Diese Aufgab en dienen zur Bearb eitung im ersten T utorium. Sie w erden nic h t gew ertet und m üssen nic h t abgegeb en w erden.

Diese Aufgab en dienen zur Bearb eitung im ersten T utorium. Sie w erden nic h t gew ertet und m üssen nic h t abgegeb en w erden.

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Wintersemester 2015/2016 Universität Bielefeld

Übungsaufgaben zu Maß- und Integrationstheorie Blatt 0 vom 22.10.15

Aufgabe 0.1

Seien Aeine σ-Algebra auf einer MengeΩ, m∈Nund(A_i)i∈N eine Folge mit A_i ∈ Afür jedesi∈N. Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen ebenfalls Elemente vonA sind:

∅,

m

[

i=1

A_i,

m

\

i=1

A_i, \

i∈N

A_i, A₁\A₂.

Aufgabe 0.2

a) SeienΩ6=∅ eine beliebige Menge undA⊂Ω. Bestimmen Sieσ({A}).

b) Geben Sie auf der Menge Ω ={1,2,3}alle möglichen σ-Algebren an.

c) SeiΩ6=∅eine beliebige Menge. Zeigen Sie, dass das Mengensystem

A={A⊂Ω|Ahöchstens abzählbar oderΩ\Ahöchstens abzählbar}

eineσ-Algebra aufΩist.

Aufgabe 0.3

SeiΩ eine Menge,A eineσ-Algebra aufΩsowie µ:A →[0,∞) eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften:

• µ(Ω) = 1,

• µist additiv,

• µist von unten stetig¹.

Beweisen Sie, dassµdann auchσ-additiv ist.

1d.h. für jede aufsteigende FolgeA1⊂A2⊂. . .⊂Ω,Ai∈ Agilt

µ [

i∈N

Ai

!

= lim

i→∞µ(Ai).