8.Übungsserie Risikotheorie

Prof. Dr. Uwe Küchler WS 2008/09 Dipl.-Math. Thomas Knispel

Risikotheorie

8. Übungsserie

In den folgenden Aufgaben wird das in der Vorlesung eingeführte heterogene Modell der Vertrauenstarierung zugrunde gelegt. Wir betrachten nur den i -ten Vertrag und unter- drücken zur Vereinfachung der Notation den Index i .

8.1 Gegeben θ > 0 seien die Schadenhöhen X

, . . . , X

des Vertrages unabhängig und Pareto-verteilt zu den Parametern (λ, θ) , d. h. es gilt

P [X

> x|θ] = (λ/x)

, x > λ.

Weiterhin wird angenommen, dass θ Gamma-verteilt ist mit der Dichte f

(ϑ) =

ϑ

e

1

(ϑ), γ, β > 0.

a) Zeigen Sie, dass θ|X mit X = (X

, . . . , X

)

die Dichte f

i=1ln(Xi/λ)

besitzt.

b) Beweisen Sie, dass der Schätzer b ν

von ν(θ) := P [X

> K|θ] , K > λ , auf der Basis der Daten X

, . . . , X

, der E[(ν(θ) − Y )

] über alle σ(X

, . . . , X

) - messbaren Y minimiert, die folgende Form hat:

(β + P

i=1

ln(X

/λ))

(β + ln(K/λ) + P

i=1

ln(X

/λ))

.

8.2 Wir nehmen an, dass der Heterogenitätsparameter θ eine Beta-Verteilung mit der Dichte

f

(ϑ) =

ϑ

(1 − ϑ)

1

(ϑ), a, b > 0.

besitzt. Gegeben θ seien die Schadenzahlen X

, . . . , X

des Vertrages unabhängig und Bin(k, θ) -verteilt.

a) Bestimmen Sie die bedingte Dichte f

(ϑ|X = x) von θ unter der Bedingung X = (X

, . . . , X

)

= x = (x

, . . . , x

)

.

b) Berechnen Sie den Schätzer µ b

von µ(θ) = E[X

|θ] auf der Basis der Daten X

, . . . , X

und das zugehörige Risiko ρ( b µ

) = E[(µ(θ) − µ b

)

] .

Hinweis: Es gilt E[θ] =

sowie var(θ) = ab/[(a + b + 1)(a + b)

] .

Diese Aufgaben werden in der Übung am 11.02.2009 besprochen.