Anwendungen der Differentialrechnung

Spezialtrick logarithmische Differentiation:

- Was ist zu tun bei

h(x) =x^x? - Umformung

x^x=e^x·ln(x)

= e^ln(x)x

=x^x

- nun Differentiation (Ketten- und Produktregel) möglich

h^′= (1·lnx+x·1/x)e^x·ln(x)= (ln(x) +1)x^x.

Differentiationsregeln

Allgemeines Vorgehen bei logarithmischer Differentiation:

- Ableiten der Funktion

h(x) = f(x)g(x)

, - Umformung

h(x) =f(x)^g(x)=e^g(x)·lnf(x)

= e^lnf(x)g(x)

=f(x)^g(x)

, - Ketten- und Produktregel führen auf

f(x)^g(x)′=f(x)^g(x)(g^′(x) lnf(x) +g(x)f^′(x)/f(x)).

Idee der Elastizität:

- Ableitungf^′gibt Anstieg vonf in absoluter Form an, für wirtschaftliche Analysen sind aber häufig relative Änderungen entscheidend,

- Elastizitätη(x)entspricht relativer Änderung einer Angebots- bzw.

Nachfragefunktionf(x)zur Preisänderung (Preisx),

- |η(x)|um so höher, je stärker Angebots- bzw. Nachfragefunktion auf Preisänderungen reagiert.

Formale Definition:

- Grenzwert des Quotienten der relativen Änderungen vonf(x)undx

η(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x) f(x)

h x

. Einfache Umformung ergibt:

Elastizität

Definition 2.16 Fürf(x)6=0heißt

η(x) =x·f^′(x) f(x) Elastizität vonf(x).

Weiter heißtf(x)preiselastisch, falls|η(x)|>1, und preisunelastisch, falls|η(x)|<1.

Beispiel 15

Für die FunktionN(p) =7−√pmitp∈(0,49)ist

η(p) =p·N^′(p)

N(p) =p·−¹2 ·^√1p

7−√p =−1 2·

√p 7−√p.

Wird untersucht, für welchep∈(0,49)die NachfragefunktionN(p)preiselastisch ist, so führt dies auf

|η(p)|=1 2·

√p

7−√p >1⇔

√p 7−√p>2

⇔√p>14 3

⇔p>14²

9 ≈21.78.

Elastizität

Beispiel 16

Die Nachfragefunktiona=f(p) =p²−7p+10mit(0≤p≤2)hat die Elastizität

η(p) =p· 2p−7

p²−7p+10 = 2p²−7p p²−7p+10. Wegenη(p)<0fürp∈(0,2)betrachten wir

−(2p²−7p)>p²−7p+10 0>3p²−14p+10

p1,2=7 3±

√19

3 p1≈0.88, p2 ≈3.79.

Nun gilt|η(p1)|=1und ein einfacher Test (fürp=0.9ist|η(p1)|=1.04) führt darauf, dassf(p)fürp∈(0.88,2)preiselastisch ist.

Bestimmung von Grenzwerten mittels Quotientenregel kann zu Situationen „0/0“ oder

„∞/∞“ führen. Ausweg:

Satz 2.17 (Regel von l’Hospital)

Seiena∈Rodera∈ {−∞,∞}sowieu= lim

x→af(x)undv= lim

x→ag(x). Istu=v=0oder istu=v=±∞, sindfundgdifferenzierbar und existiert der Grenzwert

limx→a

f^′(x) g^′(x), so gilt nach der Regel von l’Hospital

limx→a

f(x) g(x) = lim

x→a

f^′(x) g^′(x)

Anwendungen der Differentialrechnung

Beispiel 17

Einfache Anwendungen der Regel von l’Hospital sind

limx→0

sinx x = lim

x→0

cosx 1 =1, limx→1

lnx x−1= lim

x→1 1 x

1 = lim

x→1

1 x =1.

Für folgenden Grenzwert wird die Regel von l’Hospitaln-fach angewendet

xlim→∞

xⁿ e^x = lim

x→∞

nxⁿ⁻¹ e^x = lim

x→∞

n(n−1)xⁿ⁻²

e^x =· · ·= lim

x→∞

n!x e^x = lim

x→∞

n!

e^x =0.

Definition 2.18

Für eine hinreichend oft stetig differenzierbare Funktionf(x)heißt

T(f,x0,n)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) +f^′′(x0)

2! (x−x0)²+· · ·+f⁽ⁿ⁾(x0)

n! (x−x0)ⁿ das Taylorpolynomn-ten Grades zur Entwicklungsstellex0.

Bemerkung:

- Taylorpolynome erweisen sich für Funktionen, die hinreichend viele stetige Ableitungen besitzen, oft als nützliche Approximationen (meistn=1odern=2).

Taylorformel

Beispiel:

- Entwicklung vonf(x) =e^xinx0=0,

T(f,0,1)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) =1+1·(x−0) =1+x, T(f,0,2)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) +f^′′(x0)

2! (x−x0) =1+x+x²/2, T(f,0,3)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) +· · ·+f^′′′(x0)

3! (x−x0) =1+x+x²/2+x³/6.

Beispiel:

- Entwicklung vonf(x) =e^xinx0=0,

T(f,0,1)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) =1+1·(x−0) =1+x, T(f,0,2)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) +f^′′(x0)

2! (x−x0) =1+x+x²/2, T(f,0,3)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) +· · ·+f^′′′(x0)

3! (x−x0) =1+x+x²/2+x³/6.

Taylorformel

Beispiel:

- Entwicklung vonf(x) =e^xinx0=0,

T(f,0,1)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) =1+1·(x−0) =1+x, T(f,0,2)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) +f^′′(x0)

2! (x−x0) =1+x+x²/2, T(f,0,3)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) +· · ·+f^′′′(x0)

3! (x−x0) =1+x+x²/2+x³/6.

Beispiel:

- Entwicklung vonf(x) =e^xinx0=0,

T(f,0,1)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) =1+1·(x−0) =1+x, T(f,0,2)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) +f^′′(x0)

2! (x−x0) =1+x+x²/2, T(f,0,3)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) +· · ·+f^′′′(x0)

3! (x−x0) =1+x+x²/2+x³/6.

Taylorformel

Beispiel:

- Entwicklung vonf(x) =e^xinx0=0,

T(f,0,1)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) =1+1·(x−0) =1+x, T(f,0,2)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) +f^′′(x0)

2! (x−x0) =1+x+x²/2, T(f,0,3)(x) =f(x0) +f^′(x0)(x−x0) +· · ·+f^′′′(x0)

3! (x−x0) =1+x+x²/2+x³/6.

10 15 20

y

T(f,1,n)(x) T(f,2,n)(x) T(f,3,n)(x) T(f,4,n)(x) T(f,5,n)(x) f(x)

Restglied (Fehler):

- Differenz zwischenf(x)und der NäherungT(f,x0,n)(x) R(f,x0,n)(x) =f(x)−T(f,x0,n)(x), - dabei gilt die Abschätzung

|f(x)−T(f,x0,n)(x)| ≤ max

z∈(x0,x)

|f⁽ⁿ⁺¹⁾(z)|

(n+1)! |x−x0|ⁿ⁺¹.

Übersicht

1. Grundlagen 2. Analysis

2.1 Folgen, Reihen, Zinsen 2.2 Funktionen

2.3 Differentialrechnung 2.4 Extremwertbestimmung 2.5 Nichtlineare Gleichungen 2.6 Funktionen mehrerer Variabler 2.7 Integralrechnung

2.8 Differentialgleichungen 3. Lineare Algebra

Definition 2.19 (Formale Definition)

Eine Funktionf :I→R,I⊆R, hat an der Stellex0eine lokale Maximalstelle bzw. eine lokale Minimalstelle, wenn es einh>0gibt, so dass die Einschränkungf_{|(x0−h,x0+h)}von f(x)auf das Intervall(x0−h,x0+h)beix0ein Maximum bzw. ein Minimum hat.

Weiter hatfan der Stellex0ein (globales) Maximum bzw. Minimum, falls für allex∈I giltf(x0)≥f(x)bzw.f(x0)≤f(x).

Extrempunkt:

- besteht aus Extremstelle (x-Wert) und Extremwert(y-Wert) Extrempunkt= (Extremstelle, Extremwert).

Extremwertbestimmung

Interpretation:

- sollf inxEmaximal sein, so mussf(x)fürx<xE monoton steigend und fürx>xE

monoton fallend sein (für ein Minimum andersherum),

- folglich istf^′(x)fürx<xEnegativ und fürx>xEpositiv (oder andersherum), - insbesondere muss aberf^′(xE) =0gelten.

Satz 2.20 (Notwendige Bedingung)

Hat die Funktionf(x)inx0ein lokales Extremum und ist dort differenzierbar, so gilt f^′(x0) =0.

Definition 2.21

Feststellung/Charakterisierung eines Extremums:

- mittels zweiter Ableitungf^′′(x),

- hatf(x)inxEein Minimum, so istf(x)umxEkonvex, alsof^′′(xE)>0, - hatf(x)inxEein Maximum, so istf(x)umxEkonkav, alsof^′′(xE)<0.

Satz 2.22 (Hinreichende Bedingung)

Gilt neben der notwendigen Bedingungf^′(x) =0zudemf^′′>0(bzw.f^′′<0), so handelt es sich um ein Minimum (Maximum).

Bemerkungen:

- f^′(xE) =0zusammen mitf^′′(xE)6=0ist hinreichend aber nicht notwendig, - sindf^′(xE) =0undf^′′(xE) =0, so untersuche weitere Ableitungen, - gerade Ableitung als erstes von null verschieden⇒Extremalstelle,

Extremwertbestimmung

Vorgehensweise bei differenzierbarer Funktionf(x):

1. Lösef^′(x) =0 → LösungsmengeMaller kritischen (extremstellenverdächtigen) Punkte.

2. Auswertung vonf^′′(x)für alle kritischen Punkte:

Istf^′′(xE)>0, so liegt ein Minimum vor,

istf^′′(xE)<0, so handelt es sich um ein Maximum.

Giltf^′′(xE) =0, so sind höhere Ableitungen zu untersuchen 3. In der Regel Bestimmung der Funktionswertef(xE).

Zudem auf Extremalität zu analysierende Stellen:

- Randpunkte sowie

- allex, in denenf^′nicht existiert.

Extrema vonf(x) = ¹₄x⁴−¹3x³−x²+1:

- Ableitungen f^′(x) =x³−x²−2x, f^′′(x) =3x²−2x−2, - kritische Stellen x1=0, x2=2, x3=−1,

- Tests f^′′(x1) =−2<0, f^′′(x2) =6>0, f^′′(x3) =3>0,

→Maximum in(0,1), Minima in(−1,7/12)sowie(2,−5/3), - wegen lim

x→−∞f(x) = lim

x→∞f(x) =∞ist(2,−5/3)ein globales Minimum.

0 1 2

3 f(x) =¹₄x⁴−¹3x³−x²+1 f(x)

f^′(x) f^′′(x)

Beispiel zu Extrema

Beispiel 18

Olaf und Angela möchten einen neuen Steuersatzt(in %) festlegen. Der Umsatz verhält sich, abhängig vont, wie

u=u(t) = (t−120)²(100−t) =−t³+340t²−38400t+1440000 Der Finanzminister sucht das Maximum seiner Einnahmen

T =T(t) =0.01t·u=−0.01t⁴+3.4t³−384t²+14400t fürt∈[0,100].

Graphische Darstellung:

0 20 40 60 80 100

0 5 10 15 10⁵

Steuersatzt(in %)

u(T),T(t)

Umsatz /Steuereinnahmen u(t) T(t)

Beispiel zu Extrema

Notwendige Bedingungen:

- kritische Stellen sind die Intervallenden und alle Nullstellen von

T^′(t) =−0.04t³+10.20t²−768t+14400= (120−t)(t²−135t+3000)/25, - die Nullstellen vonT^′(t)sindt1=28.0506,t2=106.949undt3=120,

- nurt1liegt im sinnvollen Intervall,

- der Funktionswert an den Rändern ist Null – also nicht maximal, - bleibt nurt1≈28als Kanditat.

Hinreichende Bedingung:

- zweite Ableitung

T^′′(t) =−0.12(t²−170·t+6400) hat an der Stellet1den Wert−290.188,

Notwendige Bedingungen:

- kritische Stellen sind die Intervallenden und alle Nullstellen von

T^′(t) =−0.04t³+10.20t²−768t+14400= (120−t)(t²−135t+3000)/25, - die Nullstellen vonT^′(t)sindt1=28.0506,t2=106.949undt3=120,

- nurt1liegt im sinnvollen Intervall,

- der Funktionswert an den Rändern ist Null – also nicht maximal, - bleibt nurt1≈28als Kanditat.

Hinreichende Bedingung:

- zweite Ableitung

T^′′(t) =−0.12(t²−170·t+6400) hat an der Stellet1den Wert−290.188,

Beispiel zu Extrema

Sonderfälle:

1. f(x) =|x|hat inxE=0ein Minimum, jedoch existiertf^′(0)nicht.

2. f(x) =√

1−x²mit dem DB= [−1, 1]besitzt die erste Ableitung f^′(x) =1

2(1−x²)⁻¹²·(−2x) =1 2

√ 1

1−x² ·(−2x) = x

√1−x². Einzige Nullstellex1=0führt auf globales Maximum. Weiter sind aber auch die Intervallgrenzenx2=−1undx3=1Extremalstellen (f(x)wird jeweils minimal).

0.5

-1 1

0.5 1

Definition 2.23

Eine Funktionf :I→R,I⊆R, hat den Wendepunkt(x0,f(x0)), wennfauf einer Seite vonx0konvex und auf der anderen konkav ist.

Berechnung von Wendestellen/Wendepunkten:

- Lösung der Gleichungf^′′(x) =0führt auf mögliche Wendestellen (notwendige Bedingung),

- istf^′′′(x0)6=0, so handelt es sich tatsächlich um eine Wendestelle (hinreichende Bedingung).

Wendepunkte

f(x) =x⁴+x³−3x²−x−1:

- f^′′(x) =12x²+6x−6,

- f^′′(x) =0führt aufx²+¹₂x−¹2 =0, - Wendestellen sindx1=−1, x2 =¹₂.

-4 -2 0 2 4 6 8

f(x)

1. Grundlagen 2. Analysis

2.1 Folgen, Reihen, Zinsen 2.2 Funktionen

2.3 Differentialrechnung 2.4 Extremwertbestimmung 2.5 Nichtlineare Gleichungen 2.6 Funktionen mehrerer Variabler 2.7 Integralrechnung

2.8 Differentialgleichungen 3. Lineare Algebra

Nichtlineare Gleichungen

Problemstellung:

- gesucht ist eine Lösungx^∗vonf(x) =0,

- gegeben ist ein Näherungswertx0fürx^∗(initial guess), - Iteration (rekursive Folge{xn}n=0,1,2,...) mitlimn→∞xn=x^∗, - Iterationsvorschrift definiert das jeweilige Verfahren.

Problemstellung:

- gesucht ist eine Lösungx^∗vonf(x) =0,

- gegeben ist ein Näherungswertx0fürx^∗(initial guess), - Iteration (rekursive Folge{xn}n=0,1,2,...) mitlim_n→∞xn=x^∗, - Iterationsvorschrift definiert das jeweilige Verfahren.

Methode I: Bisektionsverfahren:

- Einschachteln der Nullstelle,

- Startintervall [a,b] mit f(a)>0,f(b)<0, (bzw.f(a)<0,f(b)>0) - Berechnung von c= (a+b)/2 und f(c),

- gilt f(c)<0 → neues Intervall[a,c], (bzw.[c,b]) gilt f(c)>0 → neues Intervall[c,b], (bzw.[a,c])

Nichtlineare Gleichungen

Problemstellung:

- gesucht ist eine Lösungx^∗vonf(x) =0,

- gegeben ist ein Näherungswertx0fürx^∗(initial guess), - Iteration (rekursive Folge{xn}n=0,1,2,...) mitlimn→∞xn=x^∗, - Iterationsvorschrift definiert das jeweilige Verfahren.

Methode II: Fixpunktform:

- Umformen der Gleichung in die Formx=ϕ(x), - unter gewissen Bedingungen konvergiert die Folge

xi=ϕ(x_i−1) i=1,2,3, . . . gegenx^∗,

- Analyse der Konvergenz gegenx^∗mittels Banachschem Fixpunktsatz.

Problemstellung:

- gesucht ist eine Lösungx^∗vonf(x) =0,

- gegeben ist ein Näherungswertx0fürx^∗(initial guess), - Iteration (rekursive Folge{xn}n=0,1,2,...) mitlimn→∞xn=x^∗, - Iterationsvorschrift definiert das jeweilige Verfahren.

Methode II: Fixpunktform:

- Banach’scher Fixpunktsatz:

Iteration konvergiert gegen den eindeutig bestimmten Fixpunkt,

wenn es ein abgeschlossenes IntervallI⊂Rsowie einC<1mitϕ(I)⊂Igibt, sodass

|ϕ(y)−ϕ(z)|<C|y−z| ∀y,z∈I, (Kontraktion) - es gilt dannx^∗=ϕ(x^∗).