Lehrer Schmidt - Mathe Lernheft Klasse 5

Inhalt

1 Zahlen darstellen

1.1 Schätzen . . . 7

1.2 Zahlenstrahl . . . 7

1.3 Zerlegen und notieren . . . 8

1.4 Runden . . . 9

1.5 Aufgaben . . . 11

2 Daten und Zufall

2.1 Daten erheben und Strichlisten . . . 13

2.2 Daten in Diagrammen . . . 14

2.2.1 Säulendiagramm . . . 14

2.2.2 Kreisdiagramm . . . 15

2.2.3 Balkendiagramm . . . 15

2.2.4 Liniendiagramm . . . 16

2.3 Zufallsversuche . . . 16

2.3.1 Sicher, wahrscheinlich und unmöglich . . . 17

2.4 Aufgaben . . . 17

3 Zeichnen und Messen

3.1 Linien zeichnen . . . 19

3.1.1 Senkrechte Linien zeichnen . . . 20

3.1.2 Parallele Linien zeichnen . . . 21

3.2 Aufgaben . . . 22

4 Addition und Subtraktion

4.1 Addition . . . 23

4.1.1 Vorteilhaftes Zerlegen . . . 24

4.1.2 Schriftlich addieren . . . 24

4.2 Subtraktion . . . 25

4.2.1 Schriftlich subtrahieren . . . 25

zur Vollversion

VORSC

HAU

4 INHALT

4.3 Rechnen mit Klammer . . . 26

4.4 Aufgaben . . . 27

5 Multiplikation und Division

5.1 Multiplikation . . . 29

5.1.1 Schriftlich multiplizieren . . . 30

5.1.2 Potenzen . . . 31

5.2 Division . . . 32

5.2.1 Schriftlich dividieren . . . 32

5.3 Rechnen mit Klammern . . . 35

5.4 Aufgaben . . . 37

6 Lösen von Gleichungen und Ungleichungen

6.1 Gleichungen . . . 39

6.1.1 Lösen von Gleichungen . . . 39

6.2 Ungleichungen . . . 41

6.3 Aufgaben . . . 42

7 Größen

7.1 Längen . . . 43

7.1.1 Umrechnung . . . 44

7.2 Gewichte . . . 45

7.2.1 Umrechnung . . . 46

7.3 Zeit . . . 46

7.3.1 Umrechnung . . . 47

7.3.2 Zeitspannen . . . 47

7.4 Aufgaben . . . 48

8 Zweidimensionale Figuren

8.1 Wichtige Figuren . . . 51

8.1.1 Dreieck . . . 51

8.1.2 Vierecke . . . 52

8.2 Achsenkreuze . . . 54

8.2.1 Achsensymmetrische Figuren . . . 54

8.2.2 Punktsymmetrische Figuren . . . 56

8.3 Beziehungen . . . 57

8.4 Übersicht . . . 58

8.5 Aufgaben . . . 59

zur Vollversion

VORSC

HAU

INHALT 5

9 Flächeninhalte und Umfang

9.1 Umfang . . . 61

9.2 Flächeninhalt . . . 61

9.2.1 Rechteck und Quadrat . . . 63

9.2.2 Parallelogramm . . . 63

9.2.3 Raute . . . 64

9.2.4 Trapez . . . 65

9.2.5 Dreieck . . . 65

9.3 Maße umrechnen . . . 66

9.4 Aufgaben . . . 67

10 Dreidimensionale Figuren

10.1 Wichtige Körper . . . 69

10.1.1 Quader . . . 69

10.1.2 Würfel . . . 70

10.1.3 Kreiskegel . . . 70

10.1.4 Quadratische Pyramide . . . 70

10.1.5 Zylinder . . . 71

10.2 Körpernetze zeichnen . . . 71

10.2.1 Quadernetze . . . 72

10.2.2 Würfelnetze . . . 73

10.3 Schrägbilder zeichnen . . . 73

10.4 Übersicht . . . 75

10.5 Aufgaben . . . 76

11 Rauminhalte

11.1 Oberfläche . . . 77

11.2 Volumen . . . 78

11.2.1 Rechteck und Quadrat . . . 79

11.3 Maße umrechnen . . . 79

11.4 Aufgaben . . . 80

A Lösungen

zur Vollversion

VORSC

HAU

Vorwort

Hi und herzlich willkommen!

Ich freue mich, dass du dich für dieses Lernheft entschieden hast!

Es ist ein Teil einer größeren Idee:

Ich möchte das Lernen und Üben für immer verändern!

Es ist an der Zeit, dass die digitalen Möglichkeiten Einzug in den Lernprozess finden.

Mit diesem Heft möchte ich dir einen Einblick in die Grundlagen der Schulmathe- matik geben und diese mit meinen Lernvideos und Übungen verknüpfen.

Wenn du bei den Aufgaben Unterstützung brauchst, nutzt du den jeweiligen QR- Code. Dieser leitet dich dann zu einem passenden Lernvideo von mir und schon kennst du den (Rechen-)Weg und kommst weiter.

Abschließend hast du die Möglichkeit deine Übungen mit den Lösungen hinten im Heft zu vergleichen.

Du bist mit diesem Heft in der Lage dir das mathematische Schulwissen selbst- ständig anzueignen, zu vertiefen oder zu festigen. Du kannst unabhängig von dei- ner Lerngruppe in deinem eigenen Tempo lernen und hast immer die Sicherheit, dass dir jemand zur Seite steht, wenn du Hilfe brauchst!

Ich denke, dass dieses Heft für dich eine gute Unterstützung im Schulalltag sein kann. Und natürlich kannst du hiermit auch wunderbar „Lücken“ aufarbeiten.

Zusammen werden wir das sicherlich gut meistern.

Okay! Das war’s!

aka Lehrer Schmidt

zur Vollversion

VORSC

HAU

1 Zahlen darstellen

In der Grundschule haben wir die natürlichen Zahlen bereits kennen gelernt, auch wenn wir sie vielleicht nicht so genannt haben. Einfach gesagt versteht man darunter alle ganzen Zahlen, die man ordnen oder zählen kann. Am Anfang, in der 1. Klasse, kannten wir nur die Zahlen zwischen null und zehn und später dann sogar bis zur Million. Mittlerweile haben wir gelernt, dass es unendlich viele na- türliche Zahlen gibt! Wie man mit dieser unglaublichen Menge an Zahlen umgeht ohne den Kopf zu verlieren, besprechen wir in diesem Kapitel.

1.1 Schätzen

Alle Menschen haben ein natürliches Gefühl für Zahlen. So kann jeder der ein großes Glas mit Bonbons sieht, ungefähr sagen wie viele enthalten sind. Diese Methode ist zwar viel ungenauer als würde man nachzählen, aber manchmal ist es auch nützlich, wenn man die Anzahl einfach nur eingrenzen kann.

Beispiel 1.1 Betrachten wir einmal dieses Glas:

Auch wenn wir die genaue Anzahl nicht kennen, können wir mit Sicherheit sagen, dass in dem Glas mehr als fünf und weniger als 100 Bonbons enthalten sind. Ich denke es sind insgesamt 42.

1.2 Zahlenstrahl

Einen Zahlenstrahl haben wir alle schon oft gesehen. Zum Beispiel ist ein Ther- mometer nichts anderes. Die Abstände zwischen den Zahlen sind immer gleich

zur Vollversion

VORSC

HAU

8 1. Zahlen darstellen

und er beschreibt in diesem Beispiel den Bereich zwischen−40^◦C und50^◦C. Die Zahlen sind so sortiert, dass links die kleinsten Zahlen stehen, zum Beispiel kleine Negative, und rechts die Größten, zum Beispiel große Positive.

Beispiel 1.2 Ein Thermometer als Zahlenstrahl:

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50

1. Intervall

2. Intervall

Wiederholung negativer Zahlen:

Der Pfeil zeigt die Temperatur von−10^◦C. Einen Bereich „von. . .bis“ nennt manIntervall. So be- schreibt das 1. Intervall alle Temperaturen von

−40^◦C bis −20^◦C und das 2. Intervall alle Tem- peraturen von10^◦C bis40^◦C.

Auffällig ist, dass rechts und links des Zahlen- strahls noch jeweils Pfeile aufgezeigt sind. Diese verdeutlichen, dass nur ein Ausschnitt gezeigt ist und jeweils noch höhere und niedrigere Zahlen existieren, wie zum Beispiel−50^◦C.

1.3 Zerlegen und notieren

Besonders bei großen Zahlen, ist es einfach den Überblick zu verlieren. So sind etwa:

1000Tausender= 1Million= 1000000 1000Millionen= 1Milliarde= 1000000000

Aber wie kann schnell erkannt werden, welche Zahl größer ist? Betrachten wir zum Beispiel die Zahlen 2100500030 und 42000000077. Es gibt eine einfache Methode diese beiden zu vergleichen um sicher sagen zu können, welche größer ist. Dazu nutzen wir die Stellenwerttabelle.

Stellenwerttabellen

Bei einer Stellenwerttabelle werden die Zahlen nach ihren Einerstellen, Zehner- stellen, Hunderterstellen (und so weiter) aufgeschlüsselt.

zur Vollversion

VORSC

HAU

6 Lösen von Gleichungen und Ungleichungen

Das Lösen von Gleichungen kann auf den ersten Blick schnell kompliziert wirken.

Deswegen fangen wir in diesem Kapitel ganz am Anfang an und arbeiten uns Schritt für Schritt nach vorne. Was sind denn eigentlich „Gleichungen“?

6.1 Gleichungen

Eine Gleichung ist nichts anderes als ein einfacher Rechenterm, bei demauf bei- den Seiten vom=das Gleiche steht:

Beispiel 6.1 5 + 2 = 7

Wenn wir die linke Seite betrachten, so sehen wir, dass 5 + 2 insgesamt sieben ergibt und somit links und rechts (links vom = und rechts vom =) das Gleiche steht, also7 = 7. Was nun neu hinzukommt, sindVariablen. Dies sind sozusagen unbekanntePlatzhalterfür eine Zahl. Meistens werden für Variablen Buchstaben verwendet, wie zum Beispiel x oder y. Diesen wird durch lösen der Gleichung hinterher eine Zahl zugeordnet.

6.1.1 Lösen von Gleichungen

Betrachten wir einmal eine Gleichung mit einer Unbekannten, also einer Varia- blen, welche wirx nennen:

Beispiel 6.2 x+ 2 = 7

Ziel ist es den korrekten Wert fürxzu finden, am Ende also „x =eine Zahl“ stehen zu haben. Um das zu erreichen müssen sogenannte Äquivalenzumformungen durchgeführt werden. Das bedeutet, dass die Gleichung zwar verändert wird, aber trotzdem noch auf der linken und der rechten Seite das Gleiche steht! Dafür muss

zur Vollversion

VORSC

HAU

40 6. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen

jede Rechenoperationauf beiden Seitendurchgeführt werden. Schauen wir uns das in unserem Beispiel an:

x+ 2 = 7 | −2

Um nur dasx auf der linken Seite stehen zu haben, muss−2gerechnet werden.

Dies wird aufgezeigt, indem| −2geschrieben wird. Was also eigentlich dort steht ist:

x+ 2−2 = 7−2

Dadurch, dass auf beiden Seiten die gleiche Rechenoperation angewendet wird, ist die Gleichung immer noch korrekt, denn links vom = steht das gleiche wie rechts. Wenn wir nun auflösen, dann erhalten wir:

x= 5

Schauen wir uns im Folgenden noch ein paar weitere Beispiele an.

Beispiel 6.3

x−8 = 16 |+ 8

x= 24

Beispiel 6.4

4·x= 20 |: 4

x= 5

Beispiel 6.5 Manchmal ist es notwendig, erst zu Vereinfachen.

6·9−x = 23

54−x = 23 |+x und−23

54−x+x−23 = 23 +x−23

21 =x alsox= 21

Gleichungen lösen:

Anmerkung: Um zu überprüfen, ob wir rich- tig umgeformt haben, können wir natürlich den gerade berechneten Wert für x oder y in die Gleichung einsetzen und ausrechnen, ob im- mer noch auf beiden Seiten das Gleiche steht.

zur Vollversion

VORSC

HAU

10 Dreidimensionale Figuren

Gerade haben wir ebene Figuren kennen gelernt, die sich auf den zweidimensio- nalen Raum beschränken. In diesem Kapitel wollen wir uns Figuren im dreidimen- sionalen Raum anschauen, sogenannteKörper.

Ein Körper hat im Gegensatz zu einer ebenen Figur nicht nur eine Fläche, sondern auch ein Volumen. Sie werden auch als Polyeder bezeichnet, was nichts anderes bedeutet als „Vielflächner“. Wir können uns das bildlich vorstellen:

Eine Fläche ist zum Beispiel ein Blatt Papier und ein Körper eine Kiste:

Die Art, wie die Körper oben dargestellt sind, wird Schrägbild genannt (siehe Kapitel 10.3).

10.1 Wichtige Körper

10.1.1 Quader

Ein Quader (oder auch Rechtkant oder Rechtflach) ist ein Körper, der von genau sechs Rechteckenbegrenzt wird. Somit hat erzwölf Kanten, von denen jeweils vier gleich lang und parallel zueinander sind. Die sechs Seitenflächen stehen al- le im rechten Winkel zueinander und ergeben acht rechtwinklige Ecken. Ge- genüberliegende Rechtecke sind deckungsgleich. Das bedeutet, dass wenn wir sie aufeinander legen würden, sie genau gleich wären. Diese Deckungsgleichheit nennt manKongruenz.

zur Vollversion

VORSC

HAU

10.2 Körpernetze zeichnen 71

h

Grundfläche Spitze

10.1.5 Zylinder

Ein Zylinder ist ein Körper, der von der Mantelfläche und zwei Kreisflächen mit Abstandheingeschlossen wird.

h

10.2 Körpernetze zeichnen

Jeder Körper lasst sich in ein Körpernetz zerlegen. Dies ist nichts anderes, als würdest du einen Quader, wie einen Milchkarton, an den Klebekanten auftrennen und auseinander falten.

zur Vollversion

VORSC

HAU

72 10. Dreidimensionale Figuren

10.2.1 Quadernetze

Betrachten wir einmal einen Quader und sein Körpernetz:

An dem Netz sehen wir die insgesamt sechs Seiten des Quaders und erkennen, dass es jeweils zwei gleich große Rechtecke gibt. Dieses Netz lässt sich wieder zu dem rechts abgebildeten Quader falten.Aber vorsichtig:

Gitternetz zeichnen:

Dieses Quadernetz lässt sich nicht wieder zu einem Quader falten. Die beiden kleinen Seitenflächen sind auf der gleichen Seite und „decken“ sich somit. Somit entsteht auf der anderen Seite ein Loch.

zur Vollversion

VORSC

HAU

84 A. Lösungen Lösung 5.4.6

5 1 7 3 · 9 5 2 = 4.924.696 4 6 5 5 7

+ 2 5 8 6 5

+ 1 0 3 4 6

Ü: 1 1 1

4 9 2 4 6 9 6

9 9 9 9 · 1 2 3 = 1.229.877 9 9 9 9

+ 1 9 9 9 8

+ 2 9 9 9 7

Ü: 2 2 2 1

1 2 2 9 8 7 7

Lösung 5.4.7

a) Wenn eine Schachtel 6e kostet, dann gibt Frau Print 3e am Tag für Ziga- retten aus. Da der September 30 Tage hat, spart Frau Print30·3 =90e. b) Mit 365 Tagen im Jahr spart Frau Print365·3 =1095e.

Lösung 5.4.8 a) 141Rest4 b) 192Rest18

c) 15 Rest5 d) 12

e) 55Rest1 f) 182Rest48

Lösung 6.3.1 a)

75·x−22 = 203 |+ 22 75·x = 225 |: 75

x = 3

b)

y : 14 + 80 = 92 | −80 y : 14 = 12 | ·14

y = 168

c)

x+ 20·4 = 19

x+ 80 = 19 | −80 x = −61

d)

60−12 =x : 4

48 =x : 4 | ·4 x = 192

e)

y· −2 =−56 |:−2 y = 28

f)

4·(x+ 3) = 20 |: 4 x+ 3 = 5 | −3

x = 2

zur Vollversion

VORSC

HAU