• Keine Ergebnisse gefunden

3.1.5 Exponentialfunktionen Exponentialfunktion

N/A
N/A
Info
Herunterladen
Protected

Academic year: 2021

Aktie "3.1.5 Exponentialfunktionen Exponentialfunktion"

Copied!
3
0
0

Wird geladen.... (Jetzt Volltext ansehen)

Jetzt herunterladen ( 3 Seite )

Volltext

(1)

3.1.5 Exponentialfunktionen

Exponentialfunktion

y = e

x

= exp(x), e = 2.71828...

replacemen

y= exp(x)

−2 −1 0 1 2

0 1 2 3 4 5 6 7

Funktionalgleichung

e

x+y

= e

x

e

y

insbesondere: e

−x

= 1/e

x

Verzinsung

Endkapital bei Startkapital x nach n-facher Aus- bzw. Einzahlung einer Rate r (r < 0 bzw. r > 0) und einem Zinsfaktor (1 + p)

y = (1 + p)

n

x + (1 + p)

n

− 1

p r

effektiver Jahreszins bei monatlicher Verzinsung mit Zinsfaktor 1 + p

m

p

j

= (1 + p

m

)

12

− 1 ≥ 12p

m

Nat¨ urlicher Logarithmus

Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

y = e

x

⇔ x = ln y PSfrag

0 1 2 3 4 5 6 7

− 2

− 1 0 1 2

y = ln x

49

(2)

Funktionalgleichung

ln(xy) = ln x + ln y insbesondere: ln(1/x) = − ln x

Allgemeine Potenzfunktion und Logarithmus

y = a

x

= exp(x ln a), a > 0 Umkehrfunktion

x = log

a

y, y > 0 Zehner- und dualer Logarithmus: log = log

10

, ld = log

2

Rechenregeln f¨ ur Potenzen und Logarithmen

a

s+t

= a

s

a

t

, log

a

x + log

a

y = log

a

(xy), a

s−t

= a

s

/a

t

, log

a

x − log

a

y = log

a

(x/y), (a

s

)

t

= a

st

log

a

x

t

= t log

a

x Umrechnung zwischen verschiedenen Basen

log

b

x = log

b

a log

a

x

Hyperbelfunktionen

cosh x = e

x

+ e

−x

2 , sinh x = e

x

− e

−x

2 , tanh x = sinh x

cosh x = 1/coth x

y = sinh x y = cosh x

− 4 − 2 0 2 4

− 3

− 2

− 1 0 1 2 3

y = tanh x y = coth x

− 3 − 2 − 1 0 1 2 3

− 2

− 1 0 1 2

50

(3)

Hyperbolische Identit¨ aten

sinh( − x) = − sinh x cosh( − x) = cosh x

sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y cosh

2

x − sinh

2

x = 1

51

Referenzen

Jetzt herunterladen ( PDF - 3 Seite - 246.70 KB )

ÄHNLICHE DOKUMENTE

1 2 3 4 5 ! ! ! ! ! 1 2 3 4 5 6 st r r r r r r

Online Motion Planning, WT 13/14 Exercise sheet 5.. University of

3 Die Exponentialfunktion

Beim Tangens schaut es leicht anders mit der Umkehrfunktion aus als bei Sinus und Cosinus: Der Tangens bildet nämlich das Intervall (−π/2, π/2) bijektiv auf ganz R ab, womit

1.GraphenvonExponentialfunktionen Exponentialfunktionen

Wie muss man vorgehen, wenn man die Höhe der Asymptoten nicht

1. Graphen von Exponentialfunktionen

In der rechten Figur ist für die untere Kurve die Asymptote y = −3 abzulesen, für die obere Kurve kennt man die Asymptote

2. Exponentialfunktionen in Anwendungen 1.

Bemerkung: Die in den Naturwissenschaften wichtige Halbwertszeit (das ist die Zeit, in der die Intensität auf die Hälfte reduziert wird) können wir erst später - mit Hilfe

2. Exponentialfunktionen in Anwendungen 1.

Eine Maschine habe einen Einkaufswert (Startwert) von 240’000 Fr. Fünf Jahre später beträgt der Zeitwert noch 165’000 Fr., wobei die jährliche Abschreibung konstant sein soll.2.

Exponentialfunktionen vergleichen

Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die beiden zutreffenden Antwortmög- lichkeiten

Wiederholung zu den Exponentialfunktionen

Jeden Tag informiert jede Person, die dieses Gerücht kennt, genau eine andere, die es nicht kennt.. (a) Zeichne einen Graphen, der diese Situation verdeutlicht, und gebe die