Dipl.-Math. Stefan Weltge Wintersemester 2015/16

Dipl.-Math. Stefan Weltge Wintersemester 2015/16

Geometrische Methoden in der Diskreten Optimierung: ¨ Ubung 9

Besprechung am 12.01.2016

Aufgabe 1

Sei n ∈ {3, 4, 5} und P ⊆ R

ein beliebiges konvexes n-Eck. Zeigen Sie, dass xc(P ) = n gilt.

Aufgabe 2

Sei P ⊆ R

ein konvexes Sechseck. Zeigen Sie, dass xc(P ) ∈ {5, 6} gilt. F¨ ur welche Sechsecke gilt xc(P ) = 5?

Aufgabe 3

Sei S ⊆ R

eine Matrix, so dass S

6= 0 f¨ ur alle i ∈ [n] sowie S

· S

= 0 f¨ ur alle i, j ∈ [n] mit i 6= j gilt. Zeigen Sie, dass rang(S) ≥ √

n gilt.

Hinweis: Betrachten Sie dasKronecker-Produkt¹ A:=S⊗S^T. Zeigen Sie, dassA eine regul¨are Diago- nalmatrix der Gr¨oßen×nals Submatrix enth¨alt.

(Obige Aufgabe zeigt zusammen mit Aufgabe 4, Blatt 8, dass Fooling Sets (Lemma 3.49 aus der VL) in Schlupfmatrizen von PolytopenP nicht gr¨oßer sein k¨onnen als (dim(P) + 1)².)

Aufgabe 4

Sei φ

eine 3-SAT-Formel

in Variablen x

, . . . , x

∈ {0, 1}. Das zugeh¨ orige 3-SAT- Polytop sei definiert als

P

:= conv({x ∈ {0, 1}

| φ

(x) ist wahr}).

Zeigen Sie, dass es 3-SAT-Formeln φ

gibt, so dass xc(P

) = 2

gilt.

Hinweis: Zeigen Sie, dass es eine 3-SAT-Formelφ⁰ =φ_n2 mit O(n²) Klauseln gibt, so dass φ⁰(x) ist wahr ⇐⇒ x∈CORR(n)

f¨ur allex∈ {0,1}ⁿ² gilt.

(Man kann mit Reduktionstechniken wie in dieser Aufgabe zeigen, dass zu jedem 3-SAT-Polytop Pφ_n

ein TSP-Polytop TSP(n⁰) mitn⁰ =O(n) existiert, so dass Pφ_n Projektion einer Seite von TSP(n⁰) ist.

Somit gilt xc(TSP(n⁰))≥xc(Pφ_n).

Damit erh¨alt man schließlich xc(TSP(n)) = 2^Ω(√n).)

1http://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Produkt

2https://de.wikipedia.org/wiki/3-SAT