Geometrische Methoden

Prof. Dr. Volker Kaibel Dipl.-Math. Stefan Weltge Wintersemester 2013/2014

Geometrische Methoden

in der Diskreten Optimierung – Blatt 8

www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise13/gmdo/

Besprechung: 16. Januar 2014 Slack-Matrizen und Fooling Sets

Aufgabe 1

Sei P = P^≤(A, b) ein Polytop mit A ∈ R^m×n, b ∈ R^m und Eckenmenge v₁, . . . , v_k. Sei S ∈R^m×k+ die Slack-Matrix von P, deren j-te Spalteb−Avj ist. Zeigen Sie, dass P affin isomorph zur konvexen H¨ulle der Spalten von S ist.

Aufgabe 2

Wie findet sich ein Fooling Set in einer Slack-Matrix wieder?

Aufgabe 3

Sei S⊆R^n×n eine Matrix, so dass S_ii≠0 f¨ur allei∈ [n]sowieS_ij⋅S_ji=0 f¨ur allei, j∈ [n]

mit i≠j. Zeigen Sie, dass rang(S) ≥√ n gilt.

Hinweise:

ˆ Betrachten Sie das Kronecker-Produkt¹ A∶=S⊗S^T.

ˆ Zeigen Sie, dass A eine regul¨are Diagonalmatrix der Gr¨oße n×n als Submatrix enth¨alt.

Aufgabe 4

Sei P = P^≤(A, b) ein Polytop sowie ω(P) die bestm¨ogliche fooling set bound f¨ur die Nicht-Inzidenzmatrix mit F₁= {Ecken von P} undF₂= {Seiten, die zu Ax≤b geh¨oren}.

Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgaben 2, 3 und 4, dass ω(P) ≤ (dim(P) +1)² gilt.

Correlation-, Cut- und TSP-Polytope Aufgabe 5

Sei K_n= ([n], E) der vollst¨andige ungerichtete Graph auf n Knoten und CUT(n) ∶= {χ(δ(S)) ∶S ⊆ [n]} ⊆ [0,1]^E

das zugeh¨orige Cut-Polytop. Zeigen Sie, dass COR(n−1)linear isomorph zu CUT(n)ist.

(Hinweis: Identifizieren Sie eine Eckex∈COR(n−1)mit der MengeS_x∶= {i∈ [n−1] ∶x_ii=1}.) Bitte wenden!

1http://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Produkt

S. 1/2

Geometrische Methoden

in der Diskreten Optimierung – Blatt 8 S. 2/2

Aufgabe 6

Sei φ_n eine 3-SAT-Formel in Variablen x₁, . . . , x_n∈ {0,1}. Das zugeh¨orige 3-SAT-Polytop sei definiert als

P_φn ∶=conv({x∈ {0,1}ⁿ∶φ_n(x)ist wahr}).

Zeigen Sie, dass es 3-SAT-Formeln φn gibt, so dass xc(Pφn) =2^Ω(√n) gilt.

(Hinweis: Zeigen Sie, dass es eine 3-SAT-Formel φ^′ = φ_n² mit O(n²) Klauseln gibt, so dass

φ^′(x) ist wahr ⇐⇒ x∈COR(n) f¨ur alle x∈ {0,1}ⁿ² gilt.)

Bemerkung

Man kann mit Reduktionstechniken wie in Aufgabe 6 zeigen, dass zu jedem 3-SAT- Polytop P_φn ein TSP-Polytop TSP(n^′) mit n^′ = O(n) existiert, so dass P_φn Projektion einer Seite von TSP(n^′) ist. Somit gilt xc(TSP(n^′)) ≥xc(P_φn).

Insgesamt wissen wir damit:

xc(COR(n)) =2^Ω(n) (Vorlesung)

xc(CUT(n)) =2^Ω(n) (Aufgabe 5)

xc(TSP(n)) =2^Ω(√n) (Aufgabe 6, Bemerkung)

Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch!