3. Das Prinzip der virtuellen Arbeit

(1)

Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-1

3. Das Prinzip der virtuellen Arbeit

3.1 Stab

3.2 Scheibe

(2)

3.1 Stab

● Herleitung des Prinzips der virtuellen Arbeit:

– Am Stab greifen als äußere Kräfte die Einzelkräfte F₁ und F₂ und die Volumenkraft f an.

– Die Formänderungsenergie ist gleich der von den äußeren Kräften verrichteten Arbeit:

1 2

F₁ f F₂

1 2

∫

V

  x xdV =1

2



^F¹^u¹^^F²^u²^

^∫

^V ^f ^^x^^u^ ^x^^dV



(3)

3.1 Stab

– Lastfall A: Lasten F₁Â, F₂Â, f Â

– Lastfall B: Lasten F₁^B, F₂^B, f ^B

– Überlagerung:

1 2

∫

V

^Ax ^A xdV =1

2



^F¹Âû¹Â^^F²Âû²Â^

^∫

^V ^f Â^^x^ûÂ^ ^x^^dV



1 2

∫

V

^B x^BxdV =1

2



^F¹^B^u¹^B^^F²^B^u²^B^

^∫

^V ^f ^B^ ^x^^u^B^^x^^dV



1 2

∫

V



^A^B

 

 ^A^B



dV

=1

2

[ ^

^F¹^A^^F¹^B

^{ }

^u¹^A^u¹^B

^

^

^

^F²^A^^F²^B

^{ }

^u²^A^u²^B

^

^

^∫

^V

^

^f ^A^ ^f ^B

^{ }

^u^A^u^B

^

^dV

]

(4)

3.1 Stab

– Ausrechnen ergibt:

– Materialgesetz:

– Reziprozitätsgesetz:

1 2

∫

V



^A^B^B^A



dV =1

2



^F¹Âû¹^B^^F¹^Bû¹Â^^F²Âû²^B^^F²^Bû²Â



1 2

∫

V



f ^Au^B f ^Bu^A



dV

Â^B=Â E ^B=Â^B

F₁Âu₁^B=F₁^Bu₁Â , F₂Âu₂^B=F₂^Bu₂Â

∫

V

f ^Au^BdV =

∫

V

f ^Bu^AdV

(5)

3.1 Stab

– Damit ist gezeigt:

– Sei nun Lastfall A der tatsächliche Lastfall und Lastfall B ir- gendein beliebiger anderer Lastfall.

– Die Verschiebungen für Lastfall A werden mit u und die Verschiebungen für Lastfall B mit v bezeichnet.

– Die zugehörigen Dehnungen und Spannungen sind:

– Die oberen Indizes können nun weggelassen werden, da alle in der Formel auftretenden Lasten zu Lastfall A gehö- ren.

∫

V

^BÂdV =u₁^B F₁Âu₂^B F₂Â

∫

V

u^B f ^AdV

^A==E du

dx und ^B=_v= dv dx

(6)

3.1 Stab

– Damit gilt:

– Diese Beziehung wird als Prinzip der virtuellen Arbeit bezeichnet.

– Die Verschiebungen v werden als virtuelle Verschiebungen bezeichnet.

– Als virtuelle Verschiebungen dürfen alle zulässigen Ver- schiebungen eingesetzt werden.

– Zulässig sind alle Verschiebungen, die die Lagerbe- dingungen erfüllen.

∫

V

_v dV =v₁ F₁v₂ F₂

∫

V

v f dV

(7)

3.1 Stab

● Globales Gleichgewicht:

– Wenn der Stab nicht gelagert ist, ist eine zulässige virtuelle Verschiebung.

– Wegen folgt:

– Diese Gleichung beschreibt das Kräftegleichgewicht in Stabrichtung.

vx=v₀=const.

_v

0=0 0=v₀



^F¹^^F²^

^∫

^V ^{f dV}



(8)

3.1 Stab

● Lokales Gleichgewicht:

– Für eine beliebige virtuelle Verschiebung gilt:

– Einsetzen in das Prinzip der virtuellen Arbeit ergibt:

∫

V

_v dV = A

∫

0

L dv

dx  dx=A

[

^v^^x^{ }^x^

]

_x^x₌₀⁼^L⁻^A

∫

0 L

v d  dx dx

=A



^v2₂−v₁₁



⁻ ^A

∫

0 L

v d  dx dx

A



^v2₂−v₁₁



⁻^A

∫

0 L

v d 

dx dx=v₁ F₁v₂ F₂ A

∫

0 L

v f dx

 v₂



^A^2−F₂



⁻^v1



^A^1F₁



⁼ ^A

∫

0 L

v



^f ^^d^dx^



^dx

(9)

3.1 Stab

– Diese Gleichung ist nur dann für beliebige virtuelle Ver- schiebungen erfüllt, wenn gilt:

– Die ersten beiden Gleichungen sind die Randbedingungen für die Spannung.

– Die dritte Gleichung ist die Differenzialgleichung des Stabs, die das Gleichgewicht am infinitesimalen Stabelement

beschreibt.

₁=− F₁

A , ₂= F₂

A , d 

dx  f =0

(10)

3.1 Stab

● Zusammenfassung:

– Das Prinzip der virtuellen Arbeit lautet:

– Im Prinzip der virtuellen Arbeit sind die folgenden Be- dingungen enthalten:

● das Kräftegleichgewicht am Stab

● die Spannungsrandbedingungen an den Stabenden

● das Gleichgewicht am infinitesimalen Stabelement

∫

V

_v dV =v₁ F₁v₂ F₂

∫

V

v f dV für alle v

(11)

3.2 Scheibe

● Geometrie:

f

q F₁

F₂

F_m

x y

A

C

(12)

3.2 Scheibe

– Die Scheibe liegt in der xy-Ebene und bedeckt die Fläche A.

– Die Randkurve der Fläche A wird mit C bezeichnet.

– Die Scheibe hat die Dicke t und das Volumen V = t A.

– Die Randfläche wird mit R bezeichnet.

● Lasten:

– Einzelkräfte F_m

– Flächenkraft q auf der Randfläche R

– Volumenkraft f im Inneren der Scheibe

(13)

3.2 Scheibe

● Prinzip der virtuellen Arbeit:

– Wie beim Stab lässt sich zeigen:

– Dabei ist

∫

V

[

^^v

]

^T

^[

^

^]

^dV ⁼

∑

m

[

^v^e^m

]

^T

[

^F^m

]

^

∫

R

[

v^e

]

^T

[

q^e

]

dR

∫

V

[

v^e

]

^T

[

f ^e

]

dV

[

^v^e^^{x , y}^

]

⁼

[

^v^v^x^y^^^{x , y}^{x , y}^^

]

^,

^[

^^v

^]

⁼

^[

^∂^xy

^][

^v^e

^]

^,

^[

^v^e^m

^]

⁼

^[

^v^e^^x^m ^{, y}^m^

^]

[

^F^m

]

⁼

[

^F^F^mx^my

]

^,

^[

^q^e^^{x , y}^

^]

⁼

[

^q^q^x^y^^^{x , y}^{x , y}^^

]

^,

^[

^f ^e^ ^{x , y}^

^]

⁼

[

^f^f ^x^y^^^{x , y}^{x , y}^^

]

(14)

3.2 Scheibe

– Die virtuellen Verschiebungen sind beliebige Verschie- bungen, die mit den Lagerungen verträglich sind.

– Mit und folgt:

[

^v^e

]

dV =t dA dR=t ds

∫

A

[

^^v

]

^T

^[

^

^]

^{t dA=}

∑

m

[

^v^m^e

]

^T

[

^F^m

]

^

∫

C

[

v^e

]

^T

[

q^e

]

t ds

∫

A

[

v^e

]

^T

[

f ^e

]

t dA

(15)

3.2 Scheibe

● Globales Gleichgewicht:

– Kräftegleichgewicht in x-Richtung:

● Die virtuelle Verschiebung ist eine Translation in x-Richtung.

● Wegen gilt:

– Kräftegleichgewicht in y-Richtung:

● Die virtuelle Verschiebung ist eine Translation in y-Richtung.

[

^v^er^x

]

⁼

[

^v⁰⁰

]

[

^v

]

⁼

[

^∂xy

] [

^v^er^x

]

⁼^[⁰^]

0=v₀

 ^∑

^m ^F^mx^

^∫

^C ^q^x^{t ds}^

^∫

^A ^f ^x^{t dA}



^

^∑

^F^x⁼⁰

[

^v^er^y

]

⁼

[

^v⁰⁰

]

(16)

3.2 Scheibe

● Wegen gilt:

– Momentengleichgewicht um den Ursprung:

● Die virtuelle Verschiebung ist eine linearisierte Drehung um den

Ursprung.

[

^v

]

⁼

[

^∂xy

] [

^vy

er

]

⁼^[⁰^]

0=v₀

 ^∑

^m ^F^my^

^∫

^C ^q^y^{t ds}

^∫

^A ^f ^y^{t dA}



^

^∑

^F ^y⁼⁰

[

^v^^er

]

^=0

[

⁻^x^y

]

x

y φ₀

v ^r_φ

(17)

3.2 Scheibe

● Die Dehnungen berechnen sich zu

● Aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit folgt:

[

^v

]

⁼

[

∂

∂ x 0

0 ∂

∂ y

∂

∂ y

∂

∂ x

]

^⁰

^[

⁻^x^y

^]

^=⁰

^[

⁻¹⁰⁰^1

^]

⁼

^[

⁰⁰⁰

^]

0=₀

[ ^∑

^m

^

⁻ ^y^m ^F^mx^^x^m ^F^my

^

^

^∫

^C

^

⁻^{y q}^x^^{x q}^y

^

^{t ds}



∫

A



⁻^{y f} xx f _y



^{t dA}

]

^

^∑

^M^O^⁼⁰

(18)

3.2 Scheibe

● Lokales Gleichgewicht:

– Betrachtet wird eine rechteckige Scheibe.

– Im Inneren greifen Volu-

menkräfte und am Rand Flä- chenkräfte an.

– Es greifen keine Einzelkräfte

an. _x

y

a b

A

C₁

C₂ C₃

C₄

(19)

3.2 Scheibe

∫

V

[

^v

]

^T

^[

^

^]

^dV ⁼^t

∫

A



^∂^∂^v^x^x ^^x^^∂^∂^v^y^y ^ ^y^^∂^∂^v^x^y ^^xy^ ^∂^∂^v^y^x ^^xy



^dA

=t

∫

0

b

[ ^∫

⁰^a

^

^∂^∂^v^x^x ^^x^ ^∂^∂^v^x^y ^^xy

^

^dx

]

^dy^t

^∫

^a⁰

[ ^∫

⁰^b

^

^∂^∂^v^y^y ^ ^y^^∂^∂^v^y^x ^^xy

^

^dy

]

^dx

=t

∫

0

b

[ ^[

^v^x^^x^^v^y^^xy

^]

^x^x⁼⁰^=a⁻

^∫

^a⁰

^

^v^x ^{∂ }^∂ ^x^x^^v^y ^{∂ }^∂ ^x^xy

^

^dx

]

^dy

t

∫

0

a

[ ^[

^v^y^ ^y^^v^x^^xy

^]

^y^y⁼⁰^=b⁻

^∫

^b⁰

^

^v^y ^{∂ }^∂ ^y^y^^v^x ^{∂ }^∂ ^y^xy

^

^dy

]

^dx

– Virtuelle Formänderungsenergie:

(20)

3.2 Scheibe

∫

V

[

^v

]

^T

^[

^

^]

^dV ⁼^t

∫

C₂



^vx_xv_y_xy



^ds^−t

∫

C₄



^vx_xv_y_xy



^ds

t

∫

C₃



^vy_yv_x_xy



^ds⁻^t

∫

C₁



^vy _yv_x _xy



^ds

−t

∫

A

[

^v^x

^

^{∂ }^∂ ^x^x^^{∂ }^∂ ^y^xy

^

^^v^y

^

^{∂ }^∂ ^y^y^^{∂ }^∂ ^x^xy

^ ]

^dA

– Virtuelle Arbeit der Flächenkräfte:

∫

R

[

v^e

]

^T

[

q

]

dR=t

∫

C₁



^vx q_xv_yq_y



^ds^^t

∫

C₂



^vxq_xv_yq_y



^ds

t

∫

C₃



^vxq_xv_yq_y



^ds^^t

∫

C₄



^vxq_xv_yq_y



^ds

(21)

3.2 Scheibe

– Virtuelle Arbeit der Volumenkraft:

– Da die virtuellen Verschiebungen beliebig sind, folgt durch Vergleich der Terme im Prinzip der virtuellen Arbeit:

∫

V

[

v^e

]

^T

[

f

]

dV =t

∫

A



^vx f _xv_y f _y



^dA

∂ _x

∂ x ∂ _xy

∂ y  f _x=0

∂ _y

∂ y ∂ _xy

∂ x  f _y=0

_xy = −q_x , _y = −q_y auf C₁

_x = q_x , _xy = q_y auf C₂

_xy = q_x , _y = q_y auf C₃

_x = −q_x , _xy = −q_y auf C₄

(22)

3.2 Scheibe

– Mit dem nach außen

zeigenden Einheitsnorma- lenvektor

lassen sich die Randbe- dingungen für die

Spannungen zusammen- fassen zu

– .

[

n

]

=

[

ⁿⁿ^x^y

]

[

ⁿ⁰^x ⁿ⁰^y ⁿⁿ^x^y

] [

^^^^xy^x^y

]

⁼

^[

^q^q^x^y

^]

– Mit dem Integralsatz von Gauß lässt sich zeigen, dass die Ergebnisse auch für eine Scheibe belie-

biger Form gelten.

n

n n

n

(23)

3.2 Scheibe

● Zusammenfassung:

– Das Prinzip der virtuellen Arbeit lautet:

– Im Prinzip der virtuellen Arbeit sind die folgenden Be- dingungen enthalten:

● die Gleichgewichtsbedingungen für die Scheibe

● die Spannungsrandbedingungen am Rand

● die Gleichgewichtsbedingungen für die Spannungen

∫

V

[

^^v

]

^T

^[

^

^]

^dV ⁼

∑

m

[

^v^e^m

]

^T

[

^F^m

]

^

∫

R

[

v^e

]

^T

[

q^e

]

dR

∫

V

[

v^e

]

^T

[

f ^e

]

dV für alle

[

^v^e

]

3. Das Prinzip der virtuellen Arbeit