Anhang 48: Rohrknie

Anhang 48: Rohrknie

Initialaufgabe:

Nebenstehende Zeichnung zeigt ein Rohrknie in Grund- und Aufriß. Die Maße sind in dm angegeben. Wie viel Material (Blech) braucht man zu einem solchen Knie?

Lösung:

Das Knie kann man sich aus einem einzigen Zylinder entstanden denken, der diagonal durchschnitten und dessen beide Teile dann anders zusammen- gefügt wurden. Dieser Zylinder hat ei- nen Grundkreisradius von 2 dm und eine Höhe von 8 dm. Der Materialbe- darf er-gibt sich aus seiner Mantelflä- che. Diese beträgt 2π · 2 · 8 dm² ≈ 100,5 dm² .

Mögliche Variationen:

a)

Welches Volumen hat das Rohrknie?

Strategie: naheliegende Zusatzfrage stellen

(Auch hier können wir vom Zylinder ausgehen. Sein Volumen: π · 2² · 8 dm³

≈ 100,5 dm³.)

b)

Welches ist der Materialverbrauch, wenn das Rohrknie einen Winkel von 120° bildet? Wie sieht die Grundriß-Aufriß-Zeichnung dann aus?

Strategie: Sachbedingung abändern

(Schon die Zeichnung wird nun erheblich schwieriger. Für die Höhe 2 + x des unteren Rohrstücks ergibt sich x als halbe Seitenlänge eines gleichseiti- gen Dreiecks mit der Höhe 4. Mit x = 4

3 ≈2 31, (dm) ist die Höhe 4,31 dm und der Durchmesser der Trennfigur 4,62 dm.

Nach wie vor kann man sich die beiden Knieteile aus einem Zylinder mit Grundkreisradius 2 cm, diesmal aber mit Höhe 6,31 dm entstanden denken.

6

4 2

2

4

Für den Mantel dieses Zylinders (und als Materialverbrauch) erhält man 2π · 2 · 6,31 dm² ≈ 79,3 dm², für sein Volumen π · 2² · 6,31 dm³

≈ 79,3 dm³ .

Der Grundkreis des oberen Knie- stücks erscheint im Aufriß wie bisher als Strecke, das zugehörige Grundrißbild indessen als Ellipse.

In der Zeichnung ist angedeutet, wie man sie aus dem Grundkreis durch achsenaffine Abbildung er- halten kann. Das geschieht beson- ders leicht und eindrucksvoll bei Einsatz einer dynamischen Geo- metriesoftware (DGS).)

c)

Die im ganzen rechtwinklige Verbindung der beiden Knieteile soll nun durch ein kreisringförmiges Zwischenstück erfolgen (s. Aufriß). Wieviel Material braucht man dafür?

Strategie: zweckmäßige Sachänderung durchführen (Das Zwischenstück ist ein Viertel

eines Torus, dessen innerer Radius 1 dm und dessen äußerer 5 dm be- trägt. Wir vergleichen ihn sinn- vollerweise mit einem Zylinder gleichen Grundkreises (r = 2cm), dessen Höhe ¼ · 2π ·3 dm (= Weg des Mittelpunktes von Grundkreis zu Grundkreis) beträgt.

Dessen Mantelfläche hat den Inhalt 2π·2·¼ ·2π ·3 dm² ≈ 59,2 dm².)

4 2

2

2x x

4

1 1

Hinweis: In der Integralrechnung kann gezeigt werden, daß dieser Vergleich sogar den exakten Wert liefert.

d)

Was für eine gemeinsame Fläche (Schnittfläche) haben die beiden Knieteile?

Strategie: Wissenslücken beheben (Die Schnittfläche ist jedenfalls eben. Der ebene Schnitt durch einen Zylinder ist eine Ellipse.

Im Grundriß erscheint sie bis jetzt als Kreis, im Aufriß als Strecke. Deshalb drehen wir sie (im Aufriß) um ihre Mittelachse in eine zum Grundriß parallele Lage, damit sie dort unverzerrt erscheint. Im Grundriß hat man bereits ihren Kleinkreis und er- hält mühelos ihren Großkreis, so daß sie daraus in bekannter Weise konstruiert werden kann.

Wieder leistet eine DGS gute

Dienste.)

e)

Das Rohrknie soll, um eine bessere Darstellung im Aufriß zu erreichen, und insbesondere um auch die Schnittellipse dort zu sehen, im Grundriß gedreht werden.

Strategie: Darstellung verbessern

(Nach Drehen um 45° erscheinen im Aufriß sowohl die Schnittellipse als auch der obere Grundkreis als Ellipse. In der Zeichnung ist angedeutet, wie man diese Ellipsen erhalten kann. Bei der Grundkreisellipse bietet sich wie- der die Konstruktion aus Groß- und Kleinkreis an. Einen Punkt der Schnitt- ellipse erhält man aus ihrem (um 45° gedrehten) Grundriß und dem zugehö- rigen Aufriß. Wieder sorgt eine DGS dafür, daß die Ellipse als Ortslinie ent- steht, wenn der Grundrißpunkt den Grundrißkreis durchläuft.

Wenn man noch diejenigen Linienteile löscht, die man von vorne nicht sehen kann, entsteht im Aufriß ein recht plastisches Bild des Rohrknies.)

f)

Die beiden Rohrstücke des Knies bilden, anders zusammengesetzt, einen Zy- linder (s.o.). Sie können also aus einem entsprechend großen Rechteck (4π dm breit und 8 dm lang) geschnitten werden. Wie muß dieser Schnitt geführt werden?

Strategie: naheliegende Frage aus dem Sachkontext heraus stellen

(Denkt man sich als Ameise, welche eine Rundreise auf der Schnittellipse vorhat und als Start einen Punkt wählt, der ebenso hoch über der Grundriße- bene liegt wie der Ellipsenmittelpunkt, so wird man zunächst an Höhe gewin- nen, sodann absteigen bis zum tiefsten Punkt (und dabei zwischendurch die Ausgangshöhe erreichen) und schließlich wieder aufsteigen zum Startpunkt.

Von daher liegt es nahe, an eine aus Strecken zusammengesetzte Schnittlinie zu denken (s. Zeichnung). Ein derart hergestelltes und zusammengerolltes Blatt führt jedoch nicht zu einer Ellipse als der schrägen Begrenzung, ja nicht einmal zu einem ebenen Schnitt (bitte herstellen und nachprüfen!). Insbeson- dere stören die beiden Spitzen. Beim Abflachen denkt man unwillkürlich an

6

4 2

2

4

den Graph der Sinusfunktion (s. Zeichnung).

In der Tat: Denken wir uns die wandernde Ameise im Grundriß, so ist die je- weils erreichte Höhe (im Aufriß) abhängig vom Abstand der Ameise vom riß- achsenparallelen Durchmesser des Grundrißkreises. Diesen Abstand gibt aber nicht der Laufwinkel der Ameise an, sondern dessen Sinus.

g)

Neben knieartigen Verbindungen tre- ten in Rohrleitungen oft auch sog.

Verjüngungen auf, die den Zweck ha- ben, Rohrteile unterschiedlichen Durchmessers miteinander zu verbin- den. Wieviel Material braucht man für das unten im Aufriß gezeichnete Verjüngungsstück?

Strategie: im gleichen Sachkontext ein verwandtes Problem entdecken (Der Mantel des Verjüngungsstückes setzt sich aus zwei Zylindermänteln und einem Kegelstumpfmantel zu- sammen. Für die beiden Zylinder- mäntel erhält man 2π·2·3 dm² + 2π·1·3 dm² ≈ 56,55 dm².

Beim Kegelstumpf benötigen wir die Länge einer Mantellinie: 10 dm. Dar- 4

2

3 3

1 3

aus ergibt sich für die Mantelfläche des Rumpfes der Inhalt π · 10 · (2+1) dm²

≈ 29,8 dm².

Insgesamt braucht man etwa 86,4 dm² Material (ohne Berücksichtigung des Verschnitts).)

Hinweis:

Obwohl wir hier fast ausschließlich im Sachkontext variiert haben, hat sich eine beeindruckende Liste mathematischer Probleme ergeben. Dabei mußten Kennt- nisse aus der Planimetrie, der Stereometrie, der Trigonometrie, der Abbildungs- geometrie, der Darstellenden Geometrie sowie der Kegelschnittlehre herangezo- gen (und damit wiederholt) oder aber entwickelt werden.

Auf den Nutzen einer DGS innerhalb der Darstellenden Geometrie haben wir mehrfach hingewiesen.

Anhang 49: Brückenproblem

Initialproblem:

Dies ist ein Skizze der Stadt Königsberg im 18. Jahrhundert.

Konnte man damals einen Spaziergang machen, der alle Brücken genau einmal benutzt? (Brückenproblem, gelöst von LEONHARD EULER (1707-1783) und be- nannt nach ihm)

Lösung:

Modelliert man jede Brücke als Linie (Kante) und jeden Stadtteil als Punkt (Ek- ke), so ergibt sich folgendes Bild:

Es ist unmöglich, die 7 Linien nacheinander zu durchlaufen, ohne abzusetzen und ohne eine Linie zweimal zu benutzen. Denn für jede Linie, die zu einer Ek- ke hinführt, braucht man eine weitere Linie, die davon wegführt. Davon eine Ausnahme machen Anfangs- und Endpunkt der Wanderung, wenn sie verschie- den sind. In obiger Zeichnung gehören aber zu allen vier Punkten ungerade viele Linien (sind alle vier Ecken von ungeradem Grad).

C

A

B

D

Mögliche Variationen:

a)

Kann man durch eine weitere Brücke Abhilfe schaffen?

Strategie: Lösung erzwingen

(ja, z.B. durch eine Brücke zwischen B und C. Dann sind A und D (oder D und A) Start und Ziel (der Euler’schen Linie). Eine weitere (zweite) Brücke zwischen A und D schafft sogar eine erfolgreiche Rundwanderung (Start = Ziel, geschlossene Euler’sche Linie).

b)

Wieso kann man das Haus vom Nikolaus in einem Zug zeichnen?

Strategie: vorhandenes Wissen heranziehen

(weil es dort genau zwei Ecken ungerader Ordnung gibt (A und B), die man als Anfang und Ende der Wanderung nutzen kann)

c)

Kann man die Mühlefigur in einem Zug durchlaufen, ohne abzusetzen und ohne eine Linie zweimal zu benutzen?

Strategie: Fragestellung auf vergleichbare Situationen anwenden (nein; denn es gibt 8 Punkte, zu denen 3 Linien gehören)

d)

Kann man jede Figur, bei der jeder Punkt mit gerade vielen Linien zusam- mentrifft, in der beschriebenen Weise zeichnen?

Strategie: verallgemeinern

(Vermutung: ja. Ein Beweis, etwa mit dem Fleury’schen Algorithmus, ist indessen zu schwierig.)

e)

Kann man in der Mühlefigur nacheinander alle Ecken erreichen, ohne aber eine Kante zweimal zu benutzen?

Strategie: analogisieren bzw. Lösung erzwingen (ebenfalls nein)

f)

Gibt es eine Figur, bei der ein sol- cher Weg (eine Hamilton’sche Linie) möglich ist?

Strategie: sinnvolle Anschlußfrage stellen

(ja, z.B. die Figur (der Graph) aus

A B

den Kanten und Ecken eines Wür- fels)

g)

Gibt es eine Figur, bei der sowohl die Punkte als auch die Linien zulässig durchlaufen werden können?

Strategie: kombinieren

(ja, z.B. jedes Polygon mit seinen Ecken und Seiten (nur beim Fünfeck auch mit Diagonalen))

h)

Gibt es eine Figur, bei der man weder das eine noch das andere kann?

Strategie: Fragelogik verändern

(ja, z.B. nebenstehende Figur (und allgemein jeder Baum, der eine solche Figur umfaßt))

i)

Gibt es ein Merkmal, an dem man erkennen kann, ob eine Figur die o.a. „Ek- keneigenschaft“ hat?

Strategie: vergleichen (mit der „Linieneigenschaft“)

(ja, z.B. wenn jeder Punkt mit jedem Punkt durch eine Linie verbunden ist (vollständiger Graph). Das ist jedoch ein recht schwaches und auch nur hin- reichendes Kriterium. Stärkere Kriterien sind einstweilen nur für bestimmte Graphtypen bekannt.)

j)

Ist das Brückenproblem im heutigen Königsberg (Kaliningrad) lösbar? Wel- che Brücken gibt es heute dort?

Strategie: Problem aktualisieren

(Lösungsansatz: entsprechende Informationen im Internet suchen)

k)

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, das „Haus vom Nikolaus“ in einem Zug zu zeichnen?

Strategie: umzentrieren (gegenüber b))

(Lösung: 48 (schwierig, da systematisch gezählt werden muß))

Hinweis:

Die Lehrerin/der Lehrer mag entscheiden, wie weit sie/er im Zuge des Variie- rens an geeigneter Stelle (z.B. zur sprachlichen Vereinfachung) die relevanten Fachbegriffe der Graphentheorie einführt. Sie sind oben in Klammern hinzuge- fügt.

Anhang 50: Kurvendiskussion

Initialaufgabe:

Diskutiere die Funktion f: y = x + 1/x und ihren Graph.

Lösung(en):

a) Definitionsbereich: \{0}; demnach existieren zwei Äste b) Nullstellen: keine

c) Symmetrien: Die Funktion bzw. ihr Graph ist symmetrisch in bezug auf den Ursprung: f(−x) = −f(x). Wir können uns daher im folgenden auf den Ast mit Definitionsbereich ⁺ beschränken.

d) Asymptoten: Für |x| → 8 gilt x + 1/x → x, d.h. die Gerade y = x ist Asym- ptote. Für |x| → 0 gilt |x + 1/x| → 8 , d.h. die Gerade x = 0 ist ebenfalls Asymptote.

e) lokale Extrema: Es gilt f´(x) = 1 − 1/x² = 0 für x = 1 und f´´(1) > 0, d.h. es existiert ein Tiefpunkt (1;2) (entsprechend ein Hochpunkt (−1;−2) )

elementare Lösung: x x

x x x x

+1 ≥ ⋅ ⇒ + ≥

2 / 1 1 2

/ /

Das Minimum 2 wird erreicht für x = 1/x, also für x = 1.

Der (andere) Ast ist bis zum Tiefpunkt (Hochpunkt) monoton fallend (stei- gend), ab dort monoton steigend (fallend).

f) Wegen f´´(x) = −2/x³ ist f´´(x) = 0 nicht möglich: Es gibt keine Wendepunkte.

Mögliche Variationen:

a)

Gibt es eine Situation, welche durch die Funktion f dargestellt werden kann?

Strategie: relevante Situation suchen

(Beispiel: Hat ein Rechteck den Inhalt 1, so ist sein Umfang u = 2⋅(x+1/x).

Er ist minimal für x = 1/x = 1, also für das Quadrat mit Umfang 4.)

b)

Der Tiefpunkt scheint nicht der Punkt minimaler Entfernung vom Ursprung zu sein. Welcher Punkt ist das?

Strategie: unterscheiden

(Für die Koordinaten (xP;yP) dieses Punktes P gilt, daß xP 2 + yP

2 = 2xP

2 + 2 + 1/xP

2 minimal ist. Über die Ableitung der Funktion (d² = ) q = 2x² + 2 + 1/x² ergibt sich xP = 1

4 2 (0,84) , yP = 1

4 2 + 2⁴ (≈ 2,03) und schließlich dmin = 2⋅ 1+ 2 (≈ 2,20).

c)

Verbindet man den Ursprung mit den beiden Punkten kürzester Entfernung, so entsteht eine Gerade, die eine Symmetrieachse der Kurve zu sein scheint (s.u.). Versuchen Sie, diese Vermutung zu beweisen.

Strategie: Zeichnung explorieren

(Für einen beliebigen Kurvenpunkt (u;v) gilt u⋅(u−v) + 1 = 0. Wir spiegeln diesen Punkt an der Verbindungsgerade y= +(1 2)⋅x, indem wir die zu- gehörige Senkrechte durch (u;v) mit ihr schneiden, und über diesen Schnitt- punkt den Bildpunkt (u’;v’) bestimmen. So erhalten wir

u′ = 1 ⋅ − +u v v′ = ⋅ +u v 2

1

( ); 2 ( ) und damit

u´⋅(u´−v´) + 1 = (−u+v)⋅(−u) + 1 = 0. Der Spiegelpunkt ist ein Kurvenpunkt.)

Hinweis: Eine weitere Symmetrieachse ist die Senkrechte zur Verbindungs- gerade im Ursprung. Das zeigt man analog oder aber elementar: Da die Kur- ve punkt- und achsensymmetrisch ist, wobei die Symmetrieachse durch das Symmetriezentrum verläuft, muß auch noch eine zweite Achse existieren, die senkrecht zur ersten ist.

d)

Ist der Graph eine Hyperbel?

Strategie: Beziehungen zu vorhandenem Wissen herstellen

Hinweis: Diese Frage stellt sich nur, wenn die Hyperbel (und nicht nur als Funktionsgraph) irgendwann zuvor behandelt wurde.

(Es gibt mehrere, allerdings allesamt nicht einfache Nachweise. Zwei davon sind:

α) y = 1/x ist eine Hyperbel. Durch den Summand x wird eine Scherung be- wirkt (mit y-Achse als Scherachse, s.u.). Eine Scherung ist eine affine Ab- bildung und führt daher einen Kegelschnitt in einen Kegelschnitt gleichen Typs über.

β) Durch Hauptachsentransformation geht die Kurve y = x + 1/x in die Kurve

x² y²

2 2 1 2 2 1 1

⋅ + −

⋅ − =

d i d i

über. Das ist eine Hyperbel mit der Hauptach- senlänge 2⋅( 2 +1) und der Nebenachsenlänge 2⋅( 2 −1) (s. Fig.) Hinweis: Auch wenn die Vermutung nicht gesichert werden kann, spricht

doch vieles für sie: Die beiden Äste, die Symmetrien, die Asymptoten, das Hervorgehen aus y = 1/x. Das sollte man jedenfalls herausstellen.

e)

Diskutieren Sie die Funktion f: y = x − 1/x bzw. ihren Graph.

Strategie: Verknüpfung ändern

(Definitionsbereich, Äste, Symmetrien, Asymptoten und (fehlende) Wende- punkte wie bei y = x + 1/x , ebenso die Hyperbeleigenschaft. Im Unterschied dazu gibt es jedoch keine lokalen Extrema, da f´(x) = 0 nicht lösbar ist. Ge- wissermaßen zum Ausgleich gibt es die Nullstellen x = ± 1.)

f)

Diskutieren Sie die Funktionsschar fk : y = x + k/x bzw. ihre Graphen.

Strategie: verallgemeinern (auch von

e)

her)

(Funktionen mit positivem k verhalten sich i.w. wie y = x + 1/x, diejenigen mit negativem k i.w. wie y = x − 1/x. Für die Extrempunkte gilt x = ± k , y = ± 2⋅ k ; demnach liegen sie sämtlich auf der Geraden y = 2x (s.u.).

Zwischen den Hyperbeln liegt für k = 0 die sonst als Asymptote auftretende erste Winkelhalbierende.

g)

Diskutieren Sie die Funktionenschar fk: y = k⋅x + 1/x bzw. ihre Graphen.

Strategie: verallgemeinern bzw. analogisieren (von

f)

her)

(Definitionsbereiche, Nullstellen, Symmetrien, Hyperbeleigenschaft, (feh- lende) Wendepunkte, Asymptote x = 0 wie bisher, zweite Asymptote y = k⋅x. Extrempunkte (für k > 0) gewinnt man wie üblich oder elementar (s.o.):

Hochpunkt (− 1 ;− )

k 2 k , Tiefpunkt ( 1 ; )

k 2 k . Alle Extrempunkte liegen auf der Hyperbel y = 2/x (s. Fig.).

h)

Diskutieren Sie die Funktion f: y = x² + 1/x² bzw. ihren Graph.

Strategie: Bedingung abändern (hier: Ordnung der Summanden)

(Definitionsbereich wie gehabt, statt Punktsymmetrie Achsensymmetrie mit Achse x = 0, welche zwei Äste trennt, Asymptote x = 0, ferner asymptoti- sche Näherung an die Parabel y = x² für |x| → 8, zwei Tiefpunkte (±1;2) (infinitesmal oder elementar zu gewinnen), keine Wendepunkte, keine Hy- perbel mehr)

Hinweis: Analog kann man „Mischformen“ betrachten wie y = x² ± 1/x, y = x ± 1/x², y = x³ ± 1/x, usw. Hierbei können erstmals auch Wendepunkte auf- treten.

i)

Welchen Inhalt hat die Fläche, welche die Ausgangskurve mit ihren Asym- ptoten einschließt?

Strategie: Kontextänderung (von der Kurve zu einer von ihr bestimmten Fläche)

(A = 2 ⋅ lim ( / )

a a

x x x dx

→∞

z

+^{1 −}

0

= lim /

a a

→∞

z

¹ x dx

0

. Doch existiert dieser Grenzwert nicht, so daß A keinen endlichen Wert hat. Das hätte man auch direkt (z.B. über die o.a. Scherung oder über das Cavalieri’sche Prinzip) er- kennen können: Die Fläche entspricht der Fläche, welche die Hyperbel y = 1/x mit ihren Asymptoten einschließt.)

Hinweis:

Diese Variation ist ohne durchgängiges Arbeiten mit einem Funktionenplotter kaum möglich. Sie ist gut geeignet, auf den Unterschied zwischen koordinaten- abhängigen und -unabhängigen Kurveneigenschaften (z.B. Nullstellen oder Ex- trempunkte gegenüber Symmetrien oder Asymptoten) hinzuweisen.

Anhang 51: Kurvenbestimmung

Initialproblem:

Welche Bedingungen müssen a,b,c erfüllen, damit die Parabel mit der Gleichung a) y = ax³ + bx + c die x-Achse berührt? (Lambacher-Schweizer: Analysis - Stuttgart: Klett 1967, S.110)

präziser:

Welche Bedingungen müssen a,b,c ∈ (a ≠ 0) erfüllen, damit die kubische Pa- rabel mit der Gleichung y = ax³ + bx + c die x-Achse berührt?

Lösung:

Für den Berührpunkt B (xB;yB) muß gelten:

(1) ax_B³ + bx_B + c = 0 (2) 3axB

2 + b = 0 . Aus (2) ergibt sich xB = ± − b

3a .

Damit dieser Wert existiert (reell ist), muß b = 0 oder ab < 0 sein.

xB in (1) eingesetzt führt (für beide Werte) zu (3) 4b³ = − 27ac²

Beispiel: a = 1, b = −3, c = 2

Obige Einschränkung für a,b ist in (3) enthalten.

Sonderfall: Für b = 0 muß auch c = 0 sein.¹

Hinweis: Für c ≠ 0 (und damit b ≠ 0) kann die Parabelgleichung nur durch einen der beiden Werte xB erfüllt werden. Es gibt also nicht etwa zwei Berührpunkte.

Mögliche Variationen gemäß „What-else“

Wir verändern die Vorgaben - berühren

- x-Achse - Gleichung

- kubische Parabel

und untersuchen auch einige diesbezügliche Kombinationen.

1. Variation:

a) „meiden“ statt „berühren“

1 Wir haben dann eine Berührung höherer Ordnung: Nicht nur die Steigungen, auch die

Das ist nicht möglich. Es gilt f(x) → ∞ für x → ∞ und f(x) → − ∞ für x → − ∞ . Nach dem Zwischenwertsatz muß es dann zu f(x) = 0 mindestens ein x ∈ D_f ge- ben.

b) „schneiden“ statt „berühren“

Das ist (aus dem gleichen Grunde) immer möglich (auch wenn die Parabel an einer anderen Stelle die x-Achse berührt).

Im Sonderfall b = c = 0 fallen Berühr- und Schnittstelle in der Wendestelle (0;0) zusammen.

2. Variation:

a) „y-Achse“ statt „x-Achse“

Das ist ebenfalls nicht möglich. Die y-Achse kann nicht Tangente sein: In jedem Punkt (x0;y0) ist die Tangentensteigung 3ax0

2 + b von endlichem Wert.

b) „Parallele zur x-Achse im Abstand d“ statt „x-Achse“ (y = d statt y = 0) (1) → axB

3 + bxB + c = d ,d.h.

(1’) axB3

+ bxB + c − d = 0 (1’) und (2) liefern

(4) 4b³ = − 27a⋅(c−d)² .

c) „1. Winkelhalbierende“ statt „x-Achse“ (y = x statt y = 0) Für den Berührpunkt B (x_B;y_B) muß jetzt gelten

(1’’) axB

3 + bxB + c = xB

(2’’) 3ax_B² + b = 1 Aus (2’’) folgt xB = ± 1−

3 b

a , weshalb a > 0 ∧ b ≤ 1 oder a < 0 ∧ b ≥ 1 sein muß.

Setzt man dies in (1’’) ein, so erhält man (5) 4⋅(b−1)³ = −27ac² .

Verallgemeinerung: „Ursprungsgerade“ statt „x-Achse“ (y = m⋅x statt y = 0) führt in gleicher Weise zu

(6) 4⋅(b−m)³ = −27ac² 3. Variation:

a) „y = ax³ + bx² + cx + d“ statt „y = ax³ + bx + c“ (also die allgemeine Glei- chung einer kubischen Parabel)

(1’’’) ax³ + bx² + cx + d = 0

(2’’’) 3ax² + 2bx + c = 0

Eine Rechnung analog zum Initialproblem wird schnell kompliziert. Deshalb führen wir unser Problem darauf zurück.

Wir verschieben die Parabel gemäß x’ = x + b

3a (dadurch ändert sich die ge- wünschte Berührung mit der x-Achse nicht) und erhalten

y = a⋅x’ ³ + (c − b a

2

3 )⋅x’ + ( 2 27

b a

bc 3a d

3

⋅ 2 − + ) . Mit (3) ergibt sich

(7) 4⋅(3ac − b²)³ = −(2b³ − 9abc + 27a²d)² Beispiel: a = 1, b = 4, c = 5, d = 2

Für b = 0 erhalten wir 4c³ = −27ad², was (3) entspricht.

(Im Nachhinein versteht man, warum das Schulbuch sich auf diesen Sonderfall beschränkt hat.)

4. Variation:

a) „quadratische Parabel“ statt „kubische Parabel“ („y = ax² + bx + c“ statt „y = ax³ + bx + c“)

Es muß gelten (1’’’’) axB

2 + bxB + c = 0 (2’’’’) 2axB + b = 0

und daraus folgt auf nun schon bekannte Weise (8) b² = 4ac

Im Sonderfall b = 0 muß auch c = 0 sein.

b) „y = sinx + c“ statt „y = ax³ + bx + c“

Wegen −1 ≤ sinx ≤ 1 mit Extrema ±1 bei x = n⋅ π

2 (n ∈ ) muß (9) c² = 1 sein.

5. Variation:

Wir ersetzen „x-Achse berühren“ durch irgendein anderes charakteristisches Merkmal.

a) „hat Hoch- oder Tiefpunkte“

Für einen Extrempunkt E (xE;yE) muß gelten (1’’’’’) 3axE

2 + b = 0

(2’’’’’) 6axE ≠ 0

(1’’’’’) kann nur erfüllt werden für ab < 0 oder (b = 0 und xE = 0), die zweite nur für xE ≠ 0. Die gesuchte Bedingung ist also

(10) ab < 0 .

Hinweis: Im Falle ab ≥ 0 ist die zugehörige Funktion echt monoton.

b) „Die zugeordnete Funktion hat eine Umkehrfunktion.“

führt nach a) zur Bedingung (11) ab ≥ 0 .

c) „ ... verläuft durch den Punkt P(u;v)“

ergibt direkt

(12) a⋅u³ + b⋅u² + c = v ;

entsprechend zieht„ ... verläuft durch die beiden Punkte P1(u1;v1) , P2(u2;v2) (mit u1 ≠ u2)“ nach sich

(13) (u2 − u1) ⋅ (a⋅u1

2 + a⋅u1u2 + a⋅u2

2 + b) = v2 − v1 ,

während die Vorgabe dreier Punkte Pi(ui;vi) mit paarweise verschiedenen Ab- szissen ui die Koeffizienten a,b,c eindeutig festlegt.

d) „ ... schließt mit der x-Achse zwei Flächen gleichen Inhalts ein ..“

Zunächst darf die Kurve nicht monoton, d.h. es muß ab < 0 sein. Sie ist symme- trisch in bezug auf den Wendepunkt W(0;c). Die Parallele zur x-Achse durch diesen Punkt hat die gewünschte Eigenschaft. Damit sie mit der x-Achse über- einstimmt, muß c = 0 sein.

(14) ab < 0 ∧ c = 0 .

Einige abschließende Bemerkungen:

Man beachte, wie durch solche Variationen eine vorgegebene Kurve exploriert und wie der Umgang mit Kurveneigenschaften dabei auf unaufdringliche Weise wiederholt werden kann.

Im Unterricht empfiehlt sich, die einzelnen Resultate durch günstige Beispiele vor- und nachzubereiten.

Zum schnellen Zeichnen von Kurven bzw. Kurvenscharen eignet sich ein Funk- tionsplotter. Beispiel zu 2. c): a = 1, c = 2, b = −4; −3; ... ; 0; 1 .

Anhang 52: Arbeitsblatt Prozentrechnung

erstellt von Frau Andrea Hagemann, Magdeburg Arbeitsblatt

Name:

Startaufgabe:

Anika möchte sich unbedingt eine trendy Kuscheljacke kaufen. Sie hat bisher 20 DM gespart. Doch leider sind das erst 12,5% des Kaufpreises. Wie teuer ist die Jacke?

wackeln

Berechne jeweils den Kaufpreis der Jacke bei a) Ändern der bisherigen Ersparnis

b) Ändern des Prozentsatzes

c) gleichzeitigem Ändern der bisherigen Ersparnis und des Prozentsatzes.

Bewerte Deine Ergebnisse!

umzentrieren

Schreibe die Startaufgabe (Grundwertaufgabe) in eine Prozentwertaufgabe oder eine Prozentsatzaufgabe um und löse sie.

wesentlich machen

1. Erstelle selbst eine Prozentaufgabe. Versuche dabei, Deine Interessen, Deine Hobbies, Deine persönlichen Erfahrungen zu nutzen.

2. Ändere diese Aufgabe in gleicher Weise wie die Startaufgabe ab. Fallen Dir noch andere Veränderungen (Variationen) ein?

Hinweis:

Mehr zu diesem Arbeitsblatt in Henning; Leneke 2000.

Anhang 53: Besonderes Datum

Vorbemerkung:

Nachfolgende Aufgabe wurde einem Projektmitarbeiter (StR Heidenreich) im Frühjahr 2000 von einem seiner Schüler (5. Klasse) zum Zwecke des Variierens mitgebracht. Die u.a. Varianten stammen teilweise von ihm und seiner Klasse (S), teilweise auch von Lehrerinnen und Lehrern (L), welche dieser Mitarbeiter innerhalb einer Lehrerfortbildungsveranstaltung mit der Aufgabe konfrontierte.

Aufgabe:

Der 02.02.2000 ist ein Datum, das nur aus geraden Ziffern besteht. Wann zuletzt gab es ein solches Datum?

Lösung:

Am 28.08.888. Denn sowohl der 1. Februar 2000 als auch der Januar 2000 als auch das letzte Jahrtausend als auch das 10.Jahrhundert als auch die späteren Monate im 9.Jahrhundert scheiden aus.

Mögliche Variationen:

a)

Wann davor gab es ein solches Datum? (S,L)

Strategie: iterieren

(am 26.08.888, 24.08.888, ... , 28.06.888, ... , 28.04.888, ... , 28.08.886, usw.)

b)

Welches ist das nächste solche Datum? (S,L)

Strategie: Richtung umkehren

(04.02.2000 (und weiter am 06.02.2000, ... , 02.04.2000, ... , 02.02.2002, usw.)

c)

Wann zuletzt gab es ein Datum, das nur aus ungeraden Ziffern besteht?

(S,L)

Strategie: analogisieren (am 19.11.1999)

d)

Welches ist das nächste Datum, das nur aus ungeraden Ziffern besteht?

(S,L)

Strategie: kombinieren (am 13.11.3111)

e)

Wann zuletzt gab es ein Datum, das ebenfalls die Quersumme 6 hatte? (S,L) Strategie: Bedingung ändern

(30.01.2000)

f)

Wann zuletzt gab es ein Datum, das nur aus Ziffern besteht, die durch 3 teil- bar sind? (S,L)

Strategie: analogisieren (30.09.999)

g)

Wann zuletzt gab es ein Datum, bei dem sich gerade und ungerade Ziffern abwechseln? (S)

Strategie: kombinieren

(30.12.1898 (bzw. 29.09.898, wenn das Datum mit einer geraden Ziffer be- ginnen soll))

h)

Wann zuletzt gab es ein Datum, welches man (als Zahl verstanden) durch 3 teilen kann? (S)

Strategie: Bedingung ändern (30.01.2000)

i)

Wann zuletzt gab es ein „symmetrisches“ Datum (als Zahl verstanden)? (S) Strategie: Bedingung ändern

(19.11.1191 (nächstes solches Datum: 10.02.2001))

j)

Wann hatten wir (werden wir haben) ein Datum mit lauter gleichen Ziffern?

(S)

Strategie: Bedingung ändern (11.11.1111 (11.11.11111))

k)

Welches ist der maximale Zeitabstand zwischen zwei Daten nur mit geraden Ziffern? (L)

Strategie: umzentrieren

(Die Abstände können beliebig groß werden. Ein Maximum existiert also nicht.)

l)

Wie viele Daten gibt es, die nur aus den Ziffern 0 und 2 bestehen? (L) Strategie: umzentrieren

(2⁷ = 128)

m)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Daten mit nur geraden Ziffern in den nächsten 2000 Jahren? (L)

Strategie: Kontext wechseln

(unangemessene Frage, weil die Anzahl dieser Daten bestimmt werden kann)

n)

Wie viele Daten mit nur geraden Ziffern kann es in einem Jahr (mit nur ge- raden Ziffern) geben? (L)

Strategie: sinnvoll machen

(4 „gerade“ Monate mit je 9 „geraden“ Tagen: 36)

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