Die Bearb eitung des Zettels fließt nic h t in die Gesam tb ew ertung ein. Die Aufgab en sind denno c h relev an t fü r die Absc hlussklausur.
Erreichbare Punktzahl: 20
Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2014/2015 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Analysis 1 Blatt XV vom 05.02.15 Aufgabe XV.1 (6 Punkte)
Berechnen Sie die folgenden Integrale.
a)
2
Z
0
exp −4x2 x dx
b)
2
Z
0
exp −4x2 x3dx
c)
1
Z
0
√ x
1 +x2 dx
d)
1
Z
0
x3
√
1 +x2 dx
e)
2π/3
Z
π/3
1 sin(x)dx
Hinweis:Bei diesem Integral hilft die folgende Erkenntnis:
cos2(x/2)
sin(x) = cos2(x/2)
2 sin(x/2) cos(x/2) = 1 2 tan(x/2)
f)
π 2
Z
0
cos3(x)dx
Aufgabe XV.2 (6 Punkte)
Bestimmen Sie für die Funktionen f undg jeweils eine Stammfunktion.
a) f(x) =x5ln(x), x∈(0,∞) b) f(x) =x3exp(x), x∈R Aufgabe XV.3 (4 Punkte)
Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale:
a)
1
Z
0
√ x
1−x2dx b)
∞
Z
−∞
1 1 +x2 .dx
Aufgabe XV.4 (4 Punkte)
Seif : [0,∞)→R,f(t) =t2+2t. Ein Auto fährt zum Zeitpunkt Null auf einer geradlinigen Strecke los. Es fährt zum Zeitpunkt tmit Geschwindigkeit f(t), gemessen in Kilometer pro Stunde. Nach T Stunden hat das Auto eine Strecke von108 Kilometern zurückgelegt.
Bestimmen Sie T und geben Sie die mittlere Geschwindigkeit während der Fahrt an.
Veranschaulichen Sie diesen Mittelwert grafisch.
2
