Lineare Algebra II 1. ¨ Ubungsblatt
Fachbereich Mathematik WS 2012/13
Dr. habil. Matthias Schneider 22./23. Oktober 2012
Dipl. Math. Silke Horn Dipl. Math. Dominik Kremer
Gruppen¨ubung
Aufgabe G1
(a) Beweisen oder widerlegen Sie:
i. Seien φ:V →V ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums undλ ein Eigenwert von φ. Dann ist die Abbildungφ−λidbijektiv.
ii. Seienφ:V →V ein Endomorphismus und 06=v ∈V ein Vektor mitφ(−v) =λv. Dann sindv und −v Eigenvektoren vonφ.
(b) Was sind die Eigenvektoren der Matrix
A=
1 −1 2 −2
?
Aufgabe G2
Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrizen:
A1=
1 2 1 0 2 3 0 0 3
, A2=
1 2 3 0 1 2 1 3 5
, A3=
1 2 1 2 1 2 1 2 2
, A4=
1 2 0 0 0
2 1 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 3 2
0 0 0 2 1
.
Aufgabe G3
Zeigen Sie, dass die Eigenwerte einer Diagonalmatrix genau die Diagonaleintr¨age sind. Was sind die zugeh¨origen Eigenvektoren?
Aufgabe G4
Seiv ein Eigenvektor einer MatrixAzum Eigenwertλ. Zeigen Sie:
(a) Ist Ainvertierbar, so giltλ6=0undv ist ein Eigenvektor vonA−1zum Eigenwertλ−1. (b) F¨ur jeden Skalarµistv ein Eigenvektor vonA−µEzu Eigenwertλ−µ.
(c) F¨ur jedesn∈Nistv ein Eigenvektor vonAnzum Eigenwertλn. Haus¨ubung
Aufgabe H1 (5 Punkte)
Berechnen Sie f¨urλ∈Cdie Determinante der(n×n)-Matrix
λ 1 . . . 1 1 λ . .. ... ... . .. . .. 1 1 . . . 1 λ
und entscheiden Sie, f¨ur welcheλ∈Csie invertierbar ist.
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Aufgabe H2 (5 Punkte)
(a) Berechnen Sie die Eigenwerte und zugeh¨origen Eigenr¨aume der Matrix
A=
2 1 −1
0 4 2
0 0 3
.
(b) Finden Sie damit eine invertierbare MatrixS, so dassD:=S−1ASeine Diagonalmatrix ist.
(c) Berechnen SieA13.
Aufgabe H3 (5 Punkte)
SeiV ein Vektorraum undφ:V →V ein Endomorphismus mitφ2=φ. (a) Zeigen Sie, dassφ nur Eigenwerte0und1haben kann.
(b) Wie viele Endomorphismenφ:V →V mitφ2=φgibt es, dienur den Eigenwert0haben?
(c) Wie viele Endomorphismenφ:V →V mitφ2=φgibt es, dienur den Eigenwert1haben?
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