Fourier-Basis aus Exponentialfunktionen

(1)

Fourier-Basis aus Exponentialfunktionen

Die Exponentialfunktionen e

_k

(x) = e

^ikx

sind im Raum der 2π-periodischen quadratintegrierbaren Funktionen orthonormal:

he

_j

, e

k

i

_2π

= 1 2π

π

Z

−π

e

j

(x)e

k

(x) dx = δ

j,k

f¨ ur j , k ∈ Z .

Fourier-Basis 1-1

(2)

Beweis:

j = k 1 2π

π

Z

−π

e

^ijx

e

^ijx

dx = 1 2π

π

Z

−π

e

^ijx

e

^−ijx

dx = 1 2π

π

Z

−π

1 dx = 1

j 6= k

1 2π

π

Z

−π

e

^ijx

e

^ikx

dx = 1 2π

π

Z

−π

e

^i(j−k)x

dx = 1 2π

"

e

^i(j−k^)x

i(j − k)

#

π

−π

= 0

denn e

^2πi`

= 1 f¨ ur ` ∈ Z = ⇒ e

^i`π

− e

^−i`π

= e

^i`(−π)

e

^i`(2π)

− 1

= 0

Fourier-Basis 2-1

(3)

Fourier-Reihe

Die komplexe Fourier-Reihe einer 2π-periodischen Funktion f ist die Entwicklung nach dem Orthonormalsystem e

_k

(x) = e

^ikx

:

f (x) ∼ X

k∈Z

c

_k

e

_k

(x), c

_k

= hf , e

_k

i

_2π

= 1 2π

π

Z

−π

f (t)e

_k

(t) dt .

Die Konvergenz der Reihe h¨ angt von der Glattheit von f bzw. dem Abfallverhalten der Fourier-Koeffizienten c

_k

ab.

Hinreichend f¨ ur gleichm¨ aßige Konvergenz ist P

k

|c

_k

| < ∞.

Fourier-Reihe 3-1

(4)

Beispiel:

Fourier-Reihe der 2π-periodischen Funktion

f (x) = 1 2 − e

^ix

Umformung und Summenformel f¨ ur eine geometrische Reihe

f (x) = 1 2

1 1 − e

^ix

/2 = 1 2

∞

X

k=0

e

^ix

2

k

(|e

^ix

/2| < 1) Fourier-Reihe:

f (x) ∼

∞

X

k=0

1 2

^k+1

e

^ikx

Fourier-Reihe 4-1