Besprechung 7./8. November 2007 Aufgabe 1: Einstein-Modell f¨ ur die spezifische W¨ armekapazit¨ at

Festk¨ orperphysik Prof. K. Ensslin HS 2007

6. ¨ Ubungsblatt Verteilung 30. Oktober 2007

Besprechung 7./8. November 2007 Aufgabe 1: Einstein-Modell f¨ ur die spezifische W¨ armekapazit¨ at

1. Die thermische Energie von N Moden ist in der harmonischen N¨ aherung gegeben durch:

U (T ) = X

k

¯ hω(k)

n(k) + 1 2

= Z

dωZ(ω)¯ hω 1

2 + 1

exp ^{¯ hω} _kT

− 1

! .

Dabei ist n(k) die mittleren Anzahl Phononen mit Wellenvektor k (Bose-Einstein-Verteilungsfunktion) und Z(ω) = N δ(ω − ω E ) die Zustandsdichte f¨ ur N Moden der Frequenz ω E . Die Integration ergibt:

U (T ) = N ¯ hω E

1

2 + 1

exp ^{¯ hω} _kT

− 1

!

2. Der Beitrag zur spezifischen W¨ armekapazit¨ at ist daher

c(T ) = 1 V

dU dT = N k

V

¯ hω E

kT 2

exp ^{¯ hω} _kT

exp ^{¯ hω} _kT

− 1 ²

3. F¨ ur hohe Temperaturen T Θ E erh¨ alt man

c(T ) = N k V ,

was dem klassischen Dulong-Petit Gesetz entspricht. F¨ ur tiefe Temperaturen T → 0 ergibt sich

c(T ) = N k V

¯ hω _E kT

2

exp

− ¯ hω _E kT

,

d.h. der Beitrag eines solchen Astes zur spezifischen W¨ armekapazit¨ at nimmt f¨ ur T → 0 exponentiell ab.

Typische Werte f¨ ur die Einstein Temperatur liegen bei mehreren 100 K. In GaAs beispielsweise betr¨ agt die Energie optischer Phonon ca. 35meV, was Θ _E ≈ 420 K entspricht. Die durch das Einstein-Modell beschriebenen optischen Phononen liefern also selbst bei Raumtemperatur nur einen kleinen Beitrag zur W¨ amekapazit¨ at.

4. Vollst¨ andige Temperaturabh¨ angigkeit c(T ) im Einstein-Modell:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

T [Θ

]

c [Nk/V]

Das Debye-Modell (siehe Vorlesung) liefert f¨ ur hohe Temperaturen ebenfalls eine konstante W¨ armekapazit¨ at c(T ) = N k/V . F¨ ur T → 0 ergibt sich der realistischere Verlauf c(T ) ∝ T ³ .

Aufgabe 2: Debye-Waller-Faktor

1.

S hkl = X

j

γ j e ^{i ~ G·(~ r}

^{+~ u)} = ( X

j

γ j e ^{i ~ G·~ r}

)e ^{i ~ G·~ u}

Zun¨ achst wird die Funktion e ^{i ~ G·~ u} in eine Taylorreihe entwickelt (das Zeitmittel einer Summe ist die Summe der Mittelwerte):

e ^{i ~ G·~ u} = 1 + i ~ G · ~ u − 1

2 ( G ~ · ~ u) ² .

Setzen wir voraus, dass die Gitteratome v¨ ollig unabh¨ angig voneinander um die Ruhelage schwingen, so gilt

G ~ · ~ u = 0,

( G ~ · ~ u) ² = | G| ~ ² u ² cos ² Θ,

wobei Θ der Winkel zwischen G ~ und ~ u ist. Der Ausdruck cos ² Θ muss ¨ uber eine Kugel gemittelt werden, da alle Richtungen gleichwertig vertreten sind und die Amplitude u der Schwingung davon unabh¨ angig ist:

cos ² Θ = 1 4π

Z π Θ=0

Z 2π Φ=0

cos ² ΘsinΘdΘdΦ = 1 3 . Damit erh¨ alt man:

e ^{i ~ G~ u} = 1 − 1 6 | G| ~ ² u ² .

Dies sind aber gerade die ersten zwei Glieder der Taylorreihe von e

^{G| ~}

^u

. In guter N¨ aherung gilt also

e ^{i ~ G~ u} = e

^{G| ~}

^u

.

Dies ist rein reell und sicher kleiner als 1. Setzt man diese Gleichung in die Formel f¨ ur den Strukturfaktor ein, so ergibt sich

S _hkl = ( X

j

γ _j e ^{i ~ G·~ r}

)e

^{G| ~}

^u

.

Die Intensit¨ at des gebeugten Strahles betr¨ agt somit

I = I 0 · e

^{G| ~}

^u

.

2. In der kubisch raumzentrierten Struktur mit Kantenl¨ ange a betr¨ agt der Abstand zwischen den n¨ achsten Nachbarn a √

3/2. Nach dem Lindemannschen Schmelzkriterium erh¨ alt man daraus f¨ ur das mittlere Am- plitudenquadrat der thermischen Bewegung:

p u ¯ ² = a √ 3/10.

Der Debye-Waller-Faktor ist gegeben durch

D = exp[−1/3 |G| ~ ² u ¯ ² ].

Dies bedeutet, dass die st¨ arksten Reflexe von den k¨ urzesten G-Vektoren stammen. In der bcc Struktur ~

sind dies die 12 Vektoren ^π _a (±1, ±1, 0) plus Permutationen. Damit erh¨ alt man D(T = T S ) = exp[− ^π ₅₀

] =

exp[−0.197] = 0.82. Beachte, dass die obige Rechnung unab¨ angig vom Zahlenwert der Gitterkonstante

f¨ ur alle bcc Kristalle g¨ ultig ist.