Matrixmethode für geometrische Licht- und Teilchenoptik
Abbildungsgleichungen sind in paraxialer Näherung linear. Lineare Zusammenhänge lassen sich bequem durch Matrizen darstellen. In der Teilchenoptik gibt es einen analogen Formalismus.
a) Ausbreitung im homogenen Medium (Teilchenoptik: sog. Driftstrecke)
0 0 1
1 0
0 0
1 1
1 0
0 0 1 1
1
' 1 0 1 '
1 0
/ ) (
1 1
0 1
x x s x
x n
r n z z n
r r
z z r
an Luft: mit Brechnungsindex n: in der Teilchenoptik:
r: Abstand von der Achse
: Winkel zur Achse
z: Koordinate entlang der Achse
x: Abstand von der Achse x'=dx/ds: Winkel zur Achse s: Koordinate entlang der Achse in der Näherung dünner Linsen an Luft
ist n immer = 1
b) Dünne Linse an Luft (Teilchenoptik: Quadrupolmagnet) Sammellinse Zerstreuungslinse
Wirkung einer dünnen Linse z.B. für parallel zur Achse einfallende Strahlen:
Winkel, der mit dem Abstand von der Achse linear zunimmt.
(Minuszeichen für Sammellinse, weil der Winkel des Strahls in Strahlrichtung kleiner wird)
f
r
tan
0 0 1
1 0
0 1
1
1 / 1
0 1 1
/ 1
0 1
r f
r r f
r
Teilchenoptik: fokusierender Quadrupol
0 0 1
1 0
0 1
1
' 1 0 1 '
cos ' sin
/ sin cos
' x
x s
k x
x x
x s
k s
k k
k s k s
k x
x fokussierend
x
1cosh k s sinh k s / k x
0x
11 0 x
0defokussierend
x s k s dx x dB p s e p B e R s
p B e B R
v B v R e
mv
k
) 1 (
2
Zur Erinnerung: Zentripetalkraft = Lorentzkraft
Besonderheit der Teilchenoptik:
Ein Quadrupolmagnet besitzt zwei Nord- und zwei Südpole.
Wenn er z.B. in horizontaler Richtung fokussiert, wirkt er in vertikaler Richtung defokus-sierend (überprüfen Sie es mit der Drei-Finger-Regel). Es gibt keine Magnetanordnung, die in beiden Richtungen wie eine Sammellinse wirkt.
Beliebige Anordnung von Elementen
1 Linse Abstand
2 Linse Teleskop
1 1 1 2 1 1
1
r z.B. M M M M
M M M
r M r M
n n n
n
Die Lupe
Der Sehwinkel e , unter dem ein betrachtetes Objekt erscheint, wird um so größer, je näher das Objekt ist. Das Auge kann aber nicht beliebig nah akkommodieren. Ein Abstand von s
0= 25 cm, die
sogenannte "deutliche Sehweite", ermöglicht dem (jungen und normalsichtigen) Auge, noch ohne Ermüdung scharf zu sehen. Aufgabe eines vergrößernden Instruments ist es also, den Sehwinkel zu vergrößern, ohne die deutliche Sehweite zu unterschreiten.
Bei der Lupe ist der Gegenstand in der Brennebene (Ebene senkrecht zur Achse, die den Brennpunkt enthält) und der Gegenstand erscheint unter vergrößertem Sehwinkel im Abstand unendlich.
Winkelvergrößerung
f s s G
f
V G
00 0
0
/
/ tan
tan
e
e e
e
Lupe näher an den Gegenstand (g < f): noch etwas höhere Vergrößerung, Gegenstand erscheint nicht mehr im Unendlichen. Wenn der Gegenstand unter s
0erscheint, nimmt die Vergrößerung um 1 zu:
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0 0
0
mit 1 1
1 /
/ /
/ tan
tan b s
f s f
f s f s
f s s
f b
f s b b s f
g s s G
g G s G
b
V B
e
e
(Giancoli)
Mikroskop
Grundprinzip mit zwei Sammellinsen:
- erste Linse erzeugt ein vergrößertes reelles Zwischenbild des Gegenstands. Hierzu befindet sich der
Gegenstand etwas vor dem Brennpunkt der ersten Linse (g
1-f
1= d ).
- zweite Linse wirkt als Lupe, mit der das Zwischenbild betrachtet wird.
0 2 1
2
2 1
1 1 1
1 1 1 1
1
2 1
0 1 2 0 1
1 0
2 1 0
0
/
/ tan
tan
f s f
f V t
f f t
g f g
f b g
f g
f g
s b f G
s g
b G s G
f V B
d e
e e
e
t: Tubuslänge = Abstand der Linsen
Modell für ein einfaches Mikroskop: durchleuchtetes Dia als Gegenstand., Mattscheibe am Ort des reellen Zwischenbild
zur Demonstration. Das Bild im Okular ist auch vorhanden, wenn die Mattscheibe entfernt wird.
Linsenfernrohr
Kepler-Teleskop: zwei Sammellinsen, Bild umgekehrt.
Galilei-Teleskop: eine Sammel- und eine Zerstreuungslinse, Bild aufrecht.
Für astronomische Fernrohre ist die Lichtstärke wichtig, d.h. es kommt auf den Durchmesser der Öffnung an. Hohlspiegel können mit viel größerem Durchmesser (bis zu 10 m) gebaut werden als Linsen.
Beim Kepler-Fernrohr (2 Sammellinsen) entsteht für "unendlich" weit entfernte Gegenstände ein reelles Zwischenbild im Brennpunkt der ersten Linse. Da die zweite Linse als Lupe dient, ist das Zwischenbild auch im Brennpunkt der zweiten Linse. Der Abstand der Linsen ist also die Summe der Brennweiten. Die Vergrößerung misst sich in diesem Fall nicht am Sehwinkel des Objekt im Abstand der deutlichen
Sehweite, sondern am tatsächlichen Sehwinkel mit bloßem Auge.
2 1 0
2 1 0 0
2 0
/ /
f f f f f
V B
e
e e
e e
Modell für ein Kepler-Teleskop: ein Laserstrahl tritt unter einem Winkel mittig durch das Objektiv. Am Ort des reellen Zwischenbilds steht eine Glasplatte mit mm-Skala. Hinter dem Okular befindet sich eine weitere mm-Skala, so dass die
2
2 2
1
1
x x1 x3
d g f b
f
mit
ohne
Glasplatte 1 mit mm-Teilung Objektiv
L
Okular L
Glasplatte 2 mit mm-Teilung
Ablenkung von Lichtstrahlen in der Atmosphäre
Der Brechungsindex nimmt mit zunehmender Höhe über dem Erdboden ab, da die Luftdichte abnimmt.
Modell: Schichten mit abnehmendem Brechungsindex. Der Winkel a wird relativ zum Lot gemessen. Anwendung des Snellius-Brechungsgesetzes:
90 für
mrad 10 5 3
60 für
tan mrad 28 , 0 oder
tan 8 5 tan 1 ) 0 (
cos sin sin
) 0 (
cos sin
cos sin cos
sin ) sin(
sin ) 0 (
sin sin
) 0 (
sin 1 sin
) 1 ( sin
) 1 ( sin
) 0 (
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
1 1
0
d d
d
d
d
d
d
d d
d
n n n n
k n n
n
w
w
