Aufgabe 6.1:
Gegeben seien folgende Matrizen:
A=
a) Welche Matrix ist (bzw. welche Matrizen sind) symmetrisch? Vergessen Sie nicht Ihre Antwort zu begr¨unden!
b) Welche Summen bzw. Produkte sind definiert?
Summe N+M
Schreiben Sie bitte die Tabellen mit den L¨osungen auf die L¨osungsbl¨atter! Tragen Sie j(= ja) in das betreffende Feld ein, wenn die Summe bzw. das Produkt definiert ist, andernfalls lassen Sie das Feld frei.
c) Berechnen Sie das Produkt B·A.
d) Das in c) berechnete B·A kann mit Hilfe des folgenden Satzes ¨uberpr¨uft werden:
Wenn Nund Mquadratische Matrizen sind, dann gilt f¨ur alle Nund M:
det(N·M) = detN·detM (∗)
i) Wenn das in c) berechneteB·A die Aussage (∗) erf¨ullt, was bedeutet das f¨ur die Richtigkeit des in c) berechnetenB·A?
Vergessen Sie bitte die Begr¨undung nicht!
ii) Wenn das in c) berechneteB·Adie Aussage (∗) nicht erf¨ullt, was bedeutet das f¨ur die Falschheit des in c) berechneten B·A?
Vergessen Sie bitte die Begr¨undung nicht!
L¨osung:
a) B, E sind symmetrisch. Durch Spiegelung an der Hauptdiagonale (
”von links oben nach rechts unten
“) ergibt sich wieder dieselbe Matrix: B=B0 und E=E0 . b) Di folgende Summen bzw. Produkten sind definiert (j):
Summe N+M
d) i) Nichts. B·A kann richtig berechnet worden sein; dann ergibt sich in ( *) eine wahre Aussage, wenn bei den Rechnungen in (*) keine Fehler gemacht worden sind. B · A kann auch falsch berechnet worden sein. Wenn dann bei den Rechnungen in (*) mindestens ein Fehler gemacht worden ist, kann dieser Fehler so beschaffen sein, daß eine wahre Aussage in (*) entsteht.
ii) Nichts. B·A kann falsch berechnet worden sein. Dann kann sich in (*) eine falsche Aussage ergeben, wenn bei den Berechnungen in (*) keine Fehler gemacht werden.
B·A kann richtig berechnet worden sein; und bei den Berechnungen in (*) ist mindestens ein Fehler gemacht worden, so daß dadurch in (*) eine falsche Aussage entsteht.
Aufgabe 6.2:
a) Sei
A=
2 −1
5 7
, B=
−3 −7
3 5
. Berechnen SieA·B , A+B , A−B , A0.
b) ¨Uberpr¨ufen Sie das in a) berechnete Produkt anhand des folgenden Satzes:
X und Y seien quadratische Matrizen. Dann gilt :
det(X·Y) = detX·detY (∗)
Hinweis:Bitte achten Sie auf eine logisch korrekte Darstellung: Wenn man aus einer AussageA, von der man nicht weiß, ob sie wahr oder falsch ist, solange Folgerungen zieht, bis eine erkennbar wahre Aussage B entsteht, so heißt das nicht, dass A wahr ist.
c) Was bedeutet das Ergebnis aus b) f¨ur die Richtigkeit des in a) berechneten Produkts? Kurze Begr¨undung der Antwort!
Wenn man das in a) errechnete A·B mit Hilfe von (*) ¨uberpr¨uft, gibt es zwei M¨oglichkeiten: (*) ist erf¨ullt oder (*) ist nicht erf¨ullt. Beantworten Sie die obige Frage
”Was bedeutet ...“ auch f¨ur den Fall, der bei Ihnen in b) nicht aufgetreten ist.
L¨osung:
a) Die Matrizenmultiplikation merke man sich mit dem Schlagwort
”Zeile mal Spalte (skalar multipli-ziert)“.
A·B =
2 −1
5 7
·
−3 −7
3 5
=
2·(−3) + (−1)·3 2·(−7) + (−1)·5 5·(−3) + 7·3 5·(−7) + 7·5
=
−9 −19
6 0
. b) Es ist
det (A·B) = −9 −19
6 0 = (−9)·0−(−19)·6) = 114;
det (A) = 2 −1
5 7 = 2·7−(−1)·5) = 19;
det (B) = −3 −7
3 5 = (−3)·5−(−7)·3) = 6.
detA·detB = 19·6 = +114. Die Aussage (*), hier det(A ·B) = detA·detB, wird von dem berechnetenA·B erf¨ullt.
c) Die Rechenkontrolle (*) ergibt f¨ur das in a) berechneteA·B eine wahre Aussage. F¨ur die Richtigkeit des in a) berechneten A·B sagt dies gar nichts:
i) WennA·Brichtig berechnet worden ist, dann wird die Aussage (*) nat¨urlich erf¨ullt, vorausgesetzt, man hat bei der ¨Uberpr¨ufung von (*) keinen Fehler gemacht.
Wenn A·B aber nicht richtig berechnet worden ist, dann kann es sein, dass bei (*) ein solcher Fehler gemacht worden ist, der den Fehler bei der Berechnung vonA·B gerade aufhebt.
Es kann aber auch sein, dass sich ein solcher Fehler bei der Berechnung vonA·Bin (*) ¨uberhaupt nicht bemerkbar macht, d.h. dass (*) auch erf¨ullt ist, wenn A·B falsch berechnet worden ist.
Ein solcher Fall kann im obigen Beispiel eintreten:
Wenn in a) im berechneten A·Bdas Element
”links oben“ irgendeine beliebige andere Zahl als
−9 ist, dann ist trotzdem det(A·B) = 114; und die Aussage (*) wird von diesem A·B erf¨ullt.
ii) Wenn dagegen die Aussage (*) von dem berechnetenA·B nicht erf¨ullt ist, so kann man auch nichts ¨uber die Richtigkeit des berechnetenA·B aussagen:
A·B kann richtig sein, aber bei der ¨Uberpr¨ufung von (*) kann ein Fehler gemacht worden sein, der dazu f¨uhrt, dass (*) nicht erf¨ullt ist.
A·B kann aber auch falsch berechnet worden sein, was dann zur Folge haben kann, dass die Aussage (*) nicht erf¨ullt ist.
Bemerkung: Man achte auf die gestellte Frage. Die (aufgrund der Formulierungen in der Vor-lesung bzw. ¨Ubung) gegebenen Antworten:
”Wenn (*) erf¨ullt ist, hat man keinen Fehler bei der Berechnung von A· B feststellen k¨onnen“ und
”Wenn (*) nicht erf¨ullt ist, hat man minde-stens einen Fehler gemacht (bei der Berechnung von A·B oder bei der ¨Uberpr¨ufung von (*) oder bei beidem)“ beantworten die gestellte Frage nicht:
”Was bedeutet das Ergebnis aus dem Aufgabenteil b) f¨ur die Richtigkeit des in a) berechneten A·B?“
Aufgabe 6.3:
Gegeben seien die Vektoren y=
12 5
, y1 = 10
1
, y2 = 1
2
.
a) yheißt Linearkombination vony1 undy2, wenn es Zahlen a1 unda2 gibt, so dassy=a1·y1+a2·y2. Stellen Sie yals Linearkombination von y1 und y2 dar:
i) Rechnerische L¨osung.
Das lineare Gleichungssystem l¨ose man mit der Cramerschen Regel.
ii) Zeichnerische L¨osung.
b) |y|=√
y·y heißt Betrag vony.
Berechnen Sie den Betrag des oben genannten Vektors y= 12
5
i) aus der angegebenen Definition,
ii) mit Hilfe der geometrischen Bedeutung von |y| (Satz des Pythagoras anwenden). Skizze!
L¨osung:
a) i) Aus der im Aufgabentext genannten Definitionsgleichung erh¨alt man:
12 5
=a1 · 10
1
+a2· 1
2
.
Nach den Rechenregeln f¨ur Vektoren und der Gleichheit von Vektoren folgt:
Dies ist ein lineares Gleichungssystem: zwei Gleichungen mit den beiden Unbekanntena1 unda2. Nach der Cramerschen Regel ergibt sich:
a1 =
a) Berechnen Sie mit Hilfe eines der folgenden S¨atze
aii (Dabei bedeutet O, dass alle Elemente null sind.)
den Wert der folgenden dreireihigen Determinante A=
Bemerkung: Sie m¨ussen A zun¨achst so umformen, dass einer der drei obigen S¨atze angewendet werden kann.
b) Berechnen Sie mit Hilfe der Regel von Sarrus den Wert der in a) gegebenen Determinante.
Bemerkung: Es soll keine Umformung der Determinante vorgenommen werden.
c) Vergleichen Sie die beiden Ergebnisse aus a) und b) und kommentieren Sie sie.
L¨osung:
(−2)-faches der 1. Zeile zu 2. Zeile addieren.
(−3)-faches der 1. Zeile zu 3. Zeile addieren.
A=
Entweder (−13)-faches der 2. Zeile zu 3. Zeile addieren A=
oder vertauschen von 2. und 3. Spalte. A=−
A=
c) Beide Ergebnisse stimmen ¨uberein. Das muss auch so sein, denn der Wert einer Determinante h¨angt nat¨urlich nicht davon ab, auf welchem Weg man ihn berechnet.
Aufgabe 6.5:
b) F¨uhren Sie f¨ur das in a) berechneteA·B eine Rechenkontrolle durch mit Hilfe von det(A·B) = detA·detB (∗)
c) Was bedeutet das ErgebnisIhrer Rechenkontrolle f¨ur die Richtigkeit des in a) berechneten A·B?
Vergessen Sie die Begr¨undung nicht!
d) Weshalb kann man mit der Rechenkontrolle (∗), auch dann, wenn man bei (∗) keinen Fehler macht, nicht jeden Fehler beim berechnetenA·Bfeststellen?Hinweis:Es gen¨ugt hier, ein Beispiel anzugeben, bei dem man einen Fehler beim berechnetenA·Bdurch die Rechenkontrolle (∗) nicht feststellen kann.
L¨osung:
c) Nichts.A·Bkann richtig berechnet worden sein. Wenn dann bei (∗) kein Fehler gemacht worden ist, erh¨alt man in (∗) nat¨urlich eine wahre Aussage.
A·B kann auch falsch berechnet worden sein und ein weiterer Fehler in (∗) kann so beschaffen sein, dass er den Fehler bei der Berechnung von A·B aufhebt, so dass in (∗) eine wahre Aussage entsteht.
[oder] Der Fehler beim berechneten A·B macht sich in der Rechenkontrolle nicht bemerkbar.
d) Wenn sich ergeben hat A·B =
0 15 11 a
, wobei a6= 20, ist A·B falsch berechnet worden, aber der Fehler macht sich in der Rechenkontrolle nicht bemerkber, weil
det
0 15 11 a
= 0·a−11·15 =−165 f¨ur alle a.