Anhang: Mathematische Grundlagen

Anhang: Mathematische Grundlagen

A.1 Elementare Analysis

FUr die Logarithmen zu verschiedenen Basen gilt:

loga 0:= 10gb 0: = In 0: . 10gba Ina FUr die Differentiation (nach 0:) gilt:

(A.I.l)

(aOt

)'= aOt·lna , (In 0:)'= -¹ ,

0: (loga 0:)' = -luI .

0: a (A.1.2)

Es seien fund 9 stetig differenzierbare Funktionen. Wenn dann die beiden Grenzwerte lim f(o:) und lim g(o:) entweder beide Null oder beide unendlich

a-+Cto 0--+0'0

sind, so gilt die I'Hospital'sche Regel:

lim f(o:)

=

^{lim f(o:).}

Ot-->OtQ g(0:) Ot-->OtQ 9'(0:) (A.1.3)

FUr eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion

f

gilt die Taylor- Entwicklung

n f(r)() f(n+1)() f(0:0 + 0:) = "'"" 0:0 o:r + 0:1 o:n+!

~ r! (n+l)! (A.l.4)

mit 0:1 zwischen 0:0 und 0:. Mitf(r) wird die r-te Ableitung bezeichnet. Fur 0:^-t

o

verschwindet der Restterm, so daB in einer Umgebung von 0:0 die Funktion

f

durch ein Polynom n-ten Grades approximiert wird. Insbesondere gelten folgende Taylor-Approximationen mit Polynomen ersten Grades fur kleines 0::

10g2(1 + 0:) 0:

(A.1.5)

~ ln2 10g2(2 + 0:) 0:

(A.1.6)

~ 1+-- 2ln2

eOt ~ 1+0: (A.1.7)

(1 + o:)a ~ 1 + ao:. (A.1.8)

A.2 Binomialkoeflizienten und Entropiefunktion

Fiir die BinomialkoefJizienten gilt

G) - _r!(n~r)!

^{- (n:r)}

sowie die binomische Forme!

Die binare Entropiefunktion ist definiert als

(A.2.1)

(A.2.2)

H2()..) = -)..log2).. - (1- )")log2(1 -)..)

= -log2()..A(1-)..?-A).

0,5

o

t-O-...,--.,-~-r--..."....=--...,--.,----.--~----+~

0,5

Bild A.I. Biniire Entropiefunktion

(A.2.3)

Eine Darstellung der biniiren Entropiefunktion zeigt Bild A.I. Es gilt die Symmetrie H2(1 - A)

=

H2 ()..) sowie H2(0)

=

H2(1)

=

0 und H2(0,5)

=

I.

Ferner gilt

'( ) . H

2( ) . . ) .

(1)

H 0

=

hm - , -

=

hm n .H2 -

= +00

A~O A n~oo n ^(A.2.4)

sowie die Taylor-Approximation durch ein Polynom zweiten Grades in der Umgebung von 0,5:

(A.2.5)

A.2 Binomialkoeffizienten und Entropiefunktion 433 Satz A.l. Fur0 :S A:S 1/2 gilt fur die Teilsumme der Binomialkoeffizienten folgende Abschiitzung mit der biniiren Entropiefunktion:

(A.2.6) Dabei liiuft die Summe uber aller mit0:S r :S An. Ferner gilt asymptotisch:

lim

~

^log2

t (n) ⁼

^H2(A)

⁼

^lim

~

^{log2 (l,n}

J)'

n-+oon r n-+oon An

r=O

Beweis: Nach der binomischen Forme! gilt:

(A.2.7)

1 =

(A+1-At

⁼

~(~)Ar(l-At-r

> ~ (~)Ar(l- ^At-r

⁼

(1- ^At _{~ (~)} (1 _~ A)'

> (l_A)n~(~)C~A)An

^wei!

1~A:S1

^{und r:Sh}

AAn(1 -

At-An ~ (~)

⁼

^2-

^nH2(A)

~ (~).

Damit ist (A.2.6) nachgewiesen. Zur einfachen Beschreibung asymptotischen Verhaltens wird die GroBeo(f(n)) verwendet (lies: klein 0 von fen)), fur die o(f(n))/ fen) ^--t0bein^{--t 00}vereinbart wird. Insbesondere gilto(n)/n= 0(1).

Wegen log2lAn

J -

log2(An) = log2 ~ ^{--t0bein --t00folgt} log2L>.nJ = log2(h)+0(1).

Nach der Stirling'schen Formel [62] gilt

n!= nn e-nv'27rn exp

(_1

_{12n 360n}

1_

₃

^{+ . 00)}

und somit

Inn!= nlnn - n+o(n).

Nach Definition der Binomialkoeffizienten gilt dann

InG) = [nlnn-n+o(n)] - [rlnr-r+o(r)]

- [(n - r) In(n - r) - (n - r) + o(n - r)]

nlnn - rlnr - (n - r)ln(n - r) + o(n).

(A.2.8)

Dies gilt auch fur Logarithmen zur Basis 2 und somit folgt fur r

=

>.n:

~

log2 (l>.nnJ)

log2n- l>.nJ log2l>.nJ - (1- l>.nJ ) log2(n _ l>.nJ)

+

o(n)

n n n

= log2n- >'log2(>.n) - (1 - >.) log2((1 - >.)n)

+

0(1) ->.log2>' - (1 - >')log2(1 - >.)

+

0(1)

= H2(>.)+0(1).

Damit folgt die rechte Gleichheit in (A.2. 7) und aus (l>':J)

~ t. ^{(~) ~}

^2nH2(A)

folgt auch die linke Gleichheit in (A.2.7). 0

Die Abschatzung aus Satz A.l wird in Abschnitt 2.7 beim Beweis des Kanalcodierungstheorems und der Grenzwert wird in Abschnitt 3.4 bei der Herleitung der asymptotischen Schranken angewendet.

Satz A.l liefert fUr >. = 1/2 (bei geradem n)nur die triviale Abschatzung

C/2)

~ 2n=

L:;=D

(~). Mit der Stirling'schen Approximationn! ~nne-nJ27rn ergibt sich mit elementarer Rechnung die sehr genaue Naherung (als Spezialfall des DeMoivre-Laplace-Theorems [52])

(A.2.9)

A.3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mit P(AIB) = P(AB)/P(B) wird die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereig- nissesAunter dem EreignisB bezeichnet. Zwei EreignisseA,B sind statistisch unabhangig, wenn P(AB)

=

^{P(A)P(B) bzw. P(AIB)}

=

^P(A) gilt. Fur eine vollstandige EreignisdisjunktionAimit AiAj

=

0fUr i =1= j und P(UiA;)

=

1 gilt der Satz von der vollStandigen Wahrscheinlichkeit

P(B)=

L

P(BIA;)P(Ai ) sowie der Satz von Bayes

Fiir beliebige EreignisseA; gilt:

(A.3.1)

(A.3.2)

(A.3.3)

A.3 Wahrscheinlichkeitsrechnung 435 Bei disjunkten bzw. unabhangigen Ereignissen gilt hier sogar Gleichheit, was der Additivitat der Wahrscheinlichkeit entspricht.

Die wertdiskrete ZufallsgroBe x nehme die q Werte~i mit der Wahrschein- lichkeitPi = P(X = ~i) an. Dann ist Jl.= E( x) =

Ei

~iPi der Erwartungswert und (72= D2(x) = L:i(~i ^- Jl.)2pi die Varianz.

Die im folgenden Satz gegebene Abschatzung der linearen Abweichung durch die quadratische Abweichung wird in Abschnitt 2.7 beim Beweis des Kanalcodierungstheorems verwendet:

Satz A.2 (Tschebyscheff'sche Ungleichung). Die ZujallsgrojJe x sei dis- kret oder kontinuierlich mit Erwartungswert Jl. = E( x) und Varianz D²(x).

Dann gilt jur jedes 8>⁰ die Abschiitzung

P(lx- Jl.\

>

8) <

D~~X).

Beweis fur den diskreten Fall:

lei-"I>o

•

> 2:

^{82pi = 82. P(lx- Jl.1}

^>

^8).

(A.3.4)

Der wertkontinuierliche Fall wird entsprechend bewiesen. 0 Die wertdiskrete ZufallsgroBe x besitzt eine Binomialverteilung zum Para- meter E(sei 0 :::; f :::; 1), wenn

P(x=r) =

(~)Er(l-ft-r;

r=O,l, ... ,n (A.3.5) gilt. Dabei istP(x = r) die Wahrscheinlichkeit, daB ein Ereignis mit der Wahr- scheinlichkeitEbeinunabhangigen Realisierungen genaur mal auftritt. Es gilt E(x)

=

^nfundD²⁽x)

=

nE(1-f). Ein Beispiel fur die Binomialverteilung wird durch die Anzahl der Fehler in einem Empfangswort bei Ubertragung uber den BSC gegeben (siehe (1.3.9».

Ais MaB fur den Informationsgehalt einer wertdiskreten ZufallsgroBe mit q moglichen Werten wird die Entropie (Unbestimmtheit)

(A.3.6) mit der Einheit Bit definiert. Dabei wird 0 . log20 = 0 vereinbart, was mit lim,,-->o a log2 a = 0 zusammenpaBt. Da die Entropie nur von den Pi abhangig ist, kann man auch von der Entropie der Verteilung sprechen und dafiir die Notation H(Pb ...,pq) verwenden. Fiir die Entropie gilt allgemein

O:S H(x):Slog2q· Der Minimalwert wird angenommen, wenn ein Wert ~i mit Wahrscheinlichkeit 1 und die anderen q- 1 Werte mit Wahrscheinlichkeit 0 auftreten. Der Maximalwert wird angenommen, wenn alle Werte ~i mit der gleichen Wahrscheinlichkeitl/q auftreten.

Fiir eine biniire ZufallsgroBe x, bei der die zwei Werte mit den Wahr- scheinlichkeiten ,\ und 1 - ,\ auftreten, ergibt sich die Entropie aus der biniiren Entropiefunktion: H(x) = H_2(,\).

Es wird jetzt ein Wort z der Lange k betrachtet, wobei die Komponenten

Xl, ...,Xk weiterhin jeweils q mogliche Werte annehmen konnen. Also kann z maximal qk mogliche Werte annehmen und somit gilt fur die Entropie des Wortes H(z) :S log2(qk) = k·log2q. Wenn die Komponenten statistisch un- abhiingig und identisch verteilt sind, gilt H(z) = k· H(xd.

Die wertkontinuierliche ZufallsgroBe X besitzt eine Normalverteilungoder Gauflverteilungmit dem Erwartungswertp,und der Varianza^{2 ,} wenn die Ver- teilungsdichtefunktion die Form

1 ( (~_p,)2) /(0 = J21ra₂exp - 2a2

hat. Dafur wird auch die Schreibweise^{X rv}N(p" a2 ) verwendet. Es gilt (A.3.7)

J

00

^f(Od~

^{= 1 (A.3.8)} -00

00

E(x)

J U(Od~

^{p, (A.3.9)}

-00 00

E(x2) =

J ^ef(Od~

^{= a2}

⁺

^{p,2. (A.3.10)}

-00

Fiir die Wahrscheinlichkeit, daB X Werte zwischen

6

und

6

annimmt, gilt

( 6 - p,

^{x -}

p, ^{6 -} p,)

P

- - < - - < - -

_{a a a}

Q(6~P,)_Q(6~P,).

^(A.3.11)

Die normierte ZufallsgroBe(x- p,)/a ist ebenfalls normalverteilt mit dem Er- wartungswert 0 und der Varianz 1, d.h. (x - p,)/arv N(O,1), und es gilt

Q(a)

^{= P}

(x:

^{p, >}

a)

⁼

~ J

00

e-

^{712/2dr, =}

~erfc (~).

^(A.3.12)

()

Dabei ist Q(a) die komplementiire Gauflsche Fehlerfunktion, deren Verlauf in Bild A.2 dargestellt ist.

A.3 Wahrscheinlichkeitsrechnung 437

0(0)

3

o 2

~~---~-~--4----~-~-";:::::=--""-a-1

-3 -2

Bild A.2. Komplementare Gaufische FehlerfunktionQ(a)

3 4 2

\ e--a2/2

\~al2i

.-

^...\

.,

\"-.

,

_\,

"

" .

O(a) \\_\'.

,

_{\. e--a}2/2

, . -2-

,-... ', ~ 1'''\ \ f '\'\ "

I '\\ \

:

^\\

\

I ~\ .

1 \ \

I \ .

(1-

-.1..)'

e--a²/2 \ \.

a² af2Jt " \.

" ,

^\

\

\

\

\ \

\ \

\

\ 10--3

10-"+-~~~~~~~~~~ ....l,-~_a

o

10-¹

Bild A.3. Schranken fiirQ(a)

Fiir die komplementiire GauBsche Fehlerfunktion werden einige wichtige Eigenschaften notiert:

Q(-oo) = 1, _Q(O)=~, Q(+oo)=O, Q(o:)

+

Q(-o:) = 1,

e-a2 / 2

Q(o:) ~ -2- fUr ^0:2:0,

Q(

J

^0:

⁺

⁽³⁾ ~ Q(

va) .

^{e-{3/2 fur 0:,(3 2:O.}

Fiir groBe Werte0:existiert eine extrem genaue Naherung [73, 79]:

(A.3.13) (A.3.14) (A.3.15) (A.3.16)

(A.3.17)

(A.3.18) ( 1 ) e-^a2/ 2 e-^a2/ 2

1- - - -

<

Q(o:)

< - -

fUr 0:

>

O.

0:2 0:V2IT 0:V2IT

Die Schranken aus (A.3.15) und (A.3.17) werden in Bild A.3 veranschaulicht.

Mit ^0:

=

J2Ec

i

No -+ 00ergibt sich das Resultat Q(

J2~c)

^{= e-Ec/}No(1+o(l)),

das die Grundlage fur die Herleitung des asymptotischen Codierungsge- winns in Abschnitt 1.7 bildet. In der Umgebung von 0 gilt folgende Taylor- Approximation mit einem Polynom ersten Grades:

1 0:

Q(o:) ~ - - - . 2 ^V2IT

A.4 Algebra (Gruppen, Ringe, Korper)

(A.3.19)

In diesem Abschnitt werden die allgemeinen Strukturen Aquivalenzklasse, Restklasse, Gruppe, Nebenklasse, Ring, Ideal und Korper eingefUhrt. Die fur die Codierungstheorie erforderliche Spezialisierung auf endliche Korper erfolgt in Abschnitt A.8 sowie in Kapitel 6. Eine einfache und zugleich umfassen- dere Darstellung der algebraischen Grundbegriffe findet sich beispielsweise in [7,11,35,81]. AusfUhrliche Einfuhrungen in die Theorie der Galoisfelder bieten [42,48].

Definition A.I (Aquivalenzrelation). Eine auf einer Menge M definierte Relation"" heiflt Aquivalenzrelation, wenn gilt:

(1) Fur aUe aEM gilt:a "" a (Refiexiv).

(2) Fur aUe a,bEM gilt: a ""b

=>

b""a (Symmetrisch).

(3) Fur aUe a,b,cEM gilt: a "" b1\ br-.JC

=>

a "" c (Transitiv).

Als Aquivalenzklasse [a] = {b E M

Ib ""

a} wird die Menge aZZer zu a aqui- valenien Elemenie bezeichnei. Jedes Elemeni aus [a] kann als Repriisentant dienen, d.h. fur bE[a] gilt [b]

=

^{[a]. Fur b}

f/.

[a] gilt [b]n[a]

= ^0.

Somii hilden die verschiedenen Aquivalenzklassen eine Partition (Zerlegung) von M.

A.4 Algebm (Gruppen, Ringe, Korper)

Beispiel A.l. Fiir M = 71. wird bei festem pE71. durch a '" b {:=::} a - bist durchpteilbar

439

(A.4.1) eine Aquivalenzrelation definiert mit [a] = {a

+

rplr E71.} sowie der Partition M = [0] U[1]U ... U[p -1]. In diesem Fall werden die Aquivalenzklassen auch

als Restklassen bezeichnet. 0

Definition A.2 (Gruppe). Eine Gruppe(9,*)ist eine Menge Qzusammen mit einer zwischen den Elementen von Q erkliirten Operation *, so daft die nachfolgend aufgefuhrten Eigenschaften (1-4) erfullt sind. Die Gruppe heiftt kommutativoder abe1sch, falls zusiitzlich (5) erfullt ist:

(1) Fur alle a,bEg gilt a

*

^bEg (Abgeschlossen).

(2) Fur alle a,b,cE9 gilt (a

*

^b)

*

^{c= a}

*

^(b*c) (Assoziativgesetz).

([/) Es existiert ein eEQ, so daft fur alle a EQgilt: a*f

=

e

*

a

=

a (Existenz des neutralen Elementes).

(4) Fur alle a E Q existiert ein

a

E 9 mit a

* a = a *

^a

=

e (Existenz der inversen Elemente).

(5) Fur alle a,bEg gilt a

*

^{b= b}

*

^a (Kommutativgesetz).

Die Anzahl der Elemente von Qwird als Ordnung bezeichnet. Falls die Ope- ration

*

der Addition entspricht, so wird das neutrale Element als 0 (Nulle1e- ment) und das inverse Element zu a als -a geschrieben mit der Vereinbarung a+(-b)=a-b.

Falls die Operation

*

dagegen der Multiplikation entspricht, so wird das neutrale Element als 1 (Einselement) und das inverse Element zu a als a-I geschrieben mit den Vereinbarungen a·b= ab unda·b-^I = _~.

Generell ist das neutrale Element eindeutig bestimmt, denn wenneunde' jeweils neutrale Elemente waren, so folgt aus e = e

*

^e' = e' ihre Gleichheit.

Auch das inverse Element ist stets eindeutig bestimmt, denn wenn

a

und

a

jeweils inverse Elemente zu a waren, so folgt aus a= 0.*e = a

*

(a

*

^a)

(a *

a)

* a

⁼ e

* a

⁼

a

ihre Gleichheit.

Beispiel A.2. (1) Durch (71.,+) und (<Q,+) sowie (<Q\{O},·) werden kom- mutative Gruppen erklart. Dagegen existieren in (IN, +) und (71. \ {O}, .) die inversen Elemente nicht.

(2) Die Menge aller(k,n )-dim. Matrizen mit Koeffizienten aus <Qoder1R.

bildet eine additive kommutative Gruppe.

In der Menge aller quadratischen Matrizen existieren keine multiplikativen Inversen. Bei Beschriinkung auf nicht-singuliire Matrizen ergibt sich jedoch eine nicht-kommutative multiplikative Gruppe init der Einheitsmatrix als Einsele- ment.

(3) Die Menge71.p= {O,1,2, ...,p - I} ist beziiglich der Addition modulo peine Gruppe.

Die Menge

g

⁼ {I, 2, ...,p - I} ist bezuglich der Multiplikation modulop 'genau dann eine Gruppe, wenn peine Prirnzahl ist. Denn wenn p = sr keine Primzahl ist, so wurde aus der Existenz von r-^I wegen s= s· I = s. rr-^I = pr-^I = Or-^I = 0 ein Widerspruch folgen. Wennpdagegen eine Primzahl ist, so existieren fur aEgnach dem Euklidischen Algorithmus (siehe (A.7.4)) Zahlen s und t mit GGT(a,p) = I = sa

+

tp und somit existiert a-I = sE g. 0

Wenn U und g jeweils Gruppen sind mit U ~ g, so heifit U Untergruppe von g. Sei nun g eine additive Gruppe. Fur a, bEg wird durch

a,..."b ¢=:> a-bEU (A.4.2) eine Aquivalenzrelation erklart und die Aquivalenzklassen sind von der Form

[a]

=

a+U

=

{a+uluEU}. (A.4.3)

In diesem Fall werden die Aquivalenzklassen als Nebenklassen (cosets), die Partition als Nebenklassen-Zerlegung (standard array) und die Reprasentanten als Anfuhrer bezeichnet.

Fiir a EU gilt [a] = U und fur alle a Eggilt

l[a]1

=

lUI.

Somit bilden die verschiedenen Aquivalenzklassen eine Partition vongmit der Eigenschaft

(Anzahl der Aquivalenzklassen).

lUI

=

Igl·

(A.4.4) Falls die Ordnung von

g

endlich ist, mufi

lUI

ein Teiler von

Igi

sein - dies gilt sogar fUr jede beliebige Verknupfungsoperation *.

Ein Beispiel zur Nebenklassen-Zerlegung wird in Abschnitt 4.6 fiir lineare Codes gegeben. Der folgende Satz ist fUr Kapitel 6 wichtig:

Satz A.3. Es sei g eine endliche multiplikative Gruppe der Ordnung n. Fur aEgist

(a) = {ailiEZl} = {a\a²,a^{3, .•.},aT} (A.4.5) eine Untergruppe von g und

r

⁼

l(a}1

teiltn. Fur jedes

a

Eg gilt an = 1.

Falls ein Element aEg mit (a) = g existiert, so heiflt g zyklische Gruppe und a erzeugt g. In diesem Fall gilt

(a^k) =

g

^¢=:> GGT(k,n)= 1. (A.4.6)

Beweis: Offensichtlich ist {aⁱ

Ii

EZl} eine multiplikative Gruppe mitaD= I als Einselement unda-ⁱ ist invers zuai .Da

g

endlich ist, gibt es in der Aufziihlung aI, a^2,a^{3, •••} nur endlich viele verschiedene Elemente. Somit existiert ein mi- nimales r

>

0 mit aT = I (denn wenn aT = a' mit 1< r ware, so wurde ein r'

=

r - 1mit aT'

=

I existieren, was einen Widerspruch zur Minimalitiit von r bedeuten wiirde).

Die Ordnungr von (a) ist ein Teiler vonnnach (A.4.4). Also existiert ein sEZl mit rs = n und somit gilt an = (aT)' = 1"= 1.

A.4 Algebra (Gruppen, Ringe, Korper) 441 ,,(A.4.6):::}": Sei (ak)

=

g. Aus der Annahme GGT(k,n)

=

s

>

1 folgt (ak)n/s = (an )k/s = 1k/s = 1. Wegen n/s

<

n kann ak also nicht

g

erzeugen, was der Voraussetzung widerspricht. Somit folgt s= 1.

,,(A.4.6){:::": Sei GGT(k,n)= 1. Aus der Annahme (ak)C

g

folgt die Exi- stenz vons mit s <n und (ak)S = 1.Wegen(a) = gist ks <n ausgeschlossen bzw.n muBsogar ein Teiler vonkssein. Danundk nach Voraussetzung teiler- fremd sind,muB n ein Teiler vonssein und damit ergibt sich ein Widerspruch.

Also folgt (a^k) = g. 0

Beispiel A.3. Es wird eine Gruppe betrachtet, die aus den komplexen n-ten Einheitswurzelnbesteht, d.h. aus n komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis:

g

⁼ {eⁱ²"r/nl r =O,1, ... ,n-1} C <C.

FUrn = 3 ergibt sich

g

= {I,ei2lr/3, ei2"2/3} mit:

FUrn= 6 ergibt sich

g

⁼ {I,ei2,,/6, ei2lr2/6, ... , ei2"s/6} mit:

(A.4.7)

(1)

(ei2,,/6)

=

^{(ei2lrS/ 6)}

(ei2lr2/6) = (ei2"4/6)

(e

i2"3/6)

{I}

g

= {I,ei2,,2/6, ei2"4/6}

{I,ei2"3/6}.

Natiirlich kann eine Gruppe der Ordnung 6 nur Untergruppen der Ordnungen

1,2,3,6 haben. 0

Definition A.3 (Ring). Ein Ring (mit Einselement) ist eine Menge R zu- sammen mit den Operationen

+

^und " so daft folgende Eigenschaften erfullt sind:

(1) (R,+) ist eine kommutative Gruppe.

(2) (R \{O}, .) ist abgeschlossen, erfullt das Assoziativgesetz (und besitzt ein Einselement).

(3) Fur alle a, b,cER gilt a( b

+

^{c) =} ab

+

ac (Distributivgesetz).

Der Ring ist kommutativ, wenn die Multiplikation das Kommutativgesetz erfUllt. Wenn aus ab= 0 stets a = 0 oder b= 0 folgt, so heiftt der Ring null- teilerfrei. Ein kommutativer nullteilerfreier Ring wird als Integritatsbereich (integer domain) bezeichnet.

In einem Integritatsbereich darf gekiirzt werden, d.h.

au

=

bu, u

# °

^{=:::} a}

⁼

^{b. (A.4.8)}

( 1 -1).(11)=(0 0)1-1 11 00

Beispiel A.4. (1) 71.. bildet einen Integritiitsbereich mit Einselement.

(2) Die Menge der quadratischen Matrizen mit Koeffizienten aus <Q oder lR bildet wegen

einen nicht-kommutativen Ring mit Nullteilern und Einselement(= Einheits- matrix).

(3) Die Mengetlp = {O,1,2, ... ,p-l}mit Rechnul.lgmodulop bildet einen kommutativen Ring mit Einselement, aber nur dann einen Integritiitsbereich, wenn peine Primzahl ist, denn fur p = sr =

°

^{modulop sind l' und sjeweils}

Nullteiler. 0

Definition A.4 (Isomorphie). Zwei Ringe R und R' werden als isomorph oderstrukturgleich bezeichnet, wenn eine bijektive Abbildung <.p : R ---+R' mit

<.p(a

+

b) = ip(a)

+

ip(b) <.p(a. b) = ip(a). <.p(b)

existiert, d.h. die Elemente von R' ergeben sich durch Umbenennung der Ele- mente von R. Formal wird dafur R ~R' geschrieben.

Definition A.5 (Ideal). EinIdealI in einem kommutativen Ring R ist eine Teilmenge von R mit folgenden Eigenschaften:

(1)(I,+) ist eine Untergruppe von R.

(2) Fur alle aEI und alle bE R gilt ab EI.

Das IdealI heifitHauptideal, wenn es von einem Element erzeugt wird, d.h.:

I = (a) = {ablb E R}. Der Ring wird Hauptidealring genannt, wenn jedes Ideal ein Hauptideal ist. Die Aquivalenzklassen [1']= r

+

I = {r

+

ala EI} fur

l' E R werden als Restklassen bezeichnet. Zwischen den Restklassen werden die (wohldejinierten bzw. reprasentantenunabhangigen) Operationen

[1']

+

[s] = [1'

+

s] [1']' [s] = [1' .s] (A.4.9) erklart. Die Menge der Restklassen bildet den sogenannten Restklassenring oder Quotientenring oderFaktorring von R nachI:

R/I ⁼ {[r]

I

^l'ER}.

Falls ein IdealI das Einselement enthiilt, gilt natiirlich I = R.

(A.4.10)

Beispiel A.5. 1m Integritiitsbereich R = 71.. mit Einselement erzeugt eine beliebige Zahl pERmit p2 1 das Hauptideal

I = (p) = {oo.,-2p,-p,0,+p,+2p,oo.}. (A.4.11) Die Aquivalenzklassen bzw. Nebenklassen bzw. Restklassen sind wie bei Bei- spielA.l von der Form

[1'] = r+{p) = {oo.,r-2p,r-p,r,r+p,r+2p,.oo}. (A.4.12)

A.4 Algebra (Gruppen, Ringe, Korper) 443 Foiglich besteht [r] aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durchp den Rest r haben. Also gilt a E [r], wenn r - a ein Vielfaches von p ist bzw. wenn a modulopgleich r ist. Weiter gilt [r

+

p]

=

[r]. Der Faktorring von 71.nach (p) besteht aus den Restklassen

71./(p) = {[r]1 rE 71.} = {[OJ, [1], ... ,[p - II}

und die Restklassen-Zerlegung von71. lautet wie bei Beispiel A.l:

71. = [O]U[I]U ... U[p-l].

(A.4.13)

(A.4.14) Das Rechnen modulo p entspricht also dem Rechnen im Restklassenring, d.h.

formal sind der Ring71.p

=

{O, 1, ...,p- I} mit Rechnung modulopund der Faktorring von71. nach(p) isomorph zueinander:

(A.4.15) GemaB Definition A.4 wird dabei 'fi : 71.p -+ 71./(p) mit 'fi(r) = [r] gesetzt.

Speziell fUr p

=

0 gilt (0)

=

{O} sowie [r]

=

{r} und fiir p

=

1 gilt (1)

=

7l.

sowie [r] = [0] = 71., d.h.:

(A.4.16) FUrp= 1 besteht der Restklassenring nur aus einem Element, d.h. Nullelement

und Einselement sind identisch. 0

Definition A.6 (Korper). AlsKorper (field) IK wird ein Integritiitsbereich bezeichnet, in dem die multiplikativen Inversen existieren, d.h. es gilt:

(1) (IK,+) ist eine kommutative Gruppe.

(2) (IK\{O} , .)ist eine kommutative Gruppe, die auch alsmultiplikative Gruppe des Korpers bezeichnet wird.

(3) Fur aIle a, b,cEIK gilt a( b

+

^c)

=

ab

+

ac (Distributivgesetz).

Ein endlicher K orper mit q Elementen wird als Galoisfeld IF_q bezeichnet.

Beispiel A.6. (1) Sowohl die rationalen Zahlen <Q wie die reellen Zahlen IR wie auch die komplexen Zahlen lC bilden jeweils einen Korper.

(2) Die Menge aller quadratischen (n,n)-dim. nicht-singuliiren Matrizen mit Koeffizienten aus einem Korper bildet keinen Korper, da sie additiv nicht abgeschlossen ist bzw. das Nullelement nicht enthi:ilt.

(3) 7l.p ist genau dann ein Korper, wenn peine Primzahl ist (das wurde

schon in Beispiel A.2(3) gezeigt). 0

(A.5.1) Alle endlichen Karper gleicher Machtigkeit sind isomorph zueinander, d.h.

man kann von dem endlichen Karper der Miichtigkeit q bzw. von dem Galoisfeld IFqsprechen. Wenn q= peine Primzahl ist, so folgt also

IFp= 7l.p • (A.4.17)

Insbesondere gilt also 1

+

1

+... +

1= 0fur die p-fache Addition in IF_p bzw.

1

+

1

=

0und -1

=

1 in IF2 •

Nicht bewiesen wird hier, daB Galoisfelder nur fUr q= pm existieren, wo- bei peine Primzahl und m eine naturliche Zahl ist. Urn so wichtiger fur die Codierungstheorie ist aber die Konstruktion vonIFpm ausIFp,die in Abschnitt A.8 und detailliert in Kapitel 6 erfolgt.

In einem endlichen oder unendlichen KorperIKsind{O}undIKdie einzigen Ideale. Denn wenn I ein Ideal mit 0

#

a EI ist, so gilt mit r = a-I E IK natiirlich 1 = ar EI und somit r = 1 . rEI fUr alle r E IK. Diese beiden Ideale sind wegen {O} = {O} und IK = {1} zugleich Hauptideale. Ein Karper ist also ein Hauptidealring.

A.5 Lineare Algebra und Vektorraume

DefinitionA.7 (Vektorraum). Ein Vektorraum oder linearer Raum V uber einem KorperIK ist eine Menge von Vektoren, fur die eine Addition und eine Skalarmultiplikation erkliirt sind. Fur a,b,c E V und a EIKsollen a

+

bE V und a .a E V erfullt sein sowie folgende Gesetze gelten:

(1) a+b=b+a

(2) (a+b)+c=a+(b+c)

(3) a

+

0 = a mit 0 = (0, ... ,0)

(4) a+(-a)=O mit -(ao, ... ,an-l)=(-ao, ... ,-an

-d

(5) a(a+b)=aa+ab

(6) (a

+

,B)a

=

aa +,Ba (7) (a,B)a = a(,Ba) (8) 1a = a .

Insbesondere ist V bezuglich der Vektoraddition eine kommutative Gruppe. Das Zeichen

+

steht sowohl fur die Addition von Skalaren inIK wie fur die Addi- tion von Vektoren in V. Entsprechend steht. sowohl fur die Multiplikation von Skalaren wie fur die Multiplikation von Skalaren mit Vektoren. Eine Multipli- kation von Vektoren wird nicht erkliirt.

Es seienaI, ... , a/beliebige Vektoren mit Koeffizienten ausIK.Der hiervon erzeugteoder aufgespannte Vektorraum V ist als der kleinste Vektorraum uber IK definiert, der diese I Vektoren enthiilt. Er besteht offensichtlich genau aus den Linearkombinationen der erzeugenden Vektoren:

V = {tail£; al,··.,a/ EIK}.

,=1

A.5 Lineare Algebra und Vektorraume 445 Die Vektoren al,"" a/ aus einem beliebigen Vektorraum heiBen linear un- abhiingig, wenn gilt:

/

Laia;=O ===} al=···=a/=O.

i=l

(A.5.2) Wenn es umgekehrt eine Kombination von Skalaren gibt, die nicht alle Null sind, so daB die Linearkombination den Nullvektor ergibt, dann sind die aI, ... ,a/ linear abhiingig. Wenn speziell beine Linearkombination der a; ist, dann ist bvon den a; linear abhangig bzw. b und die a; sind zusammen linear abhangig.

Die maximale Anzahl der linear unabhangigen Vektoren heiBt Dimen- sion des Vektorraums und wird als Dim(V) geschrieben. Jede Auswahl von Dim(V) linear unabhangigen Vektoren bildet eine Basisftir den Vektorraum.

Die Machtigkeit jeder Basis betragt alsoDim(V).

Eine iiquivalente Kennzeichnung einer Basis ist, daB sie aus linear unab- hangigen Vektoren besteht, die den gesamten Vektorraum aufspannen. Eine weitere aquivalente Kennzeichnung ist, daB jeder Vektor aus dem Vektorraum auf genau eine Weise als Linearkombination der Vektoren aus der Basis dar- gestellt werden kann.

Beispiel A.7. (1) Zu jedem Karper IK und jeder nattirlichen Zahl n gehart ein Vektorraum IK^n, der aus allen Vektoren der Langen mit Koeffizienten aus IK besteht. Dabei werden die Verkntipfungen komponentenweise erkliirt:

a

+

^{b =} (ao, ... ,an-d

+

(bo, ... ,bn-d ⁼ (ao

+

bo, ...^,an-l

+

bn- l ) a·a a·(ao, ... ,an-l) = (aao, ... ,aan_J)'

Klar ist Dim(IKⁿ) = n und die kanonische Basis ftir IKⁿ wird von den n Einheitsvektoren

(1,0,0, ... ,0), (0,1,0, ... ,0), ...

,

(0,0,0, ... ,1) (A.5.3) gebildet. Durch(I,O,O, ...,0), (1,1,0, ... ,0), ... , (1,1,1, ... ,1) wirdein Beispiel einer weiteren Basis gegeben.

(2) JRn ist ein Vektorraum tiberJR,aber nicht tiber ICj ICnist Vektorraum sowohl tiberJR wie tiber 18.

(3) Die Menge aller (k,n )-dim. Matrizen mit Koeffizienten aus IK ist ein Vektorraum tiber IK, wobei die Matrixmultiplikation allerdings tiberhaupt

nicht eingeht. 0

Es sei Vein Vektorraum tiber IK und U ~ V. Dann ist U ebenfalls ein Vektorraum tiber IK genau dann, wenn ftir alle a,b E U und a E IK stets

a

+

^bEU undaa EU gilt.

Beweis:Uist nach diesen Forderungen abgeschlossen und alle inVgtiltigen Regeln sind erst recht in der Teilmenge U giiltig. Fiir a E U folgt - a =

(-1) .a EUund somit 0 = a

+(-

^a) EU. Also existieren in Udie inversen

Elemente und das neutrale Element. 0

In Abschnitt 3.1 wird ein (n,k)q-Blockcode

r c

_IFqⁿ als linear dadurch definiert, daB rein Untervektorraum von IFqⁿ (mit der Dimensionk) ist. Eine Basis wird durch die Zeilen der Generatormatrix gegeben.

A.6 Polynome

Die Menge aller Polynome beliebigen Grades in der Unbestimmten x mit Ko- effizienten aus einem Ringn wird mitn[x] bezeichnet und bildet einen Ring mit der iiblichen Addition und Multiplikation von Polynomen.

Entsprechend wird die Menge aller Polynome beliebigen Grades mit Koef- fizienten aus einem Karper IK bzw. einem Galoisfeld IFq mit IK[x] bzw. IFq[x]

bezeichnet. Die Polynome bilden einen Integritatsbereich, aber keinen Karper, da multiplikative inverse Elemente zu Polynomen als Polynome natiirlich nicht existieren (siehe jedoch Satz A.9).

IK[x]ist ein Vektorraum iiberIKmit unendlicher Dimension. Es seiIK[X]n-l die Menge aller Polynome vom Grad::;n- 1. Dann ist IK[X]n-l ein Untervek- torraum von IK[x] mit der Dimensionn und der Basis 1,x, x², ••• ,x^{n -}l .Bei einem linearen (n,k)q-Blockcode kann

r

als Untervektorraum von IK[X]n-l aufgefaBt werden, indem die Vektoren der Lange n mit einem Polynom vom Grad ::; n - 1 identifiziert werden.

Ein Polynom, bei dem der hachste Koeffizient ungleich Null den Wert 1 hat, wird als normiertes Polynombezeichnet. Allgemein gilt die Gradformel:

Grad(a(x)b(x)) = Grad a(x)

+

^Gradb(x). (A.6.1) Dabei wird festgelegt: Skalare ungleich Null haben den Grad 0 und die Null hat den Grad -00.

Ein Polynom ausIK[x] wird als irreduzibel(unzerlegbar) bezeichnet, wenn es nicht als Produkt von zwei Polynomen aus IK[x] darstellbar ist, die jeweils mindestens vom Grad 1 sind. Jedes Polynom vom Grad 1 ist also irreduzi- bel. Wichtig: Der Begriff irreduzibel bezieht sich immer auf einen bestimmten Karper.

Beispiel A.8. Das Polynom x2 - 2 ist irreduzibel iiber ~, aber wegen der Darstellungx^2- 2= (x - V2)(x

+

V2) reduzibel iiberJR.

Das Polynomx²+1ist irreduzibel iiberJR,aber wegenx²+1= (x- j)(x+j) reduzibel iiber <C und wegen x²

+

¹

=

x²

+

2x

+

1

=

(x

+

1)2 auch reduzibel

iiber dem Galoisfeld IF_{2 .} 0

Jedes beliebige Polynom f(x) EIK[x] kann in ein Produkt

f(x) = fl(X)'" fI(x) (A.6.2)

A.6Polynome 447 von irreduziblen Polynomen f;(x) EIK[x] zerlegt werden. Bis auf skalare Fak- toren und die Reihenfolge ist diese Zerlegung eindeutig.

Zu einem Polynom g(x) = go

+

glX

+ ... +

gm_Ixm-1

+

gmxm wird das reziproke Polynom als

(A.6.3) definiert. Mit g(x) ist auch g(x) irreduzibel. Mit g(a) = 0 bei a

f:.

0 gilt auch g(a-^{l )} = O.

Satz A.4 (Divisionstheorem). Zu zwei vorgegebenen Polynomen b(x) und g(x)

f:.

0 aus IK[x] existieren eindeutig bestimmte Polynome o(x) und r(x) aus IK[x] mit

b(x)= o(x)g(x)

+

r(x) mit Grad r(x)

<

Grad g(x) (A.6.4) Dividend

=

Quotient· Divisor

+

Rest.

Fur den Rest 1'(x) bei Division von b( x) durch g( x) wird folgende Schreibweise verwendet (Restklassenbildung):

r(x) = b(x) modulo g(x) , r(x) = Rg(x)[b(x)]. (A.6.5) Dabei ist Grad Rg(x) [b( x)] < Grad g( x). Rechnen modulo g( x) bedeutet, daft g( x) durch Null ersetzt werden kann. Das Polynomo(x) ist normalerweise von untergeordneter Bedeutung. (Die eckigen Klammern sind nicht zu verwechseln mit der Bildung der Aquivalenzklassen.)

Beweis: Durch das am nachfolgenden Beispiel demonstrierte Divisionsverfahren ist die Existenz von o(x) und 1'(x) klar. Zum Nachweis der Eindeutigkeit sei

b(x)

=

01(X)g(X)

+

rl(x)

=

02(X)g(X)

+

r2(x).

Zunachst folgt r2( x) - 1'1 (x) = (01(x) - 02(x ))g(x). Da jedoch der Grad von r2(x) - rl(x) kleiner als der Grad von g(x) ist, folgen 01(X) = 02(X) sowie

rl(x)

=

r2(x). 0

Beispiel A.9. Divisionsverfahren in IF₂[x] mit b(x)= x⁷, g(x) = x³+x

+

1:

x⁷ (x³

+

X

+

1) x⁷

+

^x5

+

^x4

x⁵

+

^x4

x⁵

+

^x3

+

^x2

x⁴

+

^x3

x⁴

+

^x2

x³ x³

+

^x

+

x

+

1

1 = r(x).

Also giltx7= a(x)(x³+x+1)+1 bzw.x7+1 = a(x)g(x) sowieRx3+x+dx7]= 1.

Rechnen modulo x³

+

x

+

1 bedeutet, daf3 x³

+

x

+

1= 0 bzw. x³ = X

+

1 gesetzt werden kann:

x7 = X³X³X = (x

+

l)(x

+

l)x = (x²

+

2x

+

l)x

= x³+x = (x+1)+x = 1 modulog(x).

Damit ergibt sich r(x) schneller als beim Divisionsverfahren - allerdings ohne

das Polynoma(x). 0

Satz A.5 (Restklassen-Arithmetik). Fur die Restklassen-Arithmetik gel- ten folgende Regeln in IK[x]:

Rg(x)[a(x)

+

b(x)] = Rg(x)[a(x)]

+

Rg(x)[b(x)]

Rg(x)[a(x). b(x)] = Rg(x) [Rg(x)[a(x)] . Rg(x)[b(x)]]

Rg(x)[a(x)g(x)] = 0

Rg(x)[a(x)] = Rg(x) [R9(X)h(X)[a(x)]]

Grad a(x)

<

Grad g(x) ~ Rg(x)[a(x)] = a(x) R_xn-l[x m] - Xm_- ^{modulo n _}_{- .}XRn[m]

(A.6.6) (A.6.7) (A.6.8) (A.6.9) (A.6.10) (A.6.11)

o

Beim Rechnen modulo (xⁿ-1)wird xⁿ durch1ersetzt bzw. die Potenzm durch m modulo n. Die Potenzrechnung erfolgt dabei in 7l. unabhangig vonIK.

Beweis von (A.6.9): Seisex) = Rg(x)h(x)[a(x)], d.h. mit einem passendena(x) gilt sex) = a(x) - a(x)g(x)h(x). Dann folgt:

Rg(x) [s(x)] Rg(x)[a(x) - a(x)g(x)h(x)]

= Rg(x)[a(x)] - Rg(x)[g(x) . a(x)h(x)]

=

Rg(x)[a(x)].

ABe anderen Regeln sind offensichtlich.

Beispiel A.I0. Zur Anwendung von Satz A.5 in IFHx] mitg(x) = x³+x

+

^I:

Nach Beispiel A.9 ist g( x) ein Teiler von x⁷

+

1, d.h. es existiert ein h(x) mit g(x)h(x) = x7

+

1. Gesucht ist Rg(x)[X^25]. Direkt ware das eine langere Rechnung, die jedoch mit

Rg(x)^[X25] Rg(x)[Rg(x),,(x)[x^25]]

Rg(x) [Rx^7-1[X^25]]

Rg(x)[x^Rr[251]

Rg(x)[x^4]

= Rg(x)[x· Rg(x)[x^3]]

= Rg(x)[x(x

+

1)]

= x²+x

erheblich vereinfacht wird. 0

A.7 Euklidischer Algorithmus 449 Satz A.6. Fur Polynome aus IK[x] gelten folgende Eigenschaften:

(1) Ein Polynom vom Grad m hat hOchstensm Nullstellen.

(2) Wenn ein Polynom f(x) eine Nullstellea hat, so ist x- a ein Teiler von f(x), d.h. der Linearfaktor x - a wird abgespalten:

f(x) = (x - a)· fl(X) mit passendem fl(X). (A.6.12) 1m Fall f(x) = (x- ayfl(X) mit!I(a) '" 0 ista eine l-fache Nullstelle, die auch l-fach geziihlt wird.

(9) Wenn ein normiertes Polynom f(x) vom Gradm die maximalm Nullstel- len aI,... ,am hat, so zerfiillt f( x) vollstiindig in Linearfaktoren:

m

f(x) = II(x - a;).

;=1

(A.6.13)

Beweis: Zu zeigen ist nur (2), da (1) und (3) daraus unmittelbar folgen. Nach dem Divisionstheorem existieren zu f( x) und x - a Polynome fl (x) und r( x) mit

f(x) = h(x)(x- a)

+

r(x) mit Grad r(x)

<

Grad (x - a) = 1.

Somit muB r(x)

=

ro konstant sein. Fiir x

=

a folgt 0

=

f(a)

=

r(a)

=

roo 0

Beispiel A.H. Sei IK= IF'2:

(1) Ein Linearfaktorx

+

1 wird genau dann abgespalten, wenn 1 eine Null- stelle des Polynoms ist bzw. wenn die Anzahl der Koeffizienten des Polynoms eine gerade Zahl ist.

(2) Das einzige irreduzible Polynom yom Grad 2 ist 1

+

^x

+

^x2•

(3) Die einzigen irreduziblen Polynome yom Grad 3 sind 1

+

^x

+

^{x3 und}

das reziproke Polynom 1

+

^x2

+

^{x3 .}

(4) Ein Polynom yom Grad 4 oder 5 ist irreduzibel, wenn 1 keine Nullstelle ist und wenn 1

+

^x

+

^x2 kein Teiler ist, denn als reduzibles Polynom miillte es einen Linearfaktor abspalten oder einen (irreduziblen!) Teiler yom Grad 2

besitzen. 0

A.7 Euklidischer Algorithmus

Der Euklidische Algorithmus (EA) bildet die Grundlage vieler Eigenschaften von Galoisfeldern sowie verschiedener Decodierverfahren. Der EA gilt zwar allgemein fur Ringe wie beispielsweise 71., aber er wird hier vorrangig fUr Po- lynome benotigt und zudem lassen sich einige Eigenschaften des EA nur mit Polynomen formulieren.

Der grofite gemeinsame Teiler (GGT) von zwei Polynomen ist mit der Festlegung als normiertes Polynom eindeutig bestimmt. Zur Vorbereitung des EA wird folgender Satz notiert:

Satz A.7. Fur beliebige Polynome a(x), b(x) und vex) aus IK[x] gilt fur den groftten gemeinsamen Teiler:

GGT(a(x), b(x)) GGT(a(x) , b(x) -v(x)a(x)) GGT(a(x) , Ra(x)[b(x)]).

Beweis: Zu zeigen ist nur die erste Aussage. Wenn d(x) ein Teiler von a(x) undb( x) ist, dann istd(x) auch ein Teiler vona(x) und b(x) - v(x )a(x). Wenn umgekehrtd( x) ein Teiler vona( x) und b(x) - v( x )a(x) ist, dann ist d( x) auch ein Teiler vona(x) und v(x )a(x)

+

(b( x)- v(x )a(x)) = b(x). Insgesamt ist also die Menge der gemeinsamen Teiler von a(x) und b(x) gleich der Menge der gemeinsamen Teiler von a(x) und b( x) - v(x )a(x). Foiglich ist auch der groBte

gemeinsame Teiler gleich. 0

Satz A.8 (Euklidischer Algorithmus EA). Es seien a(x) und b(x) zwei Polynome mit Koeffizienten aus einem beliebigen Korper IK mit der Eigen- schaft Grad a(x) 2Gradb(x). Setze

r_2(x) = a(x) r_l(x) = b(x)

S-2(X) = 1 S-l(X) = 0

L2(x) = 0

L 1(x) = 1. (A.7.1) Fur i = 0,1, ... ,1

+

1 existieren nach dem Divisionstheorem aus Satz A.4 jeweils Polynome Cti(X) und ri(x) aus IK[x] mit

ri-2(x) = Cti(x)r;_l(x)

+

ri(x) mit Grad r;(x)

<

Gradri-l(x), (A.7.2) d.h. r;(x)

=

Rr;_dx)[ri-2(x)]

=

r;_2(x) modulo r;_l(x).

Wegen der abnehmenden Grade existiert ein 1 mit rl(x) =1= 0 und rl+l (x) = O.

Insgesamt ergibt sich folgendes Rekursionsschema:

r-2(x)

r-1(x) ro(x)

rl_2(x) = TI_l(X)

Cto(x)r-leX)

+

ro(x) Ctl(x)rO(x)

+

rl(x) Ct2(x)rl(x)

+

r2(x)

Ctl(x)r/_l(x)

+

r/(x) Ctl+l(x)r/(x).

Ferner werden begleitende Rekursionen fur i = 0,1, ...,1

+

1betrachtet:

Si(X)= Si-2(X)- Ct;(X)S;_l(X)

t;(x) = t;_2(X)- Ct;(X)t;_l(X). (A.7.3) Diese insgesamt :1 Rekursionen weisen eine Vielzahl von Eigenschaften auf.

Zuniichst ergibt sich eine (allerdings nicht eindeutige) Lineardarstellung des groftten gemeinsamen Teilers:

GGT(a(x), b(x)) = T/(X) = sl(x)a(x)

+

t/(x)b(x), (A.7.4)

A.7 Euklidischer Algorithmus

a(x) /

GGT(a(x),b(x)) = (-1)t/+1(x) ,

451

b(x) /+1

GGT(a(x), b(x)) = (-1) s/+1(x).

(A.7.5) 1m einzelnen gilt fUri = -2, -1, ...,I

+

1:

s;(x)a(x)

+

t;(x)b(x) = r;(x) sowie fUr i = -1,0, ...,1

+

1:

S;(Xh-l(X)- S;_I(x)r;(x) = (-1);b(x) t;(x)ri_l(x) - t;_I(x)r;(x) = (_1)i+1 a(X) S;(X)ti_l(X)- S;_l(X)ti(X) = (-1);

GGT(Si(X), ti(x)) = 1.

Ferner gelten folgende Grad-Eigenschaften fur i = 0,1, ...,1

+

1:

(A.7.6)

(A.7.7) (A.7.8) (A.7.9) (A.7.10)

Grad Q;(x) = Gradri-2(x)- Gradr;_l(x) (i ~ I) (A.7.11)

= GradSi(X) - Grad 8i-l(X) (i ~ 1) (A.7.12)

= Gradt;( x)- Gradt;-l (x) (A.7.13)

i+1

Gradr;(x) Grada(x) -

2:=

^{GradQj(x) (A.7.14)}

j=O

;

Grad8;(X) =

2:=

^{GradQj(x) = Grad b(x) - Gradri-l(x) (A.7.15)}

j=l

,

Gradt;(x) =

L

^{Grad Qj(x) = Grad a(x)- Gradri-l(x). (A.7.16)}

j=O

Beweis: Die Existenz von list klar. Es gilt dann:

r/(x) = GGT(r/(x),Q/+1(x)r/(x))

= GGT(r/(x), r/_l(x))

= GGT(r/(x) - Q/(Xh_l(x),r/_l(x)) nach Satz A.7 GGT(1'/_2(x),1'/-1(x))

=

^GGT(r-l(X),r-2(X))

=

GGT(a(x), b(x)).

Die nicht eindeutige Lineardarstellung macht ein Beispiel in den ganzen Zahlen klar: GGT(2,3) = 1 = 2·2 - 1 ·3 = -1·2

+

1·3. Es wird jetzt (A.7.6) nachgewiesen, woraus dann auch (A.7.4) Yollstiindig folgt. (A.7.6) ist fUr i = -2 undi

=

-1 erfullt. InduktionsschluB yon i - 2 undi - 1 aufi fur i ~0:

8i(x)a(x) +t;(x)b(x)

= (Si-2(X) - Oi(X)Si_l(X))a(x)

+

(ti_2(X) - Oi(X)ti_l(X))b(x)

= (Si_2(X)a(X)

+

ti_2(X)b(x)) - Oi(X)(Si_l(X)a(X)

+

ti_l(X)b(x))

= ri-2(X) - Oi(x)ri-l (X) nach Induktionsvoraussetzung

= ri(X) nach (A.7.2).

(A.7.7) ist furi

=

-1 erfullt. Induktionsschlul3 voni-I aufi furi ~0:

si(x)ri_l(x)- Si_l(x)ri(x)

(Si-2(X)- Oi(X)Si_l(x))ri_l(x) - Si_l(x)(ri_2(x) - oi(x)ri_l(x))

= Si-2(x)ri-l(x) - Si-l(x)ri-2(x)

= -(

_l)i-lb(x)

=

(-l)ib(x).

(A.7.8) und (A.7.9) ergeben sich in gleicher Weise. Zum Nachweis von (A.7.10) sei d(x) = GGT(Si(X), ti(x)). Also ist d(x) ein Teiler von Si(X) undti(x) und somit auch von SiC x )ti-l (x) - Si-l (x )ti(x) = (_l)i. Somit folgt d( x) = 1.

Aus (A.7.7) und (A.7.8) folgt fur i

=

1+1 mit rl+J(x)

=

^{0 und} rl(x) = GGT(a(x),b(x)) direkt (A.7.5).

Die Gradformel (A.7.11) folgt direkt aus (A.7.2). Aus (A.7.3) folgt so(x)= 1 und damit ist GradSi-l (x)

<

Grad SiC x) furi = 0 bewiesen. Fiiri ~ 1 folgt diese Relation per Induktionsschlul3 und somit folgt direkt (A.7.12). Entspre- chend ergibt sich (A.7.13). Die Summation uber GradOJ(x) in (A.7.11) bis

(A.7.13) ergibt direkt (A.7.14) bis (A.7.16). 0

Der EA kann auch kompakt mit Polynom-Matrizen formuliert werden. Mit . = ( -Oi(x)

1)

Q.

1 0

gelten die Rekursionen

B. = (Si(X) Si-l(X))

• ti(X) ti- l(X)

Ti - Ti-l' Qi Bi Bi -l · Qi

T_l' Qo'" Qi

B__{1 ,} Qo'" Qi' (A.7.17) Beispiel A.12. EA in IF'z[x] mit a(x) = x4

+

^x3

+

^{1, b(x) = x4}

+

^x2

+

^X

+

^1:

i ri(x) Oi(x) Si(X) ti(X)

-2 x4

+

x3

+

^{1 1 0}

-1 x4

+

x2

+

X

+

^{1 0 1}

0 x3

+

^x2

+

^{x 1 1 1}

1 x2

+

1 x+1 x+1 x

1=2 1 x+1 x2 x2

+

X

+

¹

3 0 x2

+

¹ x4

+

x2

+

X

+

^{1 x4}

+

^x3

+

¹

Es gilt also fUr dieses Beispiel:

GGT(a(x),b(x))

=

¹

=

(X 2)(X4

+

x3

+

¹⁾

+

(x 2

+

X

+

¹⁾(x4

+

x2

+

X

+

^1).

"-v-"~ ~ ' v '

S2(X) a(x) t2(X) b(x)

o

A.8 Polynom-Restklassenringe

A.8 Polynom-Restklassenringe

453

Es sei

n

⁼ IK[x] der Integritatsbereich aller Polynome mit Koeffizienten aus dem allgemeinen Korper IK und durch ein normiertes Polynom p(x) E IK[x]

vom Grad m ~ 1 werde das Hauptideal

I

=

(p(x)}

=

{p(x)b(x)

I

b(x) En}

erzeugt. Die Restklassen sind von der Form

(A.8.l)

[r(x)] r(x)

+

(p(x)}

{r(x)

+

p(x)b(x)

I

b(x) En} (A.8.2)

{a(x)

I

a(x)E

n

^A Rp(xlla(x)]= Rp(x)[r(x)]}.

Insbesondere gilt [r(x)] = [Rp(x) [r(x)}],d.h. der Restklassen-Repriisentant kann modulop(x) betrachtet werden. Fur den Restklassenring gilt

n/

I IK[x]/{p(x)}

= {[r(x)]

I

r(x) En}

{[r(x)]

I

r(x) En AGradr(x)

<

m}

~ {r(x)

I

r(x) En AGradr(x)

<

m},

(A.8.3) (A.8.4) denn wenn h(x)]

=

[r2(x)] fUr zwei Polynome vom Grad < m gilt, so folgt r}(x) - r2(x) = p(x)b(x) mit passendem b(x) ER. Aus der Gradformel folgt jedochr}(x)-r2(x) = O. Zwei verschiedene Polynome vom Grad <m erzeugen also auch zwei verschiedene Restklassen. Die Restklassen-Zerlegung lautet

n

⁼ IK[x] ~ [r(x)].

r(x)ER Gradr(x)<m

(A.8.5)

Speziell fur p(x)

=

0 gilt I

=

{O} sowie [r(x)]

=

{r(x)} und fur p(x)

=

1 gilt I

=

IK[x] sowie [r(x)]

=

[0]

=

IK[x] und somit folgt:

IK[x]/{O}

~

IK[x] , IK[x]/IK[x]

~

^{{o}. (A.8.6)}

Satz A.9. Es sei IK ein allgemeiner Korper und p(x) E IK[x] ein beliebiges Polynom vom Grad

~

^1. Dann ist der Restklassenring IK[x]/{p(x)} genau dann ein Kiirper, wenn p( x) irreduzibel ist.

Die Restklassenringe zu zwei verschiedenen irreduziblen Polynomen glei- chen Grades sind isomorph (bei endlichem IK).

Beweis: ,,{:::": Es seip(x) vom Grad m irreduzibel. FUr ein beliebiges Polynom a(x)

i-

0 vom Grad ::; m - list ein multiplikatives Inverses nachzuweisen.

Wegen der Irreduzibilitat haben p(x) und a(x) keine gemeinsamen Teiler und nach Satz A.8 existieren dann Polynomes(x) und t(x) mit

1= GGT(p(x),a(x» = s(x)p(x)

+

^t(x)a(x).

Daraus folgt

1

=

Rp(x)[t(x)a(x)]

=

14(x)[14(x)[t(x)]. a(x)]

und somit ist Rp(x)[t(x)] invers zu a(x).

,,:::}": Es ist zu zeigen, daB die Existenz eines multiplikativen Inversen die Irreduzibilitat von p(x) impliziert. Gegenannahme: p(x) = a( x),8(x) zerfallt in zwei Polynome vom Grad _~ 1. Nach Voraussetzung existiert ein Polynom a'(x) EIK[x] mit Rp(x)[a'(x)a(x)] = 1. Aus

,8(x)= Rp(x)[,8(x)] = Rp(x)[a'(x)a(x),8(x)] = Rp(x)[a'(x)p(x)] = 0 folgt ein Widerspruch und somit ist p( x) irreduzibel.

"Isomorphie" : wird hier nicht gezeigt. 0 Bemerkungen zur Schreibweise: Anstelle der Restklassen wird praktisch natiirlich immer mit den Reprasentanten minimalen Grades operiert. FUr zwei Polynome a(x),b(x) E IK[xJl(p(x») vom Grad::; m - 1 wird die normale Polynom-Multiplikation in IK[x] als a(x)b(x) geschrieben, bei der also Grade bis 2(m - 1) auftreten kannen. Die Multiplikation im Restklassenring kannte als

a(x)<::)b(x) = Rp(x)[a(x)b(x)] = a(x)b(x) modulo p(x)

geschrieben werden, aber anstelle des Zeichens <::) wird immer die ausfiihrliche Schreibweise mit der normalen Multiplikation verwendet.

Beispiel A.13. Sei IK= IF2 •

(1) FUr das irreduzible Polynomp(x)

=

1

+

x

+

x²ist

IF²[x]/(1

+

x

+

x^{2 )} = {[O], [1],[x],[1

+

xl}

~

^{{O, 1,x,1}

+

x}

nach dem vorangehenden Satz ein Karper. Wegen [x^2]= [Rp(x)[x^2]] = [x

+

1]

entspricht das Rechnen mit den Restklassen dem Rechnen modulo 1

+

x

+

x2 , d.h. x² kann durch 1

+

x ersetzt werden. Damit ergeben sich folgende Verkniipfungstafeln:

+

^{0 1 x l+x 0 1 x l+x}

0 0 1 x l+x 0 0 0 0 0

1 1 0 l+x x 1 0 1 x l+x

x x l+x 0 1 x 0 x l+x 1

l+x l+x x 1 0 l+x 0 l+x 1 x

Hierbei gilt beispielsweise-x = x, -(l+x) = l+x,X-I = l+x, (l+xt^l = X.