Schwarze Löcher I Proseminar Relativität SoSe 2018

Schwarze Löcher I

Proseminar Relativität SoSe 2018

Luca Noppmann & Vincent Bettaque 5. Juli 2018

Wir betrachten eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für den Fall einer kugelförmigen, homogenen, ungeladenen und statischen Massenverteilung, die Schwarzschild-Metrik. Für diese Lösung prüfen wir den Newtonschen Grenz- fall. Damit definieren wir den Schwarzschild-Radius, der die Eigenschaft hat, dass Massen mit geringerer Ausdehnung als dieser zu einem schwarzen Loch werden. Im zweiten Teil betrachten wir den Fall in ein solches schwarzes Loch.

Dafür berechnen wir zunächst aus Sicht des Fallenden die Eigenzeiten bis zum Schwarzschildradius und bis zur Singularität und daraufhin die Zeit für einen externen Beobachter.

1 Die Schwarzschild-Metrik

Da wir wie gesagt die Metrik außerhalb einer kugelförmigen, homogenen, ungeladenen und statischen Massenverteilung betrachten wollen, benutzen wir als Ansatz für den metrischen Tensor die Standardform in Kugelkoordinaten:

gµν =









B(r) 0 0 0

0 −A(r) 0 0

0 0 −r² 0

0 0 0 −r²sin²(θ)









(1)

Das Linienelementds² nimmt daher die folgende Form an:

ds²=B(r)c²dt²−A(r) dr²−r²dθ²−r²sin²(θ) dφ². (2) Da diese Metrik bei großen Entfernungen zur Massenverteilung in die radiale Minkowski- Metrik

ds²_η =c²dt²−dr²−r²dθ−r²sin²(θ)dφ² (3) übergehen soll, stellen wir entsprechende Bedingungen an die FunktionenA undB:

r→∞lim B(r) = 1, lim

r→∞A(r) = 1. (4)

Diesen Ansatz wollen wir nun an die Bedingungen der Einsteinschen Feldgleichungen an- passen. Die Gleichungen lauten in allgemeiner Form

R_µν−1

2g_µνR= 8πG

c⁴ T_µν. (5)

Da wir allerdings das Verhalten außerhalb der Massenverteilung und somit im Vakuum betrachten, gilt folglich für den Energie-Impuls-TensorT_µν = 0 und das Gleichungssystem

reduziert sich wie folgt:

Rµν−1

2gµνR= 0

⇐⇒g^µνRµν−1

2g^µνgµνR= 0

⇐⇒R−1

2·4R=−R= 0

⇐⇒Rµν = 0

(6)

Diese Bedingung erfüllt der Ricci-Tensor

Rµν =∂νΓ^ρ_µρ−∂ρΓ^ρ_µν+ Γ^σ_µρΓ^ρ_σν −Γ^σ_µνΓ^ρ_σρ (7) mit den (nicht verschwindenden) Christoffelsymbolen

Γ^σ_µν = 1

2g^σρ(∂_µg_νρ+∂_νg_µρ−∂_ρg_µν) (8) Γ⁰₀₁= Γ⁰₁₀= B⁰

2B, Γ¹₀₀= B⁰

2A, Γ¹₁₁= A⁰ 2A Γ²₁₂= Γ²₂₁= 1

r, Γ¹₂₂=−r

A, Γ¹₃₃=−rsin²(θ) A Γ³₁₃= Γ³₃₁= 1

r, Γ³₂₃= Γ³₃₂= cot(θ), Γ²₃₃=−sin(θ) cos(θ)

(9)

trivialerweise schon für unseren Metrik-Ansatz g_µν im Fall µ 6=ν. Wir müssen daher A undB nur noch so wählen, dass die TensorkomponentenR_µν fürµ=ν verschwinden. Das resultierende System aus Differentialgleichungen abhängig vonr lautet dann explizit:

R₀₀=−B⁰⁰ 2A + B⁰

4A A⁰

A +B⁰ B

− B⁰

rA = 0 (10)

R₁₁= B⁰⁰ 2B − B⁰

4B A⁰

A + B⁰ B

− A⁰

rA = 0 (11)

R22=−1− r 2A

A⁰ A −B⁰

B

+ 1

A = 0 (12)

R33=R22·sin²(θ) = 0 (13)

Da Gleichung13für beliebigeθ gelten muss, ist ihre Aussage äquivalent zu Gleichung 12.

Daher reduziert sich das Problem auf die ersten drei Gleichungen10 - 12.

Durch Umformung von 10und 11ergibt sich die Gleichung R00

B +R11

A =− 1 rA

B⁰ B +A⁰

A

= 0. (14)

Da _rA¹ 6= 0, folgt daraus

B⁰ B +A⁰

A = d

drln(AB) = 0. (15)

Somit ist der TermA(r)B(r) konstant und aus 4folgt, dass diese Konstante 1 sein muss.

Es ergibt sich also die Beziehung

A(r) = 1

B(r) (16)

Diese Bedingung eingesetzt in12 und11 resultiert in

R₂₂=−1 +rB⁰+B = 0 (17)

R11= B⁰⁰ 2B + B⁰

rB = rB⁰⁰+ 2B⁰

2rB = 1

2rB dR22

dr = 0 (18)

Es folgt, dass17 direkt18 impliziert. Letztere Gleichung können wir auch schreiben als d(rB)

dr = 1 (19)

Integration nachr auf beiden Seiten resultiert in der Gleichung

rB =r+const=r−2a (20)

Somit können wir A und B explizit durch r und die (noch unbekannte) Konstante a ausdrücken:

B(r) = 1−2a

r , A(r) = 1

B(r) = 1

1−^2a_r (21)

Den Wert dieser Integrationskonstante können wir dann durch Betrachtung des Newton- schen Grenzfalls für schwache Felder bestimmen:

g₀₀=B(r)−−−→^r→∞ 1 +2Φ

c² = 1−2GM

c²r = 1−2a

r (22)

Wir identifizeren dieses Ergebnis als den sogenannten Schwarzschild-Radiusrs: 2a= 2GM

c² =r_s. (23)

Somit habenA undB die endgültige Form B(r) = 1−r_s

r , A(r) = 1

B(r) = 1

1−^r_r^s (24)

und die Schwarzschild-Metrik lautet daher wegen2:

ds²= 1−r_s

r

c²dt²− 1

1− ^r_r^s

dr²−r²dθ²−r²sin²(θ)dφ². (25) Der Schwarzschild-Radius besitzt besondere Eigenschaften, die im nächsten Teil evaluiert werden. Bei den meisten Körpern ist dieser aber kleiner als der Radius der Massen- verteilung z.B nur 3 km für die Sonne. Ist der Schwarzschild-Radius aber größer, so spricht man von einem schwarzen Loch.

Nähert man sich dem Schwarzschild-Radius, so vergeht die Zeit immer langsamer und der Raum breitet sich immer weiter auf. Sobald man den Ereignishorizont überschritten hat, ist der normale Zeitbegriff aber nicht mehr sinnvoll und die Raumrichtung ist zur Mitte des schwarzen Loches festgesetzt.

2 Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichungen für die Schwarzschild-Metrik resultieren aus der Geodäten- gleichung

d²x^µ

dλ² + Γ^µ_ρσdx^ρ dλ

dx^σ

dλ = 0 (26)

mit den schon bekannten Christoffelsymbolen aus 9. Für eine ausführlichere Diskussion verweisen wir auf die Literatur [2] [1] [3]

3 Der Fall ins schwarze Loch

Wir berechnen nun die Zeiten für den Fall einer massiven Person in ein schwarzes Loch.

Dabei betrachten wir im ersten Teil den Fall aus der Perspektive des Fallenden und im zweiten Teil aus jener eines externen Beobachters.

3.1 Vom Fallenden aus betrachtet

Da wir einen zentralen Fall betrachten, gibt es kein θ und kein φ und wir erhalten die folgende Bewegungsgleichung

dr dτ

2

−2GM r =c²

E mc²

2

−1

!

(27) Der Startpunkt sei mitr0 bezeichnet. Bei r=r0 gilt

dr dτ

2

= 0 (28)

Das Einsetzen des Schwarzschildradiusrs= ^2GM_c2 liefert E

mc²

= 1−r_s r0

(29) Dies setzen wir nun in die Bewegungsgleichung ein und erhalten

dr dτ

2

=c²

1−rs

r₀ −1 +2GM c²r

(30) dr

dτ 2

=c²

−rs

r₀ +rs

r

(31) Dies liefert uns die beiden Lösungen

dr

dτ =±c√ r_s

r1 r0

+1

r (32)

Ein positives Vorzeichen beschreibe eine Bewegung nach außen und ein negatives Vorze- ichen eine Bewegung nach innen. Daher betrachten wir letzteren Fall und erhalten

dτ =

−1 c

rr0

r_s r r

r₀−r

dr (33)

Somit können wir die Eigenzeit für die Person, welche in das schwarze Loch fällt, vom Startpunktr₀ bis zum Punktr⁰ wie folgt berechnen

τ(r⁰)−τ(r₀) = Z

dτ = Z _r⁰

0

−1 c

rr0

r_s r r

r₀−r

dr (34)

= r₀ c

rr₀ r_s

"s r r₀

1− r

r₀

+ arctan

− r r

r₀−r #^r

0

r0

(35) Bekanntlich giltarctan(x) =x−^x₃³ +^x₅⁵...und somit folgt

τ(r⁰)−τ(r₀) = r₀ c

rr₀ r_s

"

π 2 −2

3 r⁰

r₀ ³₂#

(36)

Gehen wir nun bis zum Schwarzschildradius bzw. dem Ereignishorizont des schwarzen Lochs, alsor⁰ −→rs, erhalten wir für die bis dahin vergangene Eigenzeit

τ_horizont= r

3 2

0

c√ rs

"

π 2 − 2

3 r_s

r0

³₂#

(37) Gehen wir bis zum Zentrum des schwarzen Lochs, alsor⁰ −→0, so erhalten für die Eigenzeit bis zu dieser Singularität

τsing = πr

3 2

0

2c√ rs

(38) Wir konnten also trotz der Singularität beide Eigenzeiten, die bis zum Ereignishorizont sowie die bis zur Singularität, exakt berechnen.

3.2 Vom externen Beobachtenden aus betrachtet Wir setzen die Schwarzschild-Metrik an

(ds)²=

1− 2GM c²r

(cdt)²− dr² 1−^2GM_c2r

(39) Für den Start gilt(ds)² = 0, also folgt

c²(dt)² = dr²

1−^2GM_c2r 2 (40)

dt=± dr

c 1−^r_r^s (41)

Es gelte wieder, dass ein positives Vorzeichen aus der Richtung des schwarzen Lochs kommt und ein negatives Vorzeichen in Richtung des schwarzen Lochs zeigt. Somit erhalten wir

t2−t1 = Z

dt= Z r2

r1

dr

c 1− ^r_r^s = r2−r1

c +rs

c lnr2−rs

r₁−r_s (42) Dabei bezeichner₁ bzw. t₁ Ort und Zeit des Fallenden und r₂ bzw. t₂ Ort und Zeit des Beobachters. Erreicht nun der Fallende den Ereignishorizont, also gelte

r₁ →r_s (43)

so folgt direkt

t2−t1 → ∞ (44)

Also würde für den externen Beobachtern der Fallende den Ereignishorizont nie erreichen.

4 Zusammenfassung und Schlussfolgerung

Wir haben die Schwarzschild-Metrik erhalten, welche den Newtonschen Grenzfall erfüllt.

Wir haben geschlossen, dass die Zeit in der Nähe des Schwarzschild-Radius immer langsamer vergeht, während sich der Raum immer mehr ausbreitet. Innerhalb des Radius sagt die Lösung voraus, dass es dort eine Freiheit in der Zeit genannten Koordinate gibt, während die Raumrichtung nun in Richtung der Singularität festgelegt ist. Für den zentralen Fall konnten wir Eigenzeiten für den Fallenden zum Schwarzschild-Radius und zur Singular- ität berechnen. Für den externen Beobachter scheint es so, als würde der Fallende den Schwarzschild-Radius nie erreichen.

References

[1] B. Bahr. Vorlesungsskript general relativity. https://unith.desy.de/teaching/

lecture_notes/gr_ws_1718, WS 17/18.

[2] Fließbach. Allgemeine Relativitätstheorie. Springer Verlag Heidelberg, 2012.

[3] Rindler. Relativity: Special, General and Cosmological. Oxford University Press, 2006.