Mathe Lernheft 7. Klasse

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Inhalt

1 Brüche und Dezimalzahlen

. . . 5

1.1 Einleitung . . . 5

1.2 Brüche addieren und subtrahieren . . . 6

1.3 Brüche erweitern und kürzen . . . 7

1.4 Brüche multiplizieren/dividieren . . . 8

1.5 Brüche vergleichen/ordnen . . . 9

1.6 Dezimalzahlen addieren/subtrahieren . . . 10

1.7 Dezimalzahlen multiplizieren/dividieren . . . 11

1.8 Aufgaben . . . 12

2 Prozentrechnung

. . . 15

2.1 Was ist ein Anteil? . . . 15

2.2 Was sind Prozent und wie bestimmen wir sie? . . . 15

2.3 Prozentwerte, Prozentsätze und Grundwerte berechnen . . . 16

2.4 Prozente in Diagrammen darstellen . . . 17

2.5 Aufgaben . . . 18

3 Zinsrechnung

. . . 21

3.1 Jahreszinsen . . . 21

3.2 Aufgaben . . . 22

4 Zuordnungen

. . . 25

4.1 Was sind Zuordnungen? . . . 25

4.2 Von der Zuordnung zur Funktion . . . 25

4.3 Proportionale Zuordnungen . . . 27

4.4 Antiproportionale Zuordnungen . . . 27

4.5 Zuordnungen überprüfen . . . 28

4.6 Wichtige Anwendungen von Zuordnungen . . . 29

4.7 Aufgaben . . . 30

5 Geometrie – Grundkonstruktion

. . . 33

5.1 Gerade Strecken . . . 33

5.2 Senkrechte und parallele Linien . . . 33

5.3 Winkel messen und zeichnen . . . 34

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4 INHALT

5.4 Winkelhalbierende . . . 35

5.5 Mittelsenkrechte . . . 36

5.6 Aufgaben . . . 36

6 Ganze Zahlen

. . . 37

6.1 Rechenregeln . . . 37

6.2 Aufgaben . . . 38

7 Rationale Zahlen

. . . 39

8 Kongruenzabbildungen

. . . 41

8.1 Punkte im Koordinatensystem . . . 41

8.2 Figuren verschieben . . . 42

8.3 Achsenspiegelung . . . 43

8.4 Figuren drehen . . . 43

8.5 Aufgaben . . . 44

9 Gleichungen

. . . 45

9.1 Unbekannte, Variable,xxx. . .. . .. . . . . . 45

9.2 Was sind Terme und wie vereinfachen wir sie? . . . 46

9.3 Gleichungen lösen . . . 46

9.4 Sachaufgaben . . . 47

9.5 Aufgaben . . . 48

10 Flächeninhalt und Rauminhalt

. . . 51

10.1 Flächeninhalt von wichtigen Formen . . . 51

10.2 Umfang berechnen . . . 52

10.3 Volumen und Oberflächeninhalt . . . 53

10.4 Aufgaben . . . 54

11 Daten und Zufall

. . . 57

11.1 Ranglisten erstellen, wichtige Werte . . . 57

11.2 Absolute und Relative Häufigkeit . . . 57

11.3 Wahrscheinlichkeiten . . . 58

11.4 Aufgaben . . . 59

A Lösungen

. . . 61

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1 Brüche und Dezimalzahlen

1.1 Einleitung

Brüche und Dezimalzahlen sind Schreibweisen, um Zahlen zu beschreiben, die

Einstieg

zwischen den natürlichen Zahlen (also 1, 2, 3, 4, 5 . . . ) liegen. Auf diese Weise können wir z.B. eine Hälfte oder ein Viertel ausdrücken.

Brüche bestehen aus einem Nenner und einem Zähler. Wir schreiben sie fol- gendermaßen auf:

Zähler

Nenner z.B. 1 2

Stellen wir uns vor, dass wir eine Tafel Schokolade gleichmäßig auf vier Personen aufteilen möchten. Hierfür müssen wir die Tafel in vier gleich große Stücke unter- teilen. Die Gesamtmenge der Stücke ist in unserem Bruch der Nenner. Die Anzahl an Stücken, die jede Person von der Gesamtmenge bekommt, ist der Zähler. Da- mit beträgt in unserem Beispiel der Nenner vier und der Zähler eins. Jede Person erhält also

¹₄

der Schokolade. Wenn jetzt eine Person kein Stück möchte und du dafür ihr Viertel bekommst, hast du

²₄

. Da du zwei Stücke von der Gesamtmenge erhältst, beträgt der Zähler nun zwei.

• In wie viele Teile unterteilen wir die Schokolade? → Nenner

• Wie viele Teile davon bekommt eine Person? → Zähler

Wenn wir das verstanden haben, können wir Zahlen beliebig fein unterteilen. Je kleiner der Nenner dabei ist, desto feiner die Unterteilung.

Wenn die Anzahl der Stücke (Zähler) mit der Gesamtmenge an Stücken (Nenner) übereinstimmt, sprechen wir von einem Ganzen. Im Bruch können wir ein Ganzes z.B. als

¹₁

,

²₂

oder

⁸₈

ausdrücken. Wenn also Zähler und Nenner gleich groß sind, haben wir immer ein Ganzes. Wir können aber auch Zahlen darstellen, die größer sind als eins, z.B.

³₂

oder

⁸₄

.

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6 1. Brüche und Dezimalzahlen

Dezimalzahlen

Wir möchten den Bruch

³₂

als Dezimalzahl schreiben. Wenn wir drei Hälften haben,

Bruch in Dezimalzahl

Dezimalzahl in Bruch

sind das im Grunde ein Ganzes und ein Halbes. Als Dezimalzahl schreiben wir 1,5 - also zuerst die ganze Zahl und hinter dem Komma den Rest.

Wir können uns merken, dass wir bei einer Nachkommastelle in Zehnerschritte unterteilen. Das ist z.B. auf einem Lineal der Fall: Ein Zentimeter hat zehn Milli- meter. Somit sind 1,8 cm das Gleiche wie 1 cm und 8 mm oder 1 cm und 0,8 cm.

Bei zwei Nachkommastellen unterteilen wir dann in Hundertstel und so weiter.

Um einen Bruch als Dezimalzahl darzustellen, brauchen wir an mancher Stelle etwas Übung und Erfahrung. Hier sind ein paar wichtige Zahlenbeispiele, die uns auf jeden Fall weiterhelfen:

1

2 1

4 1

5 1

8 1

10 1

100

0,5 0,25 0,2 0,125 0,1 0,01

1.2 Brüche addieren und subtrahieren

Stellen wir uns einmal vor, dass wir gerade zu Hause eine Pizza essen. Wir haben

Hauptnenner ﬁnden

das erste Viertel gegessen und haben dementsprechend drei Viertel der Pizza noch übrig. Oder wir könnten sagen, dass wir eine halbe Pizza und noch ein Viertel haben, denn zwei Viertel sind ja das Gleiche wie eine halbe Pizza. Wenn wir das mathematisch ausdrücken, heißt das:

1 2 + 1

4 = 3 4

Pizza

Halbe Pizza Viertel Pizza Viertel Pizza

An dieser kleinen Aufgabe sehen wir schon das einzig Schwierige am Bruchrech- nen: Der Nenner. Der Nenner war ja die Zahl, durch die wir die Pizza teilen. Um Brüche miteinander verrechnen zu dürfen, müssen wir immer beide Nenner auf die gleiche Zahl bringen. In unserem Beispiel würde das heißen: Wir sagen, unser

1

2

Stück Pizza ist das gleiche wie

²₄

Stücke Pizza. Dann würde unsere Gleichung so aussehen:

2 4 + 1

4 = 3 4

Wir sehen, dass der Nenner die ganze Zeit gleich bleibt und der Zähler einfach addiert wird. Also: 2 + 1 = 3 und der Nenner bleibt 4.

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(5)

Dividieren

Das Dividieren ist etwas komplizierter, aber auch nicht schwer.

Wir merken uns: Statt den einen Bruch mit dem anderen zu dividieren, multiplizieren wir mit dem Kehrwert.

Der Kehrwert ist dabei der umgekehrte Bruch, z.B.:

2 5

Kehrwert

−→ 5 2

Wir rechnen wieder anhand von drei Beispielen:

3 8 ÷ 4

5 = 3 8 · 5

4 = 15 32

8 5 ÷ 7

2 = 8 5 · 2

7 = 16 35

4 3 ÷ 12

3 = 4 3 · 3

12 = 12 36 = 1

3 Kleiner Trick

Wenn wir zwei Brüche miteinander multiplizieren und in dem Zähler des einen Bruchs steht die gleiche Zahl wie im Nenner des anderen Bruchs, dann dürfen wir beide Zahlen einfach „rausstreichen“ und die anderen Zahlen zusammenfassen.

Schauen wir uns dieses Vorgehen in einem Beispiel an:

3 4 · 8

3 =

^✓

3 3

^✓

3 · 8 4 ·

✓

3 3

✓

3 = 8

4 = 2 ⇔ 3 · 8 4 · 3 = 24

12 = 2

Wir sehen, dass es im ersten Rechenweg (die 3 im Zähler und Nenner kürzen) etwas schneller geht, als wenn wir die Brüche komplett ausmultiziplieren. Bei schwierigeren Brüchen können wir uns auf diese Weise viel Zeit sparen und mög- liche Rechenfehler durch größere Zahlen umgehen.

1.5 Brüche vergleichen/ordnen

Zahlen z.B. nach der Größe zu ordnen ist nicht schwer. Wir erkennen die richtige

Größenvergleich Brüche

Ordnung meist auf den ersten Blick. Bei Brüchen müssen wir allerdings etwas vorsichtiger sein!

Grundlegend müssen wir erst einmal schauen, ob der Bruch kleiner oder größer als 1 ist. Je größer der Zähler bzw. je kleiner der Nenner, desto größer ist auch die Zahl. Der Nenner fällt jedoch viel schwerer ins Gewicht und am Ende kommt es immer auf das Verhältnis an. Hier ein paar Beispiele:

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6 Ganze Zahlen

Wir erinnern und noch einmal zurück: Was waren die natürlichen Zahlen? Es sind die normalen Zahlen, die bei 1 oder 0 losgehen

¹

und die wir beim Zählen nutzen.

Wir gehen jetzt einen Schritt weiter und nehmen die Zahlen hinzu, die vor der Null kommen: Die negativen Zahlen.

0 1 2 3 4

-1 -2

-3 -4

Natürliche Zahlen Ganze Zahlen

6.1 Rechenregeln

Addieren

Wenn wir mit einer negativen Zahl addieren, ist das das Gleiche, als wenn wir

Rechnen mit negativen Zahlen

Fortsetzung

subtrahieren:

2 + ( − 8) = 2 − 8 = − 6 Subtrahieren

Wenn wir mit einer negativen Zahl subtrahieren, ist das das Gleiche, als wenn wir addieren:

2 − ( − 8) = 2 + 8 = 10 Multiplizieren

Wenn wir eine positive Zahl mit einer negativen Zahl multiplizieren, ist das Ergeb- nis negativ. Multiplizieren wir zwei negative Zahlen, ist das Ergebnis positiv:

5 · ( − 3) = − 15 ( − 5) · ( − 3) = 15

1Bitte fragt euren Lehrer, ob die 0 mit reingenommen wird oder nicht. Hier gibt es keine eindeutige Festlegung.

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(7)

Dividieren

Beim Dividieren gelten die gleichen Regeln wie beim Multiplizieren.

Kurz gefasst:

+( − a ) =

^∧

− a − ( − a ) =

^∧

+ a

(+ a ) · ( − b ) = − c ( − a ) · ( − b ) = + c

(−a)

(−b)

= + c

⁽⁺^a⁾

(−b)

=

⁽₍₊⁻_b^a₎⁾

= − c

Achtung: Die erste Zeile bedeutet, dass wir bei einer Rechnung von z.B. 5 + ( − 2) auch 5 − 2 schreiben können. Das Zeichen = heißt übersetzt „entspricht “. Bei den

^∧

nächsten beiden Zeilen sind a , b und c beliebige Zahlen. Wenn wir also irgend- welche Zahlen mit den jeweiligen Vorzeichen so verrechnen wie dargestellt, dann hat unser Ergebnis das genannte Vorzeichen.

6.2 Aufgaben

A.6.1. Berechne a) − 5 + 6

b) 8 − ( − 4) c) − 5 − 8 d) − 6 + ( − 8) e) 7 + (+9)

f) − 8 − ( − 12) g) 14 − (+8)

h) − 8 − ( − 5 − ( − 6) − 7) i) 8 · ( − 3)

j) − 5 · ( − 5) k) − 6 · 7

l) 12 · ( − 4)

m) − 2 · 8 · ( − 3) n) − 2 · 3 · 5

o) − 4 · ( − 5) · ( − 2) p) 3 · 4 + ( − 5) · 2 q)

⁻₂⁸

r)

₋¹²₆

s)

⁻¹⁵₋₅

t)

⁻³⁶₋₃

u)

¹⁵₃

+

⁻⁶⁴₈

v)

⁻₋₄¹²

−

⁻₂⁶

w)

⁻₄⁸⁸

·

⁻₋₂¹

x)

⁻₄¹²

·

₋⁴₁₂

+

₋³₆

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10 Flächeninhalt und Rauminhalt

10.1 Flächeninhalt von wichtigen Formen

Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Wir geben sie in Qua-

Übersicht Flächen und Umfang

dratmetern (bzw. Quadratzentimeter, -millimeter. . . ) an. Das bedeutet, dass wir Meter · Meter rechnen müssen bzw. zwei Längen multiplizieren. Die Kennzeich- nung für den Flächeninhalt ist A (Abkürzung vom englischen Wort für Fläche

„ A rea “). Ein Zimmer hat also beispielsweise eine Fläche von A = 22 m

²

. Die kleine 2 über dem m steht für Quadrat(-meter). Ausgeschrieben ist m

²

= m · m. Das m

²

ist aber einfacher zu schreiben.

Wir schauen uns nachfolgend ein paar wichtige Formen an, deren Flächeninhalt wir auf jeden Fall bestimmen können sollten:

Rechtecke

a b

Ein Rechteck hat immer jeweils zwei gleichlange parallele Seiten. Hier ist eine Seite mit a gekennzeichnet und die andere mit b . Um die Fläche zu bestimmen, rechnen wir einfach:

A = a · b Dreiecke

a b

Links sehen wir ein rechtwinkeliges Dreieck. Mit der gestrichelten Linie ist angedeutet, wie das Dreieck an der schrägen Seite gespiegelt aus- sehen würde.

Die doppelte Fläche eines Dreiecks wäre demnach die Fläche eines Rechtecks, also: 2 · A = a · b . Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu erhalten, stellen wir nach A um (durch 2 dividieren) und erhalten:

A = 1 2 · a · b

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