ZUSAMMENFASSUNG REGELUNGSTECHNIK I - Gioele Zardini 1.Definitionen und Problemstellungen

ZUSAMMENFASSUNG REGELUNGSTECHNIK I -

Gioele Zardini

1.Definitionen und Problemstellungen

1.1 Definitionen:

a) Ein Signal ist eine Funktion der Zeit, u und y in Abbildung

b) Ein System ist ein Operator, der Signale bearbeitet (Plant, !). u wird in y transformiert.

1.2 Klassifizierung von Systemen

• Statisch: In statische Systemen hängt den Ausgangswert nur von Eingang . Sie werden durch Gleichungen

beschrieben. (ohne „Speicher“)

• Dynamisch: In dynamische Systemen hängt den Ausgangswert auch von der Vergangenheit. Sie werden durch Differentialgleichungen beschrieben. (mit

„Speicher“)

• SISO: Single Input Single Output

• MIMO: Multiple Input Multiple Output

• Linear: Ein System heisst linear falls es gilt:

• Zeitinvariant/variant

• Mit/Ohne Verzögerung

• Stabil/Instabil

• Continuous-time / Discrete- Time

• Ordnung des Systems: Die Ordnung des Systems entspricht der Anzahl Zustände (Pegelvariablen), die mit der Ordnung der höchsten Ableitung im System

übereinstimmt.

1.2 Modelle

1.3 Schaltung von Systemen

Es gilt: (Σ ist !"#"$%&'()'*+(),$-.),!"#$)

• Serienschaltung: Σ!"!=Σ2∙Σ1

• Parallelschaltung: Σ!"!=Σ2+Σ1

• Rückführung: Σ!"!=(Σ2∙Σ1+1)^!!∙Σ1 1.4 Regelsysteme

Es gilt:

• Regelstrecke P(s)

• Controller C(s)

• Feedforward Controller F(s)

• Kreisverstärkung L(s)

• Regelsystem T(s)

• Stellgrösse u

• Ausgangsgrösse y

• Störung d: Externe Beeinflussung auf Ausgang der Strecke (z.B. Wind bei Regelung der Geschwindigkeit eines Autos

• Sollwert r

• Fehler e = r-y

• Rauschen n (noise) : Externe Beeinflussung des Messung einer physikalischen Grösse.

• Regelung: Feedback (closed loop)

• Steuerung: Feedforward (open loop)

1.5 Ziele der Regelungstechnik

Die wichtigste Ziele sind:

• Folgeregelung (Reference Tracking): z.B. Erhitzunng eines Ofens auf eine bestimmte Temperatur (geeignete F)

• Störungsunterdrückung (Disturbnce Rejection): z.B.

Behaltung eine konstante Temperatur in einem Ofen.

• Stabilisierung (Stabilization) : z.B. Stabilisierung eines invertierten Pendels.

a) algebraic (fast): z.B. Aufbau Drehmoment b) dynamic (relevant)

c) static (slow): z.B. Temperatur des Motors

Bemerkung:

Regelung ist viel mehr gefährlicher als Steuerung (Division durch 0)

2.Modellierung dynamischer Systeme:

2.1 Leitfaden zur Modellierung

1. Systemgrenzen Identifizieren (Was gehört dazu?) 2. Reservoirs/Speicher identifizieren. (Wo wird Masse,

Energie, Information gespeichert? Was sind die zugehörige Level Variables?)

• Schnelle/algebraische (vereinfachen sie als Funktion der anderen Variablen)

• Dnamische/relevante

• Statische/langsame Variablen (als konstante ang.) 3. Für jedes Reservoir Differentialgleichungen formulieren:

4.

5. Algebraische Relationen zwischen Reservoirs aufstellen 6. Modell mit neuen Daten validieren

7. Beispiele (Water Tank and Stirred Reactor)

à Black-Box Models: keine Physikalische Approximation, nur Messungen

à Grey-Box Models: 1-4 mit ohne einige Parametern à White-Box Models: 1-4, alle Parametern sind bekannt!

2.2 Mechanik

3.Systemdarstellung und Transformationen:

3.1 Gleichgewicht

Ein System befindet sich in Gleichgewicht wenn alle Zustandsvariablen sich nicht mehr ändern:

à Wichtig für Stabilisierung und Störungsunterdrückung 3.2 Normalisieren

Bemerkung:

Normalisieren sollte die fundamentale Eigenschaften des Systems nicht verändern

3.3 Linearisieren

3.4 Lineare Zustandsraumdarstellung

Bemerkungen:

• Man kann auch mit Simulink den Signalflussbild benutzen und die Ordnung des Systems ist gleich die Anzahl Integratoren, die man benötigt um das System darzustellen.

• Linearisieren verändert schon Verhalten des Systems

• A: Wie wirkt das System auf sich selbst?

• b: Wie wirkt der Eingang auf das System?

• c: Wie wirkt das System auf den Ausgang?

• d: Wie wirkt der Eingang auf den Ausgang?

3.5 Parametrische Unsicherheit

3.6 Koordinatentransformation

4.Analyse von linearen Systemen

Unsere Welt besteht aus Systemen 1./2. Ordnung 4.1 Verhalten im Zeitbereich von linearen Systemen

Bemerkungen:

•

•

•

4.1.1 Transiente Antwort des Systems

4.1.2 Berechnung einer Systemantwort

4.2 Systeme 1. Ordnung

4.2.1 IMPULSANTWORT (Dirac-Stoss !(!))

Bemerkungen:

• Nur Systeme 1.Ordnung können Springen!

•

• !(!)=∞ !ü! !=0

• !(!)=0 !ü! !≠0 4.2.2 Sprungantwort !(!)

Bemerkungen:

• ℎ(!)=0,∀!<0

• ℎ(!)=1,∀!≥0

• es gilt auch für Abfall!

• Auf Englisch Stepfunction

• S form

4.2.3 Rampenantwort !(!)=!∙!(!)

Bemerkungen:

•

4.2.4 Harmonische Antwort !(!)

Bemerkungen:

• Die Antwort auf eine harmonische Anregung gleicht sich asymptotisch einem eingeschwungenen Signal an:

4.3 Stabilität

4.3.1 Spektralmethoden

4.3.2 Lyapuov’s Stabilitätsprinzip

Wenn die Linearisierung eines nichtlinearen Systems um einen isolierten Gleichgewichtspunkt x0 asymptotisch stabil ist, dann ist das Gleichgewicht ebenfalls ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht des nichtlinearen System (im

limitierten Gebiet). In die andere Fälle wir bekommen keine Information mit der Analyse der Linearisierung : nichtlineare Systeme können stabil, asymptotisch stabil oder instabil sein, und man kann es nicht aus der lineare Approximation herausnehmen!

4.4 Steuerbarkeit

Bemerkungen:

• Ein System heisst potentiell stabilisierbar, falls alle nicht-steuerbaren Zustände asymptotisch stabil sind

• Erreichbarkeit ist in RTI gleich Steuerbarkeit

• Eine Nullzeile zeigt sofort welches Subsystem nicht vollständig steuerbar ist (keine direkte Verbindung zum Eingang).

4.5 Beobachtbarkeit

Bemerkungen:

• Ein System heisst Detektierbar, falls alle nicht- beobachtbaren Zustände asymptotisch stabil sind.

• Kann durch bessere Sensorplatzierung verbessert werden.

4.6 Stabilisierbarkeit

Ein System heisst potentiell stabilisierbar, falls alle nicht- steuerbaren Zustände asymptotisch stabil sind.

Um ein solches System zu stabilisieren, die instabile steuerbare Zustände müssen Beobachtbar sein:

Bemerkungen:

• Ein instabiles System ist stabilisierbar, falls es potentiell stabilisierbar und detektierbar ist.

• Keine Pol-NS-Kürzung mit instabile Pole, sonst nicht mehr Steuerbar.

• Für Subsysteme man berechnet die EW von A : zu jedem Lyapunov instabilen EW berechnet man den EV und das System ist dann für diesen EV v stabil, falls jede Zeile von v der eine Nullzeile des b-Vektors eintspricht, ebenfalls null ist.

• Integratoren, die mit positiven Vorzeichen auf sich selbst zurückgeführt werden, sind instabil

• Integratoren, die nicht direkt oder über ein anderes Subsystem mit dem Ein-bzw.Ausgang verbunden sind, sind nicht steuerbar bzw. beobachtbar

• R kann vollem Rang haben, aber trotzdem nicht steuerbar sein, da z.B. !(!)≥0. Somit sind negative Einflüsse (=Abflüsse) nicht möglich (Kaffeekanne).

• Falls die Linearisierung ein nichtlineares Systems um ein GGW Punkt vollständig Steuerbar (Beobachtbar) ist, dann das originale nichtlineare System ist lokal vollständig steuerbar (beobachtbar).

• Falls die Linearisierung ein nichtlineares Systems um ein GGW Punkt nicht vollständig Steuerbar (Beobachtbar) ist, dann kann man nichts über die Steuerbarkeit

(Beobachtbarkeit) des originales Systems sagen.

4.7 State Space Decomposition

Die folgende Strucktur muss folgende Regeln folgen:

• u kann nur auf die erreichbare Unterräume wirken

• y ist nur von beobachtbare Unterräume beeinflusst

• Die nicht erreichbare Unterräume sind nicht von Unterräume die von u beeinflusst sind, beeiflusst

• Die nicht-beobachtbare Unterräume können nicht Unterräume die y beeinflüssen, beeinflüssen.

4.7.1 Zustandsraummodell minimaler Ordnung

4.7.2 Pol/Nullstellenkürzung

4.8 I/O Beschreibungen und kanonische Realisationen

Bemerkungen:

• Die Ordnung n of Input/Output Beschreibung ist gleich die Anzahl Beobachtbare und Steuerbare Zustände von SP Beschreibung.

• Falls m=n, das System hat eine algebraische Durchgriff (!≠0 in SP Beschreibung)

• n DGL 1-Ordnung ààà 1 DGL n-te-Ordnung 4.8.1 I/O àState Space

Bemerkung:

Eine mit Gleichung (5) gefundene Zustandsraumdarstellung eines Systems ist immer vollständig steuerbar und vollständig beobachtbar!

5.Laplace Transformation:

5.1 Rekapitulation Komplexe Zahlen

5.2 Eigenschaften und Motivation

Def:

Bemerkungen: nützlich für:

• Vereinfachung von Lösung lineare DGL

• Interpretation von Systeme als Frequenzabhängige Verstärkungen

5.3 Übertragungsfunktionen (Transfer Functions TF)

5.3.1 TF für Zustandsraumdarstellung

5.3.2 Inverse einer Matrix

5.3.3 Ableitungsregel für Laplacetransform

5.3.4 TF für I/O-Darstellung

5.3.5 Übersicht

Bemerkung:

• TF kann man auch Loop Gain oder Kreisverstärkung nennen!

5.3.6 Inverse Laplace Transorm

5.4 Pole und NST von TF

5.4.1 Pole und BIBO Stabilität Bemerkung:

• Die Polen des TF eines Systems definieren seine Impuls- Antwort in Zeitbereich und seine Dynamiken!

5.4.2 Lyapunov vs. BIBO

Bemerkung:

• BIBO = Bounded Input Bounded Output

5.4.3 Nullstellen

Bemerkungen:

• NST von TF definieren die Dynamiken die zu eine 0 Output führen

• Eine NST kann die Einfluss ein Pole reduzieren, oder zu overshoot oder undershoot führen.

5.4.4 Überprüfen der Ordnung eines System ohne TF

5.4.5 Lokalisierung Polen

s

5.4.6 Einfluss von Polen und NST auf die Dynamik

Für dieses System finden wir:

• Bei !=0 hat der Output Steigung Null

• Für kleine Dämpfungen !<1 überschwingt !(!) (kein Überschwingen, falls alle Pole Imaginärteil Null haben)

• Die Zeit t90 zu welcher !(!) 90% seines Endwerts erreicht, ist etwa proportional zur Zeitkonstante T0 des Systems: Es gilt !_!"≈0.4∙!_!≈^!.!

!_!

• Je grösser die Dämpfung, desto grösser t90, desto langsamer das System

• Für !>1 wird die Sprungantwort vom Pol näher bei der imaginären Achse dominiert und je grösser !, desto mehr gleicht sich !(!) dem Output eines Systems erster Ordnung an. (überktritisch: einer gg.∞, einer gg. 0)

• Ein guter Kompromiss zwischen kleiner t90-Zeit und kleinem Überschuss wird erreicht mit !" [0.4 ,0.8]

• Falls wir komplex konjugierte Pole haben, schwingt! Also keine Monotone Anstieg!

• 0<!<1 : overshoot

• !>1 : monoton steigend!

• !=0 : ungedämpftes System! (nur imaginäre Teil)

• !<0 : instabiles System

• !=1 : kritische Dämpfung

• !_! : Eigenfrequenz des Systems

• !_!=^!!

!_!

Und für die NST gilt:

• Eine NST nahe bei einem Pol unterdrückt dessen Einfluss auf das Output-Signal

• Je näher eine NST beim Ursprung ist, desto grösser wird ihr Einfluss. Das heisst der Überschuss wird grösser. Für

!=0 wird der Überschuss unendlich!!!

• Im Grenzfall !_!=!_! die Residuen werden 0 und die Systemordnung senkt.

• Eine nichtminimalphasige NST gibt eine starke Begrenzung auf Feedback Control

• à Different Sensor Configuration!

5.4.7 Static Gain

∑(0)=!_!

!_!

Die static gain ist der Asymptotisches Wert von !(!→∞) als Antwort zu einen Sprung auf input !(!)=ℎ(!)

5.4.8 Sensoren/Einfluss

6.Frequenzantworten

6.1 Idee/Hintergründe

• Erregt man ein asymptotisches Stabiles LTI System mit einem harmonischen Inputsignal (!(!)=cos(!∙!)) mit spezifische Frequenz

• Man messt die Steady-State Antwort

(!_!,!"#$%&'$!' !"#$!%&ℎ!"#$%#% !"#$%&')

• Man vergleicht die Amplitude !(!) und die Phase !(!) von der Antwort mit denen von den Inputsignal und man speichert die Resultate

• Man wiederholt das Experiment für verschiedene Frequenzen

6.2 Diagramme

6.2.1 Beträge und Phasen

6.2.2 dB-Skala

6.3.3 Nyquist Diagramm für ein System erster Ordnung

6.3.3 Nyquist Diagramm für ein System zweiter Ordnung

6.3.4 Bode Diagramm für ein System erster Ordnung

6.3.5 Bode Diagramm für ein System zweiter Ordnung

6.3.6 Regeln fürs Zeichnen Bode Diagramm

Für andere Regeln muss man am Ende der Zusammenfassung die Standart-Elemente-Lybrary schauen

6.3.7 Systeme Höhere Ordnung

Systeme höhere Ordnung können als in Serie verbundene normale Systeme dargestellt werden und so für Bode gilt:

• Die Magnituden können summiert werden

• Die Phasen können summiert werden

!.!.! !(!)à Bode

• Standardelemente identifizieren

• Parameter bestimmen

• Amplitude und Phase zeichnen

• Kurven addieren à totales !(!)

!.!.! !"#$à !(!)

• Statische Verstärkung k bestimmen

• Beliebige Amplitude A in Bode Plot wählen

• Zugehörige Frequenz ! ablesen

• Einsetzen in |Σ(!")|_!!!=!

• Nach k auflösen

• Totzeit T bestimmen

• Phase bei hohen ! bestimmen aus dem Plot lesen

• Gesamte phase zusammenzählen und Phase bei ! - Phase bei Σ(!) berechnen. Das ist die zusätzliche

Phasendrehung der Totzeit

•

6.3.10 Nyquist identifizieren

• lim_!→!!|!(!")|: Startpunkt der Kurve

• lim_!→±!|!(!")|: Endpunkt der Kurve

• lim_!→±!<(!(!")) : Eintrittswinkel in den Ursprung

n

• Delay !(!)∙!^!!" : Phase von !(!") um –! gedreht

• Falls !(!) minimalphasiges stabiles System mit relativem Grad r ≥1 gilt:

6.4 Asymptotische Systemeigenschaften

6.4.1 Bode’s Law

Falls man |Σ(!")| als Funktion von ! auf eine doppelte logarithmische Skala, z.B. in Bode Diagramm, plotten will, den Plot wird eine Gerade mit Gradient !⋅20!"/!"# pro

Frequenzdecade. Es gilt

6.5 Systemidentifikation mittels Frequenzantwort Gegeben: Frequenzantwort eines Systems ∑

Gesucht:

• Anzahl der Elemente bestimmen

• Typ und relative Grad identifizieren

• Beim kleinen bis hohen Frequenzen untersuchen

• Serienschaltungen benutzen, die Additionen in Bode entsprechen

• Falls erste Element Verstärkung ≠1 hat, dann alle andere haben Verstärkung 0dB (1)

Bemerkungen:

• Das funktioniert gut für Systeme kleiner Ordnung und

• Falls die Zeitkonstante genügend separiert sind

• Wichtig hier sind die Standard-Elemente

• Erinnerung: eine reine empirische Identifikation heisst Black Box System Identifikation

6.6 Nichtparametrische Unsicherheit

Problem: Arbeiten mit unsichere Modelle kann als Folge falsche Resultate haben

Lösung: Modellunsicherheit betrachten

Und die Bedingung lautet:

6.6.1 Unsicherheitsabschätzung mittels Messungen

6.6.2 Nichtparametrische Unsicherheit

Steps:

• Measurement data

• Identificaition and fitting of nominal model

• Fitting of uncertainty bound

v

7.Analyse von Feedback Systemen

7.1 Definitionen

7.1.1 Loop Gain (Kreisverstärkung) L(s)

7.1.3 Sensitivität S(s)

7.1.2 Minimale Kreisverstärkungsdifferenz !!"#

7.1.4 Komplementäre Sensitivität T(s)

Bemerkungen:

• Für L(s) werden alle Signale zu 0 gesetzt

• Meistens suchen wir eine kleine S(s)

• Meistens suchen wir eine grosse T(s)

• T(s)+S(s) = 1 für alle s !!!!

•

• <!(!")=−<!1+!(!")!

• !(!")=!(!")∙!(!")

• lim!"(!)→!!"(!)/!(!)

!"(!)/!(!)=!(!) , deswegen Sensitivität

• Störungen mit Sensitivität

• Sollwert und Rauschen mit Komplementäre Sensitivät 7.2 Closed-Loop Systemstabilität

Die Closed-Loop System Dynamik ist im allgemein :

7.2.1 Noise/Disturbances

• Typischerweise Störungen sind „slow“ und noise ist „fast“

• Störungen sind meistens in kleine Frequenzen

• Rauschen sind meistens in hohe Frequenzen

• Das ist eine Bedingung für Feedback Control

7.2.2 Typische Form von L,T,S

7.2.3 Stabilität in Frequenzbereich

• Was geschieht falls man eine nichtminimalphasige NST in die Strecke durchstreicht , mit einem instabilen Pol in einem Regler?

• Sind dann die TF für closed loop stabil?

• Sind dann die TF für r à u stabil?

Folgende 3 Methoden geben eine Antwort diesen Fragen:

Methode I

Methode II

Methode III

Bemerkungen:

• Es ist im Allgemein sehr schwierig den Einfluss den Polen zu verstehen

• Man kann nicht wissen wie die Unsicherheitsmodelle wirken!

7.3 Nyquist Theorem

7.3.1 Theorem

Ein closed-loop System !(!) ist asymptotisch stabil, gdw,

• !_!: Anzahl Pole von !(!) mit positivem Realteil

• !_!: Anzahl Pole von !(!) mit Realteil Null

• !_!: Anzahl mathematisch positiver Umdrehungen

(gegenuhrzeigersinn) des Punktes -1 von !(!") mit ! von −∞ nach ∞

Bemerkungen:

• Wenn !(!) asymptotisch stabil ist, bleibt !(!") immer rechts von Punkt -1, d.h. es gibt keine Umrundung des kritischen Punktes

• Die Nyquist-Kurve !(!") ist symmetrisch bezüglich den realen Achse

• Auch gültig für Systeme mit Zeitvergögerungen!

7.3.2 Umdrehungen Zählen

• Im Nyquist-Plot abzulesen

• Die Sprünge zählen nicht (zum Beispiel Integratoren)

• Durchgang von !(!) durch -1 bedeutet grenzstabil, auch wenn das Kriterium nicht erfüllt ist!

• !_!=!_!=!_! =0 ist asymptotisch stabil

• wenn ! von −∞ nach ∞ geht, werden die Umdrehungen im Gegenuhrzeigersinn positiv und diejenige im

Uhrzeigersinn negativ gezählt.

• Z.B.

7.3.3 Wieso -1 ?

• Aus der Definition von !(!) ist es klar dass für !(!)=−1 muss gelten !(!)=∞ und also dass !(!) ein Pol in s hat!

• Falls !(!")=−1 liegt den Pol von !(!) auf die imaginäre Achse , also auf die Grenze zwischen stabile und instabile Bereiche

• Falls !(!") wechselt von eine Seite von -1 bis eine andere, die Polen wechseln von stabile bis instabile Bereiche (und entgegengesetzt)

7.3.4 Robustheit

• Die Phasenreserve ! ist die minimale Abstand von

−180^∘, wo !(!) geht im Einheitskreis in Nyquist- Diagramm (Magnitude 1)

• Die Verstärkungsreserve ! ist der Inverse der Magnitude um −180^∘

• Je grösser !_!"#, je Robust!

7.4 Durchtrittsfrequenz und Phasenreserve

Bemerkungen:

• Die Bandbreite !_! ist die Frequenz wo die

Komplementäre Sensitivität T(s) unter die -3 dB Linie geht

• Sie beschreibt normalerweise die Geschwindigkeit des Zeitbereichsverhaltens

Die blaue Linie entspricht

langsamste System!

• Die Bandbreite liegt immer nahe der

Durchschnittsfrequenz, deshalb wird oft nur !_! als mass der Geschwindigkeit benutzt

7.5 Bedingungen für die Durchschnittsfrequenz Es muss im allgemein immer gelten:

• S: max_!|!(!")|≤2⇔!_!"# ≥^!

!

• T: !=sin(!^!!),!"#$ !≅2∙sin (!^!!−!^!)

• Das Problem ist Well Posed falls man 2 Decade zwischen Störungsfrequenz und Rauschenfrequenz hat

• Sonst ist das Problem unlösbar!

• Die Bezeichnung !_!≪!_! heisst einfach „eine Decade weniger, dasselbe gilt für „eine Decade mehr“

• Da Sensitivität und Komplementäre Sensisitivität nicht 0 gleichzeitig sein können, das System kann nicht

gleichzeitig Rauschen und Störungen unterdrücken!

7.5.1 Störung und Rauschen

7.5.2 Sensitivität

7.5.3 Einschränkungen für Durchschnittsfrequenz

Wo

Also Durchtrittfrequenz muss kleiner (1 Octave) als Verzögerungsfrequenz!!!

7.5.4 Zusammenfassung Einschränkungen

Bemerkungen:

• Falls !_! nicht zwischen diese Werte ist à keine Lösung!

• Totzeit heisst auch Abfall der Phase

• Diese Einschränkungen sind nicht genügend für die Überprüfung der Stabilität: man hat Garantien nur mit Nyquistkriterium!

• Untere Grenze = „Schneller als“

• Obere Grenze = „Langsamer als“

• Eine Starke Stabilisierung die immer sicher ist, kann man nie erfolgen à immer Kompromisse!!!

7.5.5 Berechnung der Kennzahlen

8.Spezifikationen von Feedback Systemen

Annahme: Es ist möglich ein Regler zu finden, dass alle Bedingungen erfüllt.

Dann: Wir wollen ein Regler für Closed Loop System so dass:

• Robust

• Rauschen und Störungen unterdrückt

• Kein statischer Nachlauffehler

• Schnelle Antwort

• Klein/kein Überschiessen

• Begrenzte Control Action (z.B. Fräse nicht überschweissen, weil es Reglerenergie kostet!)

• Wieder: Kompromisse!

• Interdisziplinäre Teams 8.1 Für Statische Nachlauffehler

Dann setzten wir !=!=!=0 und folgt:

!(!)=!(!)∙!(!) à eine kleine Sensitivität ist sehr gut!

8.1.1 Statischer Nachlauffehler I

Wir setzen ein Sprung in eine folgende Grössen:

!(!)=ℎ(!),!(!)=ℎ(!) !"#$ !(!)=ℎ(!) !"# !(!)=0

Im allgemein gilt , dann

und

z.B. max. Nachlauffehler 10% à 0.9≤!(0)≤1.1

8.1.2 Statischer Nachlauffehler II

Wir setzen ein Sprung in die Störung auf Eingang der Regelstrecke : !(!)=ℎ(!), dann gilt

Der statische Nachlauffehler ist Null, wenn statische Verstärkung des Reglers |!(0)|=∞ ist, also !(!) muss von Typ !≥1 sein! (Ein Pol in Ursprung von C)

8.1.3 Zusammenfassung Spezifikationen st. Nachlauffehler

Bemerkungen:

!(!)=!(!)∙!(!)= !_!∙!^!+..+!_!∙!+!_!

!^!+!_!!!∙!^!!!+..+!_!∙!+!_!

• Falls |!(0)|=0 (!_! =0,!_!≠0) ist nicht so interessant weil !_!=1 (keine statische Störungsunterdrückung)

• |!(0)|=∞ (!_!≠0,!_!=0,!(!) !" !" !"#$ !>0) hat

!_!=0 (komplette statische Störungsunterdrückung)

• 0<|!(0)|<∞ (!_!≠0,!_!≠0) hat eine partielle statische Störkungsunterdrückung

8.2 Für Systeme 2-te Ordnung Gegeben:

Gesucht:

Wir wollen !_! und ! finden

Idee:

Wir nehmen an dass unsere closed-loop Systems T(s) verhalt sich wie ein System 2-te Ordnung!

Vorgehen:

8.2.1 Übergang in den Frequenzbereich

Annahme:

!_!: Eigenfrequenz

!_! =^!!

!_!

!: Überschwingung

8.2.2 Übergang zum Open Loop

8.3 Für Frequenzbereich Erinnerung:

Falls wir eine kleine S(s) haben:

• Gute Störungsunterdrückung

• Gute Reference-Tracking Falls wir eine kleine T(s) haben:

• Gute Rauschenunterdrückung

• Gute Robustheit gegen Modellfehler Problem:

Um Durchtrittsfrequenz können S(s) und T(s) Betrag grösser 1 haben und deshalb konnte Störungs-/Rauschen

Amplifikation auftreten.

Lösung:

Peaking Limitations!

8.3.1 Nominelle Regelgüte

8.3.2 Robuste Regelgüte

8.3.3 Zusammenfassung Spezifikationen

9.Feedback Control Design I

9.1 Controller Synthesis Method

Startpunkt: Wir starten von die Regelstrecke P(s) und wir haben Spezifikationen.

Ziel: Wir wollen ein Regler finden, der Spezifikationen erfüllt Vorgehen: Wir definieren eine Reglerstruktur und dann optimieren die Reglerparametern

9.2 PID-Regler

1. Proportionaler Teil:

• Beeinflusst Durchtrittsfreuqent und stationären Nachlauffehler

• Control-Action proportional zu Control- Fehler

• Man reduziert sehr schnell Control-Fehler, aber statische Fehler konnte auftreten

• !_!(!)∝!(!) 2. Integrierende Teil:

• −!"^° Phase

• Beeinflusst Durchtrittsfrequenz

• Verschlechtert die Robustheit

• Control-Action ist proportional zur Integral des vorherigen Control-Fehler

• Langsam, aber komplette Reduktions des Control- Fehlers

• Bringt grosse Überschwingen

• !_!(!)∝∫!(!)!" , also langsamer!

• Falls !(!)≠0 : !_!(!) ändert sich

• Falls !(!)=0 : !_!(!) ändert sich nicht, konstant 3. Differentiator:

• +!"^° Phase

• Beeinflusst die Robustheit des Regelsystems

• Control-Action ist proportional zur Änderung des Control-Fehler

• Dämpfung des Control-Action, für eine Änderung des Output Signal

• Amplifikation des Control-Action, für eine Änderung des Referenz-Signals

• !_!(!)∝ ^!

!"!(!)− ^!

!"!(!)

4. Roll-Off Term: Tiefpass

Bemerkungen:

• Alle diese Elemente werden parallel geschaltet

• Die Formel in Frequenzbereich hat 3 Freiheitsgrade

• Integration in Zeitbereich = ∙^!

! in Frequenzbereich

• Ableitung in Zeitbereich = ∙! in Frequenzbereich

• Roll-Off Term ergibt zwei Polen!

à Besser wäre also es RPID nennen!

9.2.1 Roll-Off Element/Tiefpass

9.2.2 Wieso ist PI-Regler so berühmt?

Meistens sind die Regelstrecken asymptotisch stabil, mit nichtminimal Phase, endliche statische Kreisverstärkung und Tiefpass.

Für PI-Regler gilt:

• Teil I bringt weg statisches Fehler

• Teil P vergrössert die Phasenreserve

• Das brigt zu eine gute Performance für einfache loop gains

• Einfach zu verstehen und zu regeln 9.3 PID Einstellungsregeln

Wenn wir nur gemessene Daten zur Verfügung haben und die Strecke als

approximieren können, es stehen uns zwei Verfahren offen (9.3.1 und 9.3.2), um erste Einstellungen an einem PID-Regler vorzunehmen. Diese sollte man nicht verwenden falls:

• _!!!^! >0.3 (nicht zu grosse Totzeit)

• Nichtminimalphasige NST auftreten

• Schlecht gedämpfte Resonanzen auftreten Stattdessen gehe man dann nach Schema in 9.3.5 vor!

9.3.1 Ziegler-Nichols Verfahren

Verfahren

1. Wir setzen !_!=∞,!_!=0 !"# !=0 und haben nun einen P-Regler.

2. Wir erhöhen nun !_!, bis eine stationäre, selbsterhaltende Oszillation autritt à !_!^∗

a) Variante 1:

b) Variante 2:

3. Periodendauer dieser Oszillation bestimmen: !^∗=^!"

!^∗

4. Werte gemäss Tabelle berechnen

Bemerkungen:

• Man braucht ein Integrator nur falls die Regelstrecke keinen Integrator hat

• Falls es nicht gefragt, Differentiator kann man weglassen

• Challenge: genügend Bandbreite und genügend Phasenreserve, mit Bedingungen

• Pitfall: falls man zu grosse Bandbreiten will

• Ziegler-Nichols falls kein Regelstreckemodell verfügbar ist!

9.3.2 Chien-Hrones-Reswick Verfahren

9.3.3 Zusätzliche Phasenreserve

9.3.4 Einstellung der Reglerparameter

9.4 Beurteilung von Reglern

Um beurteiler zu können, ob ein Regler brauchbar ist, beachtet man:

1. Den statischen Nachlauffehler 2. Die Pollage des Regelsystems 3. Die Phasenreserve

4. Die Verstärkungsreserve

9.5 Klassisches Iteratives Loop Shaping

Gegeben: Regelstreckemodell, Spezifikationen für System Idee: „Shape“ die Form des Loop Gains L(s) durch iterativer Änderung des Reglers C(s)

Ziel: C(s) finden, so dass Spezifikationen und Bedingungen erfüllt sind

Tools: P,I,D, Lead,Lag

9.5.1 Lead/Lag erster Ordnung

Lead/Lag Elemente sind Polen/NST Paaren Lead: NST bei tieferen Frequenzen als Polen Lag: Polen bei tieferen Frequenzen als NST

!! ist die Phasenanstiegfrequenz

Verfahren:

1. PI(D) auslegen

2. Lead-/Lag-Element zuschalten, um die

Phasenreserve zu verändern. Die Durchtrittsfrequenz ändert sich nicht.

3. Versärkung kp des Reglers einstellen, um die Durchtrittsfrequenz anzupassen

9.5.2 Lead/Lag zweiter Ordnung

Verfahren:

1. Statische Kreisverstärkung (oft 1) wählen 2. Phase-Shift wählen (!!)

3. Frequenz wählen (!!)

Es gibt aber ein kleinen Nachteil: Falls wir Rauschen haben, wird er mehr übertragen sein!

10.Feedback Control Design II

Die Grundidee für einen guten Loop ist: Bei tiefen Frequenzen hoher Betrag, bei hohen Frequenzen tiefer Betrag, also eigentlich ein Integrator. Ausserdem sollte die Phasenreserve genügend gross sein.

10.1 Loop Shaping und Robustheit

10.1.1 Plant Inversion

Idee: Falls wir das Verhalten der Regelstrecke kennen, kennen wir was für ein Input wir wählen müssen, um ein besonderes Output zu bekommen.

Es gibt aber 4 Probleme:

1. Die Regelstrecke P(s) ist kausal (y hängt nur von u ab) aber die Inverse Regelstrecke nicht, also kann man sie nicht konstruieren

àLSG: Roll-Off Element einsetzen.

2. Loop Shaping bei Nichtminimalphasige NST

3. Loop Shaping für instabile Systeme

!<1: Lead-Element: Phasenreserve wird erhöht und Betrag des Regelkreises verkleinert.

!>1: Lag-Element: Phasenreserve wird verkleinert, Betrag der Regelkreises erhöht.

Kochrezept:

• PI(D) Auslegen, (Durchtrittsfrequenz klein!)

• Lead/Lag zuschalten um Phasenreserve zu verändern.

Durchtrittsfrequenz ändert sich auch

• Verstärkung !p einstellen um die Durchtrittsfrequenz anzupassen

Bemerkungen:

• Regler so dass Nyquist Theorem funtkioniert

• Minimalphasige NST verursachen Phasengewinn (+90)

• Stabile Pole verursachen Phasenverlust (-90) 4. Realisierbarkeit

Nach Auslegung: #Polen ≥ #NST, falls nicht:

• Polen bei hohen Frequenzen hinzufügen (s.d. sie die Durchtrittsfrequenz nicht beeinflussen)

• Aus diesem Grund wird Roll-Off benutzt:

Bemerkungen:

• NMP System lügt: Antwort wechselt das Vorzeichen:

• Regler musst „patientieren“: slow control system

Zusammenfassung Regelungstechnik II -

Gioele Zardini

10.2 Prädiktive Regelung: Smith Prädiktor

Systeme mit grössen Totzeiten sind schwierig mit PID Regler zu regeln (D-Teil ist nicht nützlich hier!).

Ziel: Mit Prädiktive Regler Totzeiten kompensieren Wann? Im Allgemein falls

Limits:

• Prädiktor kann Totzeiten kompensieren (also weniger Phasensprung!)

• Totzeit kann nie komplett eliminiert werden!

Voraussetzungen:

• Strecke muss asymptotisch stabil sein

• Ein gutes Modell für die Strecke muss verfügbar sein

Es gilt:

•

•

stationäre Regelfehler

Man will jetzt !(!) finden (von e nach u). Es gilt

Bemerkungen:

• Die Idee von PR ist ein lineares Modell der Strecke zu benutzen, dass Zugang gibt, zur nicht Totzeitbehaftete Output !! . Feedbacksignal ist dann die Summe der nicht _! Totzeitbehaftete outputs und das Korrektionssignal !.

• Eine genaue Schätzung des Modells ist notwendig:

• Pr(s) ist die reale Übertragungsfunktion

• !! ist die reale Totzeit der Strecke.

10.2.1 Diskussion

Vorteile:

• Sehr schnell

• Gleiche Robustheit Nachteile:

• Schwierige

Implementation/Analyse

• Probleme bei Modellfehler à Falls Totzeit im Modell nicht präzis, Smith Prädiktor sehr schlecht!

10.3 Robustheit

• Nominelle/robuste Regelgüte: pag.15

• Robuste Stabilität+Abb.:pag.12 10.4 Kaskadierte Regelkreise

Es existieren die sog. SIMO Systeme à Kaskadierte Regelkreise (um Regler zu verbessern) sind SIMO-Systeme mit einer Zeitskalentrennung.

Schneller Regelkreis:

• !_!(!) (z.B. mit Ziegler-N.) ohne Berücksichtigung von Langsamen Regelkreis.

• Wir wollen voll die Bandreite ausnutzen (möglichst gross à !_! möglichst gross), das heisst es wird ein P(D) Regler benutzt.

• !_! muss nicht so präzis sein à kein I

• Das ist neue Strecke !_!→!_! für aussere Kreis Langsamer Regelkreis:

• !_!(!) (z.B. mit Ziegler-N.) mit geschlossem inneren Regelkreis ausgelegt

• Wir wollen keinen statischen Nachlauffehler à PI(D)

11.Reglerimplementation

11.1 PID-Realisierung

Begründungen

• 0<a<1:

à

• b=1:

à Integrator integriert auf 0

àL von Typ k=1: (es gibt ein Integrator in C oder in P), es folgt mit b=1, dass r=y ist und also steady state error für step ist 0.

• c=0:

à Man kann unerwünschte Störungen auf closed loop falls r ändert sich verhindern (falls mit Störung Sprung beschränkt, d.h. c=0 wurde gewählt!)

à nur hoch dämpfendes Effekt auf y vorliegt

• Diese Parametern haben kein Einfluss auf

Kreisverstärkung à Stabilitätseigenschaften und Robustheit sind erhalten.

11.1 Feedforward

Idee: Feed Forward (Vorsteuerung) erlaubt uns verschiedene Regler für Folgeregelung und Störungsunterdrückung zu benutzen. Einführen von Feed Forward erhöht die

Geschwindigkeit des Systems à r hat jetzt direkt Einfluss auf u.

Man kann F als ein Gain (statisch) oder auch dynamisch wählen. Die Vorsteuerung hat keinen Einfluss auf

Stabilitätseigenschaften des Closed Loop.

11.1.1 Statisch

Es ist oft v um w zu behalten bekannt. Man kann das benutzen und Folgeregelung verbessern

11.1.2 Diskussion Vorteile:

• Keine Stabilitätsprobleme, einfaches Design, keine Rauschenamplifikation

Nachteile:

• Keine Störungsunterdrückung, statische Fehler, >

Control Action 11.1.3 Saturation

Probleme entstehen wenn physikalische Signale begrenzt sind (als Beispiel das maximale Drehmoment eines Motors oder die Maximale Öffnungsfläche eines Ventils). Man nennt diese die Sättigung eines Systems und kommt bei

integrierende Regler vor.

àProblem ist nicht mehr linear und Aktuator ist nicht mehr geschlossen.

11.2 Anti Reset Windup

Falls Regler ist in Sättigung, eine weitere Integration des Regelfehlers mach nichts und Fehler reduziert sich nicht. Falls aber Fehler ist klein, Integrator verhindert die gute

Systemantwort à Überschwingen!

Was macht man:

• Mit Aktuator Model geben wir Werte heraus die machbar sind

• Wir rückführen die Differenz: Integrator wird permanent geleert.

• Im Beispiel von Cruise Controller: Entlinearisierung nicht nötig wegen Integrator und Feed-Forward nicht nötig wegen Aktuator

• ARW nur falls auch C ist integrierend (nur P geht nicht!).

11.3 Digitale Regelung

Heute sind praktisch alle Regler in Mikroprozessoren implementiert, die discrete-time systems sind.

11.3.1 Continuous Time Systems

Was wir bis jetzt gesehen haben. Diese Systeme sind für alle Zeiten definiert und um sie zu beschreiben man benutzt DGL.

11.3.2 Discrete-Time Systems

Diskrete in Zeit: Die Signale sind nur zu spezifische Zeiten definiert (Abtastzeit T, !_!=!∙!). Diese Systeme sind mit Differenzengleichungen definiert.

Vorteile:

à einfachere Berechnung àKomplexe Algorythmen implementierbar.

Nachteile:

àfügt Totzeit ins System ein (≅exp (−!∙!_!/2))

àInformationen zwischen steps sind verloren.

11.3.3 Zustandsraumdarstellung

11.3.4 Lyapunov Stabilität

11.3.5 System

11.3.6 Software

11.3.7 Sampling

Die Abtastfrequenz ist definiert als !_!=_!^! à Man definiert folgende Regel:

Die Nyquistfrequenz ist definiert als !=^!_!^!

à Falls continuoous-time Signal enthält grössere Frequenzen es kommt Aliasing vor: !_!<2∙!_!"#

11.3.8 Aliasing

Falls die Abtastfrequenz eines Signals zu klein ist, verilert man zu viele Informationen über das Signal und man kann nicht mehr eindeutig das rekonstruieren.

11.3.9 Anti Aliasing Filter

Die unerwünschte hohe Frequenzen können mit einem AAF gedämpft werden. Da AAF vor gesetzt ist, muss analog sein (nicht diskret implementiert). Grund ist dass diese

Frequenzen können nur eliminiert werden vor Sampling, und nicht mehr nachher. Normalerweise wird ein Tiefpassfilter benutzt. Etwas schlecht: fügt weitere Phasenabfall, dass zu instabilen Kreis führen kann!

11.3.10 Regleremulation

à z ist definiert als „shifting“ Operator

• Euler Forward

• Euler Backward

• Trapezoidal (Tustin)

11.3.11 Stabilität

Stabilitätseigenschaften bleiben bei Euler Backward und Tustin erhalten: es ist aber bei Euler Forward möglich dass die Emulation instabil wird.

à Die Stabilitätseigenschaften des Systems bleiben

unverändert, falls stabile zeitkontinuirliche Pole zu stabilen zeitdiskreten Polen gemappt werden.

11.3.12 Kochrezept 1. Design C(s)

2. Faustregel benutzten und Abtastfrequenz wählen 3. Design AAF

4. Emulate Controller (Cd=c2d(C,T,’tustin’));

5. Stabilität: instabil? Andere Emulation oder höhere Abtastfrequenz

6. Regler implentieren

12.MIMO SYSTEME

12.1 Systembeschreibung 12.1.1 Zustandsraumdarsellung

Bemerkungen:

• Die beschreibt ein System mit m Eingangssygnalen und p Ausgangssygnalen.

• Zustandsraumdarstellung ist nur wohldefiniert, wenn man sie durch Modellieren mittels physikalischer Gesetze erhalten hat. Für bekannte I/O-Darstellung hingegen gibt es unendlich viele Darstellungen.

12.1.2 Übertragungsfunktion

Bemerkungen:

• Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ! D.h. jetzt

• !_! ist für Signal e

• !_! ist für Signal u !_!=!(!)∙!(!)

• Return Difference ist !_!(!)=Ι+!_!(!) 12.1.3 Lyapunov Stabilität

12.1.4 Steuerbarkeit

12.1.5 Beobachtbarkeit

12.1.6 Stabilität geschlossene Regelkreis

12.2 Nyquist für MIMO Systeme

• Aber: det(...) zerstört wichtige Information über Kreuzkupplungen zwischen Kanale. Wir haben keine Information über Robustheit und Performance 12.3 Pole und Nullstellen

12.3.1 Pole (jede Pol ist Pol SISO Eintrag!)

• Die Pole sind die Nullstellen des kleinsten gemeinsamen Nenners aller Minoren von P(s) (#Pole=Min.Ordnung)

• Bei MIMO Systeme Pole und NST haben auch Richtungen

1

12.3.2 Nullstellen (nicht jede NST ist NST SISO Eintrag!)

• NST sind die NST des grösster gemeinsamen Teilers der Zähler der maximalen Minoren (d.h. max Ordnung , nach Normierung auf den gleichen Nenner (Polpolynom).

à NST/Polen Vereinfachungen kommen vor nur falls Frequenzen und Richtungen übereinstimmen. Falls vollst. St. + Beo. Die Pole entsprechen die Eigenwerte von A.

12.4 Relative Gain Array (RGA) à GGW à w=0

à Normalerweise man wählt P11 als Strecke!

2

Bemerkungen:

• Matlab: P=freqresp(P_tf,w) à RGA=P .* pinv(P).’

• Ergebnis kann man dann in Bode Diagramm analysieren 12.4.1 Interpretation

1. Input-Output s.d. die Diagonalelemente von RGA sind fast 1 ist erwünscht (4 oben)

2. Versuchen keine negative Diagonalelemente zu haben, bei s=0 à Zeichenwechsel!

3. Grosse positive Diagonalwerte verbinden sich mit Schwierigkeiten für Design Diagonalregler.

13. Frequenzantworten von MIMO-Systemen

13.1 Singulärwertzerlegung 13.1.1 Induzierte Norm

Man definiert die induzierte (euklidische) Norm einer Matrix einer lineare Abbildung:

• In Worten: Maximale Amplifikation von Input u bis Output y

13.1.2 Graphische Interpretation

13.1.3 Zerlegung

Bemerkungen:

• M*M ist symmetrisch und positiv semidefinit àSW sind immer reelle Zahlen. U,V können komplex sein.

• Matlab: [U,S,V]=svd; A*=A’=conj(transponse(A))

• Motivation der Berechnung:

• U,V sind orthogonale Matrizen!

• Für komplexe Matrizen gilt

• Wichtig noch für U:

13.2 Frequenzantworten 13.2.1 Flashback: SISO Fall

Im SISO Fall hat man gezeigt dass für eine asymptotisch stabile Strecke P(s), mit harmonische Input u(t),erhalte man eine transiente Phase und eine Eingeschwungene Phase (Steady State). Mathematisch geshen war das:

13.2.2 Übergang zu MIMO: Phasoren

• Input:

• Output:

à Frequenzen sind in Input und Output immer gleich (Eigenschaft linearer Systeme)

à Das ist gültig für p=m, #Input=#Outputs

• 5.24 und 5.25 sind worst cases: Man hat keine allgemeine Gleichung !=!(!)

• Phasenverlauf ist nicht bestimmt!

13.2.3 Verstärkungen

• u(t) (max/min Verstärkung) ist in Richtung V angeregt :

• !(!)=!|!1|∙(cos(!")+ <(!1))

|!2|∙(cos(!")+ <(!1))! und man wählt entweder Spalte von V der max. !.

• y(t) ist in Richtung U angeregt

• !(!)=!!

|!1|∙(cos (!"+<(!1))

|!2|∙(cos(!")+ <(!1))

|!2|∙(cos(!")+ <(!1))

!

• Falls die drei Zeilen nicht in Phase sind, wird die maximale Verstärkung nie erreicht

13.2.4 Robustheit/Störungsunderdrückung

14. MIMO Reglerauslegung

14.1 Lineare quadratische Regulator (LQR) 14.1.1 Formulierung

Bemerkung:

Für SISO Fall ist das Kriterium

14.1.2 Zustandsrückführung (State Feedback)

à Gefundene K ist opitmal, d.h. aber nicht dass der Beste Regler ist! Man braucht nie ARW (kein offene Int.).

Hinreichende Bedingung für Existenz von !

• es ist aber möglich dass sie existiert auch ohne diese Bedingungen

• Zustandsrückführung ist Zeitinvariant

• Matlab: K=lqr(A,B,Q,R);

14.1.3 Resultierendes System (Frequenzbereich)

• Geschlossene Regelkreis ist automatisch asymptotisch stabil

14.2 LQRI

Man muss eine integrierende Aktion in Regler einführen, so dass man den statischen Nachlauffehler verhindern kann (wir integrieren genau den Fehler).

14.2.1 Formulierung

SISO:

à !"#$=1 à0.5<!<∞ à!≥60

14.2.2 Kochrezept

Bemerkungen:

• R ändert nicht da in Vergleich mit Input/Output von LQR, dieselbe Dimensionen hat.

• !>0 ist neue tuning parameter: man kann wählen wie stark integriende Aktion haben.

• Nachteil: Integrator in der Rückführung reduziert Robustheit des System in Bezug auf Stabilität.

14.3 LQG

14.3.1 Beobachter

Beim LQR hattet man als Annahme, dass x(t) verfügbar war

à Das ist aber in der Realität nicht der Fall: nur Input u und Output y sind bekannt. Mann kann aber diese Methode benutzen, in Kombination mit einem Filter: Beobachter.

Funktion des Beobachters ist eine Schätzung von x(t) zu machen. Man führt ein noch eine Rückführung die die beobachtete yo mit die wahre y vergleicht.

• Asymptotisch stabil à wir kriegen asymptotisch x(t)!

• Konvergenzspeed ist von Gain L abhängig!

• Psi ist nxn, L ist nxp,

• MATLAB: psi=lqr(A’,C’,B*B’,q)

14.3.2 LQG Regler

Separationsprinzip:

14.3.3 Kochrezept

14.3 LQG mit Reference Tracking

Falls man eine Reference Step anwendet, Fehler geht nie zu 0 und für jede weitere Step wird angeregt/erhöht.

Das wird verbessert mit geeignete Feedforward aktion: wir setzen zwei Referenzsignalen in zwei Punkten der Regler:

14.4 LQGI

Analogerweise zu LQR in LQG fehlt den Integrierende Verhalten à Wir führen ein Integrator und arbeiten analogerweise was wir schon gesehen haben.

14.4.1 Kochrezept

14.5 Extensions 14.5.1 Finite Horizon LQR

14.5.2 LQR Feedforward

14.5.3 Numerische Optimierung

Optimale Input u*(t in [0,T]) wird numerisch für das ganze

„planning window“ offline berechnet und als feedforward Signal benutzt, d.h. uuff=u*(t). Numerische Optimierung ist möglich falls die Länge der „planning window“ T beschränkt ist. Es gilt

Bemerkungen:

• LQR ist ein Spezialfall von NOC

• Ok, was aber falls etwas unerwartet vorkommt? Es fehlt Feedback

• NOC à obtain planned actionsà use only the first!

14.5.4 Model Predictive Control

Mit MPC löst man in jedem Zeitintervall die numerische Lösung des Optimierungsproblems, so dass ein Feedback System eingeführt wird:

à Classic vs. MPC:

Vorteile:

• Mit allen Modellen (Non/Lineare,Siso,Mimo,T otzeiten,Beschränkte)

• Jedes Ziel: Quadratfehler, Absolutfehler, Money,..

Nachteile:

• Nicht garantierte Stabilität

• Genauigkeit des Modells

• Computational demanding?

• Feasibility

14.6 LTR

Wir haben gesehen dass man bisher Abschätzungen gemacht hat: die Robustheit geht in diesen Fällen verloren und LTR ist eine Methode um sie ein wenig rückzugewinnen. Die

Grundidee ist einem LQR oder einen Beobachter auszulegen mit dem ein „nice“ System bekommt und danach ein LQG mit

Tuning Parameter aufzustellen. Der Parameter muss so gewählt werden, dass man das System zu dem „nice“ System bringt. Stabilität ist nicht ein Grund!

14.6.1 !−!"#$%&"

Bemerkungen:

• Gute werte von ! sind zwischen 2-5

• Man konnte bis jetzt K und L immer mit dem Befehl lqr bestimmen. ! kommt aber nur in Riccati Gleichungen vor, d.h. mann muss zuerst die mit care lösen und dann den Gainbestimmen.

14.6.2 LQG/LQR für !≥! (Standard)

14.6.3 LQG/LQR für !≥! (Dual)

14.6.4 Kallmann Filter

• LTR mit q>0 garantiert nicht Phasenreserve mindestens +/- 60!