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Ubungsaufgaben weitere Themen (alter LP) ¨ W
L’Hospitalsche Regel 07
1. Berechnen Sie mit L’Hospital, sofern m¨oglich:
(a) lim
x→1
x4 −1 x3 −1 (b) lim
x→0
1
x2(1−cos 2x) (c) lim
x→−3
x2−6x+ 9 x+ 3 (d) lim
x→π
sin 3x sin 2x (e) lim
x→0
√4−x−√ 4 +x x
(f) lim
x→0xcotx
2. In der 12. Klasse werden Sie den Funktionstermexkennenlernen mit Ableitungexund
x→∞lim ex→ ∞. Berechnen Sie:
x→∞lim ex x2 3. Zeigen Sie am Beispiel von
x→∞lim
2x−1
√x2−x,
dass die Anwendung des Satzes von L’Hospital nicht immer die vorteilhafteste Metho- de ist. Welche Methode bietet sich dagegen hier an?
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L¨osungen weitere Themen (alter LP) W
L’Hospitalsche Regel 07
1. (a) lim
x→1
x4 −1 x3 −1
[00]
= lim
x→1
4x3 3x2 = 4
3 (b) lim
x→0
1−cos 2x x2
[00]
= lim
x→0
2 sin 2x 2x =[
0 0]
= lim
x→0
4 cos 2x 2 = 2
(c) Hier liegt nicht die Situation 00 vor. L’Hospital ist daher nicht anwendbar. Son- dern:
x→−lim3±0
x2−6x+ 9
x+ 3 = lim
x→−3±0
(x−3)2
x+ 3 = ” +36
±0
” → ±∞
(d) lim
x→π
sin 3x sin 2x
[00]
= lim
x→π
3 cos 3x
2 cos 2x = 3·(−1) 2·1 =−3
2 (e) lim
x→0
√4−x−√ 4 +x x
[00]
= lim
x→0 1 2√
4−x ·(−1)− 2√14+x
1 =−1
2 (f) lim
x→0xcotx= lim
x→0
x·cosx sinx
[00]
= lim
x→0
x·(−sinx) + 1·cosx
cosx = 1
2. lim
x→∞
ex x2
[∞∞]
= lim
x→∞
ex 2x
[∞∞]
= lim
x→∞
ex 2 → ∞
3. lim
x→∞
2x−1
√x2−x
[∞∞]
= lim
x→∞
2
1 2√
x2−x(2x−1) = 4
x→∞lim
2x−1
√x2−x
Vorausgesetzt, der Grenzwert existiert, kann man beide Seiten der Gleichung mit die- semlim-Ausdruck multiplizieren und erh¨alt, dass das Quadrat des Grenzwertes gleich 4 ist, der Grenzwert selbst also+2oder−2.
Wesentlich g¨unstiger ist folgende Methode: Man k¨urzt mitxund erh¨alt:
x→∞lim
2x−1
√x2 −x = lim
x→∞
2− x1
q1− 1x = 2
(Man beachte dabei, dass im Nenner x1 beim
”unter-die Wurzel-ziehen“ zu x12 wird.)
