Unit¨are Diagonalisierung Eine n × n-Matrix A ist normal, wenn sie mit ihrer Adjungierten A∗ = ¯

Unit¨are Diagonalisierung

Eine n×n-MatrixAist normal, wenn sie mit ihrer Adjungierten A^∗= ¯A^t (A^∗=A^t f¨ur reelle Matrizen) kommutiert:

A^∗A=AA^∗.

Normalit¨at von Aist ¨aquivalent zu unit¨arer Diagonalisierbarkeit, d.h. es existiert eine orthonormale Basis aus Eigenvektorenu1, . . . ,un und

U^∗AU = diag(λ1, . . . , λn), U = (u1, . . . ,un),U^∗=U⁻¹, mit λ_k den Eigenwerten vonA.

Beweis

(i) Orthogonale Diagonalisierbarkeit =⇒ Normalit¨at:

U⁻¹ =

Uunit¨arU^∗, U⁻¹AU =Dbzw.UDU⁻¹=UDU^∗ mit D= diag(λ₁, . . . , λ_n) =⇒

AA^∗ = (UDU^∗)(UDU^∗)^∗

=

(BC)^∗=C^∗B^∗ UD(U^∗ U^∗∗

|{z}

U

)D^∗U^∗

U^∗=U=E U(D^∗D)U^∗

U^∗=U=E (UD^∗U^∗)(UDU^∗)

= A^∗A

DD^∗ =D^∗D wegenλ¯λ= ¯λλ

(ii) Normalit¨at =⇒ orthogonale Diagonalisierbarkeit:

konstruiere zun¨achst eine orthogonale Matrix V mit

V^∗AV =

λ 0^t 0 B

, Bnormal,0 = (0, . . . ,0)^t∈Rⁿ⁻¹

Ansatz: V = (v|V˜), wobei die Spalten von ˜V einen normierten Eigenvektorv zum Eigenwert λzu einer Orthonormalbasis erg¨anzen

V^∗AV = v^∗

V˜^∗

λv AV˜

=

λ c^∗ 0 B

=D noch zu zeigen: BB^∗ =B^∗B ∧ c = (0, . . . ,0)^t

Ahnlichkeitstransformationen erhalten Normalit¨¨ at DD^∗ =D^∗D,

d.h.

|λ|²+|c|² c^∗B^∗ Bc BB^∗

=

|λ|² λc^∗ λc B^∗B

Vergleich der Diagonalbl¨ocke =⇒ gew¨unschte Eigenschaften

nehme induktiv an, dass B mit einer unit¨aren MatrixW diagonalisierbar ist, d.h.

W^∗BW = ˜D

=⇒ Awird durch

U =V

1 0^t

0 W

, diagonalisiert, denn

U^∗AU =

1 0^t 0 W^∗

λ 0^t 0 B

1 0^t

0 W

=

λ 0 0^t W^∗BW

=

λ 0 0^t D˜

Beispiel

Diagonalisierung der normalen Matrix

A=

1 + 2i 1−2i 1−2i 1 + 2i

(i) ¨Uberpr¨ufung der Normalit¨at:

A^∗A =

1−2i 1 + 2i 1 + 2i 1−2i

1 + 2i 1−2i 1−2i 1 + 2i

=

10 −6

−6 10

AA^∗ =

1 + 2i 1−2i 1−2i 1 + 2i

1−2i 1 + 2i 1 + 2i 1−2i

= gleiches Resultat X

(ii) Eigenwerte- und Vektoren:

Orthogonalit¨at der Eigenvektoren =⇒ (−1,1)^t ist ein zweiter Eigenvektor

1 + 2i 1−2i 1−2i 1 + 2i

−1 1

= 4i −1

1

=⇒ 4i ist der zugeh¨orige Eigenwert (iii) Diagonalisierung:

Normierung der Eigenvektoren Transformationsmatrix

U = 1

√2

1 −1

1 1

und U^∗AU=D,D= diag(2,4i) Uberpr¨¨ ufung durch Ausmultiplizieren

U^∗AU = 1

√ 2

1 1

−1 1

1 + 2i 1−2i 1−2i 1 + 2i

1

√ 2

1 −1

1 1

= 1

√ 2

1 1

−1 1 1

√ 2

2 −4i 2 4i

= 1 2

4 0 0 8i

=D X