Mathematik I für Physiker und Elektrotechniker WS03/04 Aufgabenblatt 3

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Mathematik I für Physiker und Elektrotechniker WS03/04 Aufgabenblatt 3

Aufgabe 1.

Sei ⁴ 2 3 4 0

: 2 3 0

x

y x y z w

U z x y z w

w

+ + + =

= ∈

+ − + = . U ist ein Unterraum des ⁴. Man finde eine Basis von U und weise nach, daß die gewählten Vektoren tatsächlich linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem von U bilden.

Aufgabe 2.

Seien ¹ ² ¹ ² ³

1 1 3 2

: 1 , : 2 , : 2 , : 3

2 3 5 4

u u w w

−

= − = = − = − ∈ ,

U:= ^{u u}¹^, ² ^:⁼

{

^λ¹^u¹⁺^λ²^u² ^{λ λ}¹^, ²^∈

}

^{, W:=} ^{w w}¹^, ² ^:⁼

{

^µ¹^w¹⁺^µ²^w² ^{µ µ}¹^, ²^∈

}

^.

U,W sind Unterräume von ³, damit ist auch U∩Wein Unterraum.

Man finde einen Vektor v∈ ³ ungleich dem Nullvektor, der in U∩W liegt und zeige, daß jeder andere Vektor v'∈ ∩U Wsich in der Form v'=κv mit κ∈ schreiben läßt.

Aufgabe 3.

a) Sei K ein Körper und sei q∈K q, ≠1 . Man zeige durch Induktion

1

0

1 1

n n i i

q q q

+

=

= −

− b) Man zeige durch Induktion: ²

1

(2 1)

n

i

i n

=

− = .

Aufgabe 4.

Sei ⁰^:^{= ∪}

{ }

⁰ . Man definiere induktiv für n∈ ₀: : : 1 0

n n

= n = und für 1≤ ≤m n 1 :

1

n n n

m m m

+ = +

− und mache sich klar, daß damit n

m für alle n m, ∈ , 0≤ ≤m n erklärt ist.

a) Ist R ein Ring mit kommutativer Multiplikation, a b, ∈R und n∈ ,so beweise man durch Induktion unter Benutzung obiger Formeln, daß

( )

0

n n i n i

i

a b n a b

i

−

=

+ = .

b) Man definiere induktiv 0!:=1, (n+1)!:=n n!( +1)und zeige dann durch Induktion über n

daß !

!( )!

n n

m ⁼m n m− .