Folie 34. Eigenwerte, Eigenvektoren
Motivation. Für welche Vektoren b hat Ab dieselbe Richtung wie b ? Definitionen. ist Eigenwert (EW) der Matrix
es gibt einen Eigenvektor (EV) mit und Charakteristische Gleichung von A ist
Satz. EW von A
Rechenregeln und Rechenschemata
(0) Rechenschema für die Handrechnung
Schritt 1.Charakteristische Gleichung aufstellen und alle ihre Nullstellen λ berechnen Schritt 2.Zu jeder Nullstelle λ alle Lösungen des homogenen LGS bestimmen
(1) Koeffizienten der charakteristischen Gleichung
(2) Transformationsregeln B invertierbare Matrix
(3) Bedeutung für lineare Abbildungen
Die lineare Abbildung f : des Rn hat in Bezug auf die Basis B = die Abbildungsmatrix . Das bedeutet mit (2):
a) Die EW der Abbildungsmatrix sind in jeder Basis dieselben (der Abbildung zu eigen) b) Die Lage der EV im Rn ist in jeder Basis dieselbe (aber nicht ihre Koordinaten!) c) Die charakteristische Gleichung der Abbildungsmatrix ist in jeder Basis dieselbe.
Das bedeutet mit (1): Sind die EW von A , so gilt
λ∈K A∈Kn×n :⇔
b∈Kn Ab = λb b≠ 0 det A( –λEn) = 0
λ ⇔ det A( –λEn) = 0
Ab = λb
det A( –λEn) = ( )–λ n +Spur A( )–λ n–1+…+det A
α β, ∈K
x →Ax (b1, , ,b2 … bn) B–1AB
λ1, ,λ2 …, λn
Spur A = Spur B( –1AB) = λ1+λ2 +… λ+ n Spur A = Spur B( –1AB) = λ1+λ2 +… λ+ n det A = det B( –1AB) = λ1⋅ λ2⋅… λ⋅ n
19.12.00 P.Vachenauer
Matrix A EW
EV ?
αA Am A+βEn AT A–1 B–1AB λ αλ λm λ β+ λ λ–1 λ
b b b b b B–1b
Diese beiden Gleichungen gelten im Zerfällungskörper des charakteristischen Poly- noms von A über K
d) Diagonalisierung
Besitzt A n linear unabhängige EV , so hat die Abbildungsmatrix von f bezüglich der Basis Diagonalgestalt:
(4) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind stets linear unabhängig
(5) Eigenwerte und Eigenvektoren spezieller Matrizen
Anwendung
Skalarprodukt im Rn : mit positiv definiter und symmetrischer Matrix A . Mit (5) gibt es als Basis B von Rn ein ONS, das aus EV von A gebildet wird.
Sind die EW von A , so gilt mit und :
a)
b) A positiv definit alle Eigenwerte von A sind positiv.
c) Im Falle n = 2 stellt der ’Einheitskreis’ eine Ellipse dar.
k. Spalte von A ist ist EV zum EW
A idempotent , alle EW sind 0 oder 1 A involutorisch , alle EW sind 1 oder −1 A nilpotent , alle EW sind 0
, K = R A symmetrisch
1) alle EW sind reell 2) es gibt ein ONS von EV als Basis des Rn b1, , ,b2 … bn
B = (b1, , ,b2 … bn)
αek ⇒ ek α
A2 = A ⇒ λ2 = λ
A2 = En ⇒ λ2 = 1
k ∈N : Ak
∃ = 0 ⇒ λk = 0
AT = A ⇒
xTAy
λ1, ,λ2 …, λn x = Bx˜ y = By˜
xTAy (Bx˜)TA By( ˜) = x˜T
λ1 0 … 0 0 λ2 … 0
… … … … 0 … 0 λn
y˜ λ1x˜
1y˜
1 … λnx˜
ny˜ + + n
= =
⇔
xTAx = 1 B–1AB
λ1 0 … 0 0 λ2 … 0
… … … … 0 … 0 λn
=
