 40x−10y+ 20 Z_2min = 40·0−10·5 + 20 Z_2min = −30

Aufgabe 1.8:

Fügen Sie in Aufgabe 1.6 in b) als zusätzlich einschränkende Bedingungen ein

x∈N0, y ∈N0 (8)

a) Bestimmen Sie den MaximalpunktM₃₁ und den MinimalpunktM₃₂.

b) Bestimmen Sie das MaximumZ_max und das MinimumZ_min der Zielfunktion Z₁. Bemerkung:

Zeichnen Sie die Planungspolygone auf kariertes Papier mit Kästchenbreite 0,5 cm. Wählen Sie als Einheit zwei Kästchen.

(15)

L¨osung:

a) Mit den Zusatzbedingungen x ∈ N0, y ∈ N0 besteht das Planungspolygon jetzt nur noch aus den

”Gitterpunkten“ des Planungspolygons der Aufgabe 1.6, d.h. aus den Punkten, deren Koordinaten ganzzahlig und gr¨oßer gleich Null sind.

Diese Gitterpunkte, der Maximalpunkt M₃₁ und der Minimalpunkt M₃₂ sind in der Abbildung fett eingezeinet.

0 1 2 3 4 5 6 7

x

y ^M³¹^(5/4)^M³²^(0/4)

(6_max’), wenn x N₀ und y N₀ (6min’), wenn

x N₀und y N₀

Der maximale Gewinn der Zielfunktion wird im MaximalpunktM31(5/4) erreicht:

Z_3max(x, y) = 9x+ 3y Z_3max = 9·5 + 3·4 Z_3max = 45 + 12 Z_3max = 57

Der minimale Gewinn der Zielfunktion wird im Minimalpunkt M₃₂(0/4) erreicht:

Z_3min(x, y) = 9x+ 3y Z_3min = 9·0 + 3·4 Z_3min = 12

(16)

2 Summen- und Produktzeichen

Die nächsten Aufgaben werden mit Hilfe der folgenden Rechenregel für das Summenzeichen gelöst:

Rechenregel f¨ur das Summenzeichen:

Satz 1:

n

X

i=1

ai =

m

X

i=1

ai+

n

X

i=m+1

ai, wenn m < n. Satz 2: Pn

i=1 ba_i =b·

n

X

i=1

a_i. Satz 3a:

n

X

i=1

(ai+ci) =

n

X

i=1

ai+

n

X

i=1

ci. Satz 3b:

n

X

i=1

(ai−ci) =

n

X

i=1

ai−

n

X

i=1

ci. Satz 4a:

n

X

i=1

c=nc. Satz 4b:

s

X

i=r

c= (s−r+ 1)c . Satz 5:

n

X

i=1

(α a_i+λ c_i) =

n

X

i=1

α a_i+

n

X

i=1

λ c_i =α

n

X

i=1

a_i+λ

n

X

i=1

c_i.

Satz 5 ist eigentlich eine Verallgemeinerung von Satz 3 mit Hilfe von Satz 2.

Satz 6:

n

X

i=1

(a_1j +a_2j+a_3j+. . .+a_kj) =

n

X

i=1

a_1j+

n

X

i=1

a_2j +

n

X

i=1

a_3j +. . .+

n

X

i=1

a_kj. Satz 7:

n

X

i=1

(α₁a_1j +α₂a_2j+α₃a_3j+. . .+α_ka_kj) =

=α₁

n

X

i=1

a_1j +α₂

n

X

i=1

a_2j +α₃

n

X

i=1

a_3j +· · ·+α_k

n

X

i=1

a_kj. Rechenregel f¨ur die Doppelsumme:

Satz 8:

k

X

i=1 n

X

j=1

x_ij =

n

X

j=1 k

X

i=1

x_ij. Satz 9:

m

X

i=1 n

X

j=1

α ·a_ij =α ·

m

X

i=1 n

X

j=1

a_ij. Satz 10a:

m

X

i=1 n

X

j=1

(a_ij+b_ij) =

m

X

i=1 n

X

j=1

a_ij +

m

X

i=1 n

X

j=1

b_ij . Satz 10b:

m

X

i=1 n

X

j=1

(a_ij−b_ij) =

m

X

i=1 n

X

j=1

a_ij −

m

X

i=1 n

X

j=1

b_ij. Satz 11:

m

X

i=1 n

X

j=1

(α ·a_ij +β ·b_ij) =α ·

m

X

i=1 n

X

j=1

a_ij +β ·

m

X

i=1 n

X

j=1

b_ij.

Für die Sätze 2-11 kann auch eine vereinfachte Schreibweise für das Summenzeichen angewendet werden.

In diesen Sätzen spielt die Anzahl der Summanden keine Rolle, auch nicht, wie der erste und letzte Summand heißen: Die Sätze gelten für alle Summationsgrenzen; die Summationsgrenzen können daher weggelassen werden. Bei dieser vereinfachten Schreibweise wird (stillschweigend) vorausgesetzt, daß bei allen P

−Zeichen stets die gleiche untere und stets die gleich obere Summationsgrenze verwendet wird, zum Beispiel: Satz 11*: X

i

X

j

(α ·a_ij +β ·b_ij) = α ·X

i

X

j

a_ij +β ·X

i

X

j

b_ij.

(17)

Aufgabe 2.1:

a) ¨Andern Sie in

n

X

j=1

a_j den Summationsindex so ab, dass die Summation beij = 0 (beij = 2) beginnt.

b) ¨Andern Sie in

n

X

j=1

a_j den Summationsindex so ab, dass die Summation bei j =n−2 (beij =n+ 1) endet.

L¨osung:

Der Summationsindex zu jeder Aufgabenstellung istj. Die Summationsgrenzen m¨ussen auf folgende Weise ge¨andert werden:

a)

n

X

j=1

a_j =

n−1

X

j=0

a_j+1 =

n+1

X

j=2

aj−1

b)

n

X

j=1

a_j =

n−2

X

j=−1

a_j+2 =

n+1

X

j=2

a_j Aufgabe 2.2:

Formen Sie mit Hilfe der Rechenregeln f¨ur das Summenzeichen um:

a)

m

X

r=1

(ar+c) b)

k

X

j=1

(y_j −y) .¯ L¨osung:

a) Wenn man die S¨atze 3a und 4a anwendet, kommt man auf das folgende Ergebnis:

m

X

r=1

(a_r+c) =

m

X

r=1

a_r+m·c

Beweis: So w¨are es ohne Summenzeichen:

m

X

r=1

(a_r+c) =a₁ +c+a₂+c+a₃+. . .+a_m+c=a₁+a₂+a₃+. . .+a_m+m·c.

b) Wenn die S¨atze 3b und 4a angewendet werden, wobei ¯y ein konstanter Summand ist, bekommt man das folgende Ergebnis:

k

X

j=1

(y_j −y) =¯

k

X

j=1

y_j−k·y¯

Beweis: So w¨are es ohne Summenzeichen:

k

X

j=1

(yj −y) =¯ y1−y¯+y2−y¯+y3−y¯+. . .+yk−y¯=y1+y2+y3+. . .+yk+k·y¯.

(18)

Aufgabe 2.3:

Fassen Sie unter ein Summenzeichen zusammen:

a) 3

n

X

j=1

xi +

n

X

j=1

yi

b)

n−2

X

i=0

a_i+1 −

n

X

i=2

b_i+1. L¨osung:

a) Mit Hilfe der S¨atze 2 und 3a bekommt man das folgende Ergebnis:

3

n

X

j=1

x_i +

n

X

j=1

y_i =

n

X

j=1

3x_i +

n

X

j=1

y_i =

n

X

j=1

(3x_i+y_i)

b) Die zwei Summenzeichen haben unterschiedliche Summationsgrenzen, wobei die Anzahl der Summan- den gleich sind. Mit der Anpassung der Summationsgrenzen und -indizes kann die Aufgabe gel¨ost werden.

n−2

X

i=0

a_i+1 −

n

X

i=2

b_i+1 =

n−2

X

i=0

a_i+1 −

n−2

X

i=0

b_i+3 =

n−2

X

i=0

(a_i+1−b_i+3) oder

n−2

X

i=0

a_i+1 −

n

X

i=2

b_i+1 =

n

X

i=2

ai−1 −

n

X

i=2

b_i+1 =

n

X

i=2

(ai−1 −b_i+1) oder

n−2

X

i=0

a_i+1 −

n

X

i=2

b_i+1 =

n−1

X

i=1

a_i −

n−1

X

i=1

b_i+2 =

n−1

X

i=1

(a_i−b_i+2) . Aufgabe 2.4:

Schreiben Sie ohne Summenzeichen:

a)

3

X

i=1 5

X

k=4

(x_ik+x_i)

b)

3

X

i=1 i

X

j=1

x_iy_j. L¨osung:

a)

3

X

i=1 5

X

k=4

(x_ik+x_i) =

3

X

i=1 5

X

k=4

(x_ik+x_i)

!

=

3

X

i=1

(x_i4+x_i+x_i5+x_i)

=x₁₄+x₁ + x₁₅+x₁ + x₂₄+x₂ + x₂₅+x₂ + x₃₄+x₃ + x₃₅+x₃ oder, wenn zuerst ¨uber i summiert wird:

3

X

i=1 5

X

k=4

(x_ik+x_i) =

3

X

i=1 5

X

k=4

(x_ik+x_i)

!

=

5

X

k=4

(x_1k+x₁) +

5

X

k=4

(x_2k+x₂) +

5

X

k=4

(x_3k+x₃)

=x₁₄+x₁ + x₁₅+x₁ + x₂₄+x₂ + x₂₅+x₂ + x₃₄+x₃ + x₃₅+x₃

(19)

b) In dieser Aufgabe beginnen Sie mit der Summation ¨uber i, weil beim zweiten Summenzeichen dasi als obere Summationsgrenze vorkommt. Hier ist es nicht m¨oglich, wie z. B. in a) mit der Summation

¨uberj zu beginnen.

3

X

i=1 i

X

j=1

x_iy_j =

3

X

i=1 i

X

j=1

x_iy_j

!

=

f¨uri= 1 z }| {

1

X

j=1

x₁y_j +

f¨uri= 2 z }| {

2

X

j=1

x₂y_j+

f¨ur i= 3 z }| {

3

X

j=1

x₃y_j

=x₁y₁+x₂y₁ +x₂y₂+x₃y₁+x₃y₂+x₃y₃ Aufgabe 2.5:

Formen Sie mit Hilfe der Rechenregeln f¨ur die Doppelsumme um:

a)

m

X

i=1 k

X

j=1

(4x_ij + 3x_i)

b)

r

X

i=1 t

X

j=1

a_i · b_ij . L¨osung:

a) Wenden Sie die S¨atze 11, 4, 2 in dieser Reihenfolge an:

m

X

i=1 k

X

j=1

(4xij + 3xi) = 4

m

X

i=1 k

X

j=1

xij + 3

m

X

i=1 k

X

j=1

xi = 4

m

X

i=1 k

X

j=1

xij + 3

m

X

i=1 k

X

j=1

xi

!

= 4

m

X

i=1 k

X

j=1

xij + 3

m

X

i=1

k·x_i = 4

m

X

i=1 k

X

j=1

x_ij + 3k

m

X

i=1

x_i

b) F¨ur die Summation ¨uberj istai ein konstanter Faktor, der nach Satz 2 ausgeklammert werden kann:

r

X

i=1 t

X

j=1

a_i · b_ij =

r

X

i=1

a_i

t

X

j=1

b_ij

!

Aufgabe 2.6:

a) Berechnen Sie aus der Tabelle yi 4 5 6 7 h_i 0,05 0,50 0,25 0,20 der Reihe nach

y=

k

X

i=1

h_iy_i, s²₁ =

k

X

i=1

h_i(y_i−y)², s²₂ =

k

X

i=1

h_iy²_i −y² b) Schreiben Sie

τ =

k−1

X

j=1 k

X

i=j+1

sign (y_j −y_i)·sign (x_j−x_i)

f¨ur k= 3 ohne Summenzeichen und berechnen Sie anschließend f¨ur die drei Wertepaare:

(x1, y1) = (2; 7), (x₂, y₂) = (4; 1), (x₃, y₃) = (6; 3)

(20)

L¨osung:

a) y = 0,05·4 + 0,50·5 + 0,25·6 + 0,20·7 = 5,6

s²₁ = 0,05(4−5,6)²+ 0,50(5−5,6)²+ 0,25(6−5,6)²+ 0,20(7−5,6)² = 0,74 s²₂ = 0,05·4²+ 0,50·5²+ 0,25·6²+ 0,20·7²−5,6² = 0,74

b) τ =

2

X

j=1 3

X

i=j+1

sign (y_j −y_i)·sign (x_j −x_i)

=

3

X

i=2

sign (y₁−y_i)·sign (x₁−x_i) +

3

X

i=3

sign (y₂−y_i)·sign (x₂−x_i)

= sign (y₁−y₂)·sign (x₁−x₂) + sign (y₁ −y₃)·sign (x₁−x₃) + sign (y₂−y₃)·sign (x₂ −x₃)

= sign (7−1)·sign (2−4) + sign (7−3)·sign (2−6) + sign (1−3)·sign (4−6)

= 1·(−1) + 1·(−1) + (−1)·(−1) =−1−1 + 1 =−1 Aufgabe 2.7:

a) Schreiben Sie ohne Summenzeichen:

3

X

j=1

3a_j + 4,

2

X

i=0 i

X

j=0

a_ij.

b) Formen Sie mit Hilfe der Rechenregeln f¨ur das Summenzeichen soweit wie m¨oglich um:

n+1

X

k=0

(bxk−a),

n

X

i=1 k

X

j=1

(xij −x¯i).

c) Schreiben Sien! mit Hilfe des Produktzeichens, wobein∈N sei.

L¨osung:

a)

3

P

j=1

3a_j+ 4 = 3a₁ + 3a₂+ 3a₃+ 4.

Bemerkung:Beachten Sie, dass sich das Summenzeichen nur auf den ersten Summanden erstreckt.

+4 gehört also nicht mehr zum Summenzeichen. Soll +4 noch zum Summenzeichen gehören, müssen Klammern gesetzt werden:

3

X

j=1

(3a_j + 4).

2

X

i=0 i

X

j=0

a_ij =

0

X

j=0

a_0j +

1

X

j=0

a_1j +

2

X

j=0

a_2j =a₀₀+a₁₀+a₁₁+a₂₀+a₂₁+a₂₂.

Bei der Doppelsumme liegen gekoppelte Indizes vor. Daher muss zuerst das ¨außere Summenzeichen aufgel¨ost werden.

0

P

j=0

a_0j erh¨alt man, wenn man in der Doppelsumme i= 0 setzt;

1

P

j=0

a1j erh¨alt man, wenn man in der Doppelsumme i= 1 setzt;

2

P

j=0

a_2j erh¨alt man, wenn man in der Doppelsumme i= 2 setzt.

(21)

b) Es ist

n+1

X

k=0

(ba_k−a) =

n+1

X

k=0

ba_k−

n+1

X

k=0

a=b

n+1

X

k=0

a_k−(n+ 2)a ,

n

X

i=1 k

X

j=1

(x_ij −x¯_i) =

n

X

i=1 k

X

j=1

x_ij−

n

X

i=1 k

X

j=1

¯ x_i

=

(∗)

n

X

i=1 k

X

j=1

x_ij−

n

X

i=1

kx¯_i =

n

X

i=1 k

X

j=1

x_ij −k

n

X

i=1

¯ x_i.

(∗): F¨ur die Summation ¨uber j (von j = 1 bis j =k) ist ¯x_i ein konstanter Summand, er trittk-mal auf, so dass sich k·x_i ergibt.

c) n! = 1·2·3·. . .·n=

n

Y

i=1

i.

3 Finanzmathematik

Aufgabe 3.1:

Eine Schuld (ein Darlehen) von 50.000 EUR am 1.1. eines bestimmten Jahres werde mit einem jährlichen Schuldzinssatz von 5% verzinst und mit einer jährlichen Annuität von 19.000 EUR getilgt. Stellen Sie den Tilgungsverlauf (d.h. die jeweilige Restschuld Si im Laufe der Zeit i)

a) tabellarisch b) graphisch dar.

Zu a): Die Tabelle soll so angelegt werden, dass der Gedankengang der L¨osung ersichtlich ist.

Kommentieren und interpretieren Sie die 3. Zeile der Tabelle (das 3. Jahr).

Zu b): Man beachte, dass der Definitionsbereich der Funktion i→S_i die MengeR⁺0 ist.

Bemerkung: Funktionen des Typs wie in b) graphisch dargestellt treten in der Wahrscheinlichkeitsrech- nung auf.

c) Wie hoch ist die Restschuld nach 1¹₂ Jahren ? L¨osung:

a) Wenn A die konstante Annuit¨at, Z_i die Schuldzinsen des Jahres i und T_i der Tilgungsbetrag des Jahres i sind, so gilt:A=Z_i+T_i ⇔T_i =A−Z_i.

Die Schuldzinsen des i-ten Jahres werden zur Restschuld S_i⁰, die zu Beginn des i-ten Jahres besteht, addiert; der Tilgungsbetrag T_i des i-ten Jahres wird am Ende desi-ten Jahres gezahlt.

Daraus ergibt sich dann in tabellarischer Darstellung folgender Tilgungsverlauf:

Jahr i

Restschuld S_i⁰ am Beginn des Jahresi (in EUR)

SchuldzinsenZ_i des Jahres i (in EUR)

TilgungsbetragT_i des Jahres i (in EUR)

Restschuld S_i am Ende des Jahres i (in EUR)

1 50.000 0,05 · 50.000 =

2.500

19.000-2.500 = 16.500

50.000-16.500 = 33.500

2 33.500 0,05 · 33.500 =

1.675

19.000-1.675 = 17.325

33.500-17.325 = 16.175

3 16.175 0,05 · 16.175 =

808,75

19.000-808,75 = 18.191,25

16.175-18.191,25

= -2.016,25