Ein Modalmaß f¨ur Beobachtbarkeit und perspektivische Beobachtbarkeit linearer zeitinvarianter Systeme

Autoren: Richard Seeber, Nicolaos Dourdoumas, Martin Horn Journal: at – Automatisierungstechnik

DOI:10.1515/auto-2017-0015

Die Verlagsver¨offentlichung ist verf¨ugbar unter www.degruyter.com bzw.

unterhttps://dx.doi.org/10.1515/auto-2017-0015

Methoden

Richard Seeber*, Nicolaos Dourdoumas und Martin Horn

Ein Modalmaß für Beobachtbarkeit und perspektivische Beobachtbarkeit linearer zeitinvarianter Systeme

A modal measure for observability and perspective observability of linear time-invariant systems

https://doi.org/10.1515/auto-2017-0015

Eingang 20. Februar 2017; angenommen 14. August 2017

Zusammenfassung:Das Modalmaß nach Litz stellt eine einfache Möglichkeit zur quantitativen Bewertung der Be- obachtbarkeit eines Systems dar. Einen durch mehrfache Eigenwerte verursachten Beobachtbarkeitsverlust zeigt es jedoch mitunter nicht korrekt an. Vorliegender Beitrag schlägt eine Erweiterung vor, welche dieses Problem be- hebt. Im Weiteren wird gezeigt, dass sich das modifizier- te Maß leicht auf die perspektivische Beobachtbarkeit er- weitern lässt. Die praktische Anwendbarkeit des erwei- terten Maßes wird anhand eines anschaulichen Beispiels demonstriert.

Schlüsselwörter: Beobachbarkeitsmaß, Modalmaß, per- spektivische Beobachtbarkeit.

Abstract: The modal measure due to Litz is a simple method for quantitatively assessing a system’s observabil- ity. In some cases, however, it does not correctly reflect the loss of observability caused by eigenvalues with mul- tiplicities greater than one. The present contribution pro- poses an extension that remedies this problem. It is fur- thermore shown that this modified measure can easily be extended to assess also a system’s perspective observabil- ity. The practical applicability of the measure is demon- strated in the course of an illustrative example.

*Korrespondenzautor: Richard Seeber, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik, Technische Universität Graz, Inffeldgasse 21/B/I, 8010 Graz, Österreich,

E-Mail: richard.seeber@tugraz.at

Nicolaos Dourdoumas, Martin Horn: Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik, Technische Universität Graz, Inffeldgasse 21/B/I, 8010 Graz, Österreich

Keywords: Observability measure, modal measure, per- spective observability.

1 Einleitung

Dieser Beitrag befasst sich mit linearen zeitinvarianten Systemen der Form

dx

d𝑡 =Ax, y=Cx. ⁽¹⁾

Dabei bezeichnen die reellwertigen MatrizenA∈ ℝ^𝑛×𝑛und C∈ ℝ^𝑚×𝑛die System- bzw. die Ausgangsmatrix. Die Vek- torenx^undystellen den Zustands- resp. Ausgangsvektor dar. Der Anfangszustand wird mitx₀:=x(𝑡 = 0)^bezeich- net.

Betrachtet werden Beobachtbarkeitseigenschaften dieses Systems: einerseits die klassische Beobachtbarkeit nach Kalman, andererseits die sogenannte perspektivi- sche Beobachtbarkeit, die in [6] eingeführt wird. Letztere ist, wie später gezeigt wird, u. a. für Aufgaben aus der Bildverarbeitung relevant. Für ihre formale Definition wer- den die sogenannten homogenen Koordinaten [y]^eines Vektorsybenötigt. Diese sind für von Null verschiedene Vektoreny₁^,y₂durch die Äquivalenzrelation

[y₁] = [y₂] ⇔ y₁

󵄩󵄩󵄩󵄩y₁󵄩󵄩󵄩󵄩

= y₂

󵄩󵄩󵄩󵄩y₂󵄩󵄩󵄩󵄩

(2) definiert. Kenntnis von [y] bedeutet also Kenntnis der Richtung des Vektorsy, nicht aber seiner Länge.

Definition 1. Das System (1) heißt perspektivisch beob- achtbar, wenn aus Kenntnis des Funktionsverlaufs[y(𝑡)]

auf einem endlichen Zeitintervall𝑡 ∈ [0, 𝑇]mit𝑇 > 0der Anfangszustand in homogenen Koordinaten[x₀]eindeu- tig rekonstruierbar ist.

Grob gesprochen bedeutet perspektivische Beobachtbar- keit also Rekonstruierbarkeit der Richtung des Anfangszu- stands aus der Richtung des Ausgangsvektors.

Zur Überprüfung der Beobachtbarkeit dient u. a. das Popov-Belevich-Hautus Kriterium. Nach diesem ist das System (1) genau dann beobachtbar, wenn für alle Zahlen 𝜆aus den Eigenwerten𝑠₁, . . . , 𝑠_𝑛der SystemmatrixA^die sogenannte Hautus-Matrix

H_b(𝜆) := [𝜆E−A

C ] (3)

vollen Rang𝑛aufweist. Dabei bezeichnetEdie Einheits- matrix. In [3] wird gezeigt, dass für die perspektivische Be- obachtbarkeit der Rang einer ähnlich aufgebauten, soge- nannten erweiterten Hautus-Matrix

H_p(𝜆₁, 𝜆₂) := [(𝜆₁E−A)(𝜆₂E−A)

C ] (4)

für alle Paare𝜆₁, 𝜆₂zweier Eigenwerte der MatrixA^aus- schlaggebend ist.

Diese Kriterien erlauben prinzipiell nur eine binäre Aussage; eine quantitative Beurteilung der Eigenschaften, d. h. eine Beantwortung der Frage, wie „gut“ (perspekti- visch) beobachtbar ein System ist, ist mit ihnen nicht mög- lich. Letztere ist aber gerade für die Praxis von großer Bedeutung, z. B. wenn für ein gegebenes System aus ei- ner Reihe von Sensorkonfigurationen die beste ausgewählt werden soll.

Dieses Problem, die Bewertung der Eigenschaften Be- obachtbarkeit und perspektivische Beobachtbarkeit, ist Ge- genstand des vorliegenden Beitrags. Im Falle der Beob- achtbarkeit werden dazu in der Literatur verschiedene Möglichkeiten in Form sogenannter Beobachtbarkeitsma- ße bzw. Steuerbarkeitsmaße vorgeschlagen, siehe z. B. [14]

für einen Überblick. Letztere lassen sich aufgrund der Dua- lität der Eigenschaften unmittelbar auf die Beobachtbar- keit übertragen.

Ein solches Maß ist das in [16] eingeführte Distanz- maß. Dieses ist durch die Norm der kleinsten Störung ge- geben, die zu einem Beobachtbarkeitsverlust führt, d. h.¹

𝜇 := min

𝛿A,𝛿C{󵄩󵄩󵄩

󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩[𝛿A 𝛿C]󵄩󵄩󵄩

󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2

󵄨󵄨󵄨󵄨󵄨󵄨

󵄨(A+ 𝛿A,C+ 𝛿C)nicht beob.}. (5)

1 Es bezeichnet‖M‖2die Spektralnorm, d. h. den größten Singulär- wert der MatrixM.

Es lässt sich durch Minimieren des kleinsten Singulärwer- tes der MatrixH_b(𝜆)bezüglich𝜆ermitteln [5]. In [15] wird zur Vermeidung numerischer Probleme bei der Überprü- fung der perspektivische Beobachtbarkeit eine geradlini- ge Erweiterung dieses bereits sehr aufwändigen Optimie- rungsproblems vorgeschlagen. Man erhält dabei jedoch kein Distanzmaß für die perspektivische Beobachtbarkeit;

für dieses ergibt sich eine noch deutlich kompliziertere Optimierungsaufgabe [19].

Eine mögliche Alternative stellen sogenannte Modal- maße dar, welche die Möglichkeit zur getrennten Beurtei- lung der Beobachtbarkeit einzelner Eigenwerte (Modi) der MatrixAbieten. Im Vergleich zum Distanzmaß zeichnen sich diese in der Regel durch eine einfachere Berechnungs- vorschrift aus. Damit sind sie besonders gut geeignet, wenn z. B. im Rahmen von Parameterstudien unterschied- liche Sensor- oder Aktuatorkonfigurationen miteinander verglichen werden sollen, siehe z. B. [17,18,20,21].

Beim Modalmaß nach Litz [12], welches auf einem Vor- schlag von Lückel und Müller [10] basiert, wird dazu das Produkt von Ausgangsmatrix Cund den Eigenvektoren vonAherangezogen. In der englischsprachigen Literatur wird zu einem späteren Zeitpunkt ein ähnliches Maß von Hamdan und Nayfeh [8] vorgeschlagen sowie u. a. auch in [9,11,13] betrachtet. Seltener verwendet wird dagegen ein Ansatz von Tarokh [23], der die Bewertung der Beob- achtbarkeit anhand des Zählers der Übertragungsmatrix vom Systemzustand zum Ausgang vorschlägt. Beide An- sätze lassen sich anhand der Modalform (Diagonalform) des Systems anschaulich deuten. Sie weisen jedoch auch Schwachstellen auf.

Bevor auf diese näher eingegangen werden kann, wird zunächst die Bedeutung der Begriffe Beobachtbarkeits- maß und modales Beobachtbarkeitsmaß konkretisiert. Un- ter ersterem wird im Rahmen dieses Beitrags Folgendes verstanden (in der Literatur wird der Begriff mitunter libe- raler verwendet):

Definition 2. Eine Funktion 𝜇(A,C) heißt Beobachtbar- keitsmaß, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

1. Nichtnegativität:𝜇(A,C) ≥ 0

2. Konsistenz:𝜇(A,C) = 0 ⇔ (A,C)nicht beobachtbar 3. Stetigkeit:𝜇(A,C)ist stetig inA,C^.

Mitunter ist außerdem die Invarianz des Maßes unter be- stimmten (z. B. orthogonalen) Zustandstransformationen wünschenswert. Obige Definition ist aus praktischer Sicht vernünftig: Die Konsistenz garantiert, dass ein Verlust der Beobachtbarkeit durch den Wert Null angezeigt wird, wäh- rend die Stetigkeit sicher stellt, dass der Übergang zu Null nicht sprunghaft erfolgen kann. Unter einem modalen Be- obachtbarkeitsmaß wird Folgendes verstanden:

Definition 3. Eine Funktion𝜈_𝜆(A,C)heißt modales Beob- achtbarkeitsmaß, wenn sie für Eigenwerte𝜆vonA^{, d. h.}

fürdet(𝜆E−A) = 0, folgende Bedingungen erfüllt:

1. Nichtnegativität:𝜈_𝜆(A,C) ≥ 0.

2. Konsistenz:𝜈_𝜆(A,C) = 0 ⇔^rangH_b(𝜆) < 𝑛, d. h. der Eigenwert𝜆ist nicht beobachtbar.

3. Stetigkeit:𝜈_𝜆(A,C)ist stetig inA,C, 𝜆. Das Minimum

𝜈(A,C) := min

𝑘 𝜈_𝑠𝑘(A,C) ⁽⁶⁾

eines Modalmaßes bezüglich der Eigenwerte𝑠₁, . . . , 𝑠_𝑛von Aist damit ein Beobachtbarkeitsmaß.

Die zuvor erwähnten Schwachstellen der Maße nach Litz bzw. Tarokh treten im Zusammenhang mit Systeme mit mehrfachen Eigenwerten auf. Die Berechnung der bei- den Maße für solche Systeme wird zwar in [10] bzw. [23]

diskutiert, jedoch unter Verwendung von Fallunterschei- dungen. Beim Übergang von einfachen zu mehrfachen Ei- genwerten sind die Maße dadurch mitunter nicht stetig, sodass es sich streng genommen nicht um Modalmaße im Sinne von Definition3handelt. Formal lässt sich dieser Umstand zwar dadurch beheben, dass die Maße nur für Systeme mit einfachen Eigenwerten definiert werden; wie anhand eines Beispiels eindrucksvoll gezeigt werden wird, führt dies aber nicht unbedingt zu sinnvollen Ergebnissen.

Motiviert durch diesen Umstand stellt der vorliegen- de Beitrag zunächst eine Erweiterung des Maßes nach Litz zu einem konsistenten und stetigen Modalmaß für die Be- obachtbarkeit vor. Anschließend wird davon ausgehend ein Modalmaß für die perspektivische Beobachtbarkeit vorgeschlagen. Dazu werden in Abschnitt2kurz die bei- den erwähnten Modalmaße näher erläutert und anhand eines Beispiels die diskutierten Schwachstellen gezeigt.

Anschließend wird die genannte Erweiterung für die Be- obachtbarkeit diskutiert. Wichtige Eigenschaften des vor- geschlagenen Maßes, insbesondere dessen nicht unmittel- bar ersichtliche Stetigkeit, sowie eine Methode zu dessen Abschätzung bei ungenau bekannten Systemdaten wer- den diskutiert. In Abschnitt3 wird die Eigenschaft per- spektivische Beobachtbarkeit anhand eines Beispiels ver- anschaulicht und das bereits erwähnte Kriterium für die perspektivische Beobachtbarkeit erläutert. Dann wird ein Modalmaß für diese Eigenschaft vorgestellt und dessen Berechnung demonstriert. Abschnitt4schließlich gibt ei- ne Zusammenfassung des Beitrags an.

2 Modales Beobachtbarkeitsmaß

Es werden zunächst zwei existierende Vorschriften zur Be- rechnung von Maßzahlen diskutiert. Dabei wird gezeigt, dass diese Definition3prinzipbedingt nicht erfüllen kön- nen. Anschließend wird ein neues Maß vorgeschlagen, welches diese Schwachstellen nicht aufweist, und dessen Berechnung anhand eines Beispiels demonstriert. Wichti- ge Eigenschaften dieses Maßes, u. a. Konsistenz und Ste- tigkeit, werden gezeigt. Schließlich wird im Rahmen eines Beispiels die Möglichkeit zur Abschätzung des Maßes bei ungenau bekannten Systemdaten diskutiert.

2.1 Existierende Maßzahlen

Zur Bewertung der Beobachtbarkeit des Eigenwertes𝜆der MatrixAmit zugehörigem Eigenvektorpschlägt Litz in [12]

folgende Maßzahl vor:

𝜅_𝜆(A,C) := p^HC^TCp

p^Hp ^mit(𝜆E−A)p=0. (7) Darin bezeichnetp^Hden konjugiert komplexen und trans- ponierten Vektorp. Die von Tarokh in [23] vorgeschlagene Maßzahl ist durch

𝜉_𝜆(A,C) :=󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩C(𝜆E−A)⁻¹det(𝜆E−A)󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2

=󵄩󵄩󵄩󵄩Cadj(𝜆E−A)󵄩󵄩󵄩󵄩2 (8) gegeben. Bei diesen Ausdrücken wird jeweils vorausge- setzt, dass A einfache Eigenwerte besitzt; für die Vor- gangsweise bei mehrfachen Eigenwerten sei auf [10]

bzw. [23] verwiesen.

Man kann folgenden Zusammenhang der beiden Ma- ße zeigen: Bezeichnen𝜎₁≥ 𝜎₂≥ . . . ≥ 𝜎_𝑛= 0die Singulär- werte der Matrix𝜆E−A^{, so gilt}

𝜉_𝜆= √𝜅_𝜆⋅

𝑛−1

∏

𝑖=1

𝜎_𝑖. (9)

Die erwähnten Schwachstellen der beiden Maße wer- den anhand eines Beispiels demonstriert. Für das folgende System mit zwei möglichen AusgangsmatrizenC₁^undC₂

A= [1 0

0 1 + 𝛼] , C₁= [1 1] , C₂ =E ⁽¹⁰⁾ lauten die Eigenwerte𝑠₁= 1und𝑠₂= 1 + 𝛼; unter der Vor- aussetzung𝛼 ̸= 0erhält man sowohl fürC=C₁^{als auch} fürC=C₂(!) die Maßzahlen

𝜅_𝑠1= 𝜅_𝑠2= 1 (11)

𝜉_𝑠

1 = 𝜉_𝑠

2 = |𝛼| . ⁽¹²⁾

FürC=C₁^hat𝛼offensichtlich einen Einfluss auf die Be- obachtbarkeit, da(A,C₁)für𝛼 = 0nicht beobachtbar ist.

Dennoch sind die Maßzahlen nach Litz unabhängig von𝛼 und verschieden von Null! Deren konsistente Festlegung für𝛼 = 0führt in diesem Fall somit zwangsläufig zu ei- ner Unstetigkeit. FürC=C₂ ist der Zustand vollständig messbar, sodass𝛼keinen Einfluss auf die Beobachtbarkeit hat. Für diesen Fall liefert das Maß nach Tarokh ein wider- sprüchliches Ergebnis, da es mit verschwindendem𝛼ge- gen Null strebt.

2.2 Modifiziertes Modalmaß

Nachfolgend wird eine Modifikation des Maßes nach Litz vorgeschlagen, die das gezeigte Problem behebt. Dazu wird bei gegebenem Eigenwert 𝜆die Singulärwertzerle- gung

𝜆E−A=UΣV^H=Udiag (𝜎_𝑗)V^{H (13)} der Matrix𝜆E−Abetrachtet. Die in der DiagonalmatrixΣ enthaltenen (geordneten) Singulärwerte werden dabei mit 𝜎₁ ≥ 𝜎₂≥ . . . ≥ 𝜎_𝑛= 0bezeichnet. Die𝑛 × 𝑛MatrizenU undVsind unitär.

Für die weiteren Betrachtungen werden die Spalten der MatrixV

V=: [v₁ . . . v_𝑛] , (14) benutzt. Insbesondere werden die Matrizen

P_𝑖 := [v_𝑖 v_𝑖+1 . . . v_𝑛] , (15) für𝑖 = 1, . . . , 𝑛betrachtet, die sich aus den letzten𝑛 − 𝑖 + 1 Spalten vonVergeben. Da (zumindest) der letzte Singu- lärwert𝜎_𝑛gleich Null ist, istv_𝑛(d. h. die einzige Spalte der MatrixP_𝑛) ein Eigenvektor zum betrachteten Eigenwert𝜆. Mitunter gilt dies aber auch für weitere Spalten vonV^{; ist}𝜆 ein mehrfacher Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit 𝑞, so gilt𝜎_{𝑛−𝑞+1}= . . . = 𝜎_𝑛−1= 𝜎_𝑛= 0und die Spalten von P_{𝑛−𝑞+1}spannen den𝑞-dimensionalen Eigenraum zu𝜆^auf.

Ist in diesem Fall die MatrixCP_{𝑛−𝑞+1}nicht spaltenregulär, gilt alsoCp=0für eine Linearkombinationpder Spalten vonP_{𝑛−𝑞+1}, so ist das System nicht beobachtbar. In einem solchen Fall gilt nämlich

H_b(𝜆) ⋅p=0, ⁽¹⁶⁾

d. h. die MatrixH_bweist einen Rangverlust auf.

Dadurch motiviert werden zur Beurteilung der Spal- tenregulärität der MatrizenCP_𝑖 ⁽𝑖 = 1, . . . , 𝑛) die Zahlen

𝛾_𝑖:= √𝜎_min(P^H_𝑖 C^TCP_𝑖) = {𝜎_min(CP_𝑖) rangP_𝑖≤ 𝑚

0 ^sonst

(17)

eingeführt, wobei 𝜎_min jeweils den kleinsten Singulär- wert der Matrix bezeichnet. Diese Zahlen 𝛾_𝑖 weisen ein zu den Singulärwerten𝜎₁, . . . , 𝜎_𝑛gegenläufiges Verhalten auf. Erstere werden mit zunehmendem Index größer, wäh- rend letztere kleiner werden:

𝜎₁≥ 𝜎₂ ≥ . . . ≥ 𝜎_𝑛= 0, (18a)

√𝜎_min(C^TC) = 𝛾₁ ≤ 𝛾₂≤ . . . ≤ 𝛾_𝑛= √v_𝑛^HC^TCv_𝑛. (18b) Anhand der vorangegangenen Überlegungen ist klar, dass der Eigenwert𝜆genau dann nicht beobachtbar ist, d. h.

rangH_b(𝜆) < 𝑛, wenn es einen Index 𝑙 gibt, für den 𝜎_𝑙= 𝛾_𝑙 = 0gilt. Es wird daher

𝜂_𝜆(A,C) := min

𝑙 √𝜎²_𝑙 + 𝛾_𝑙² (19)

als modifizierte Maßzahl zur Bewertung der Beobachtbar- keit des Eigenwertes𝜆vorgeschlagen (𝜎_𝑙 ^und𝛾_𝑙^hängen hier klarerweise vonA,C^und𝜆ab). Anhand der Unglei- chung

𝜂_𝜆(A,C) ≤ √𝜎²_𝑛+ 𝛾_𝑛²= 𝛾_𝑛≤ ‖C‖₂ ⁽²⁰⁾ ist offensichtlich, dass diese Maßzahl nach oben jedenfalls durch die Spektralnorm‖C‖₂^{der Matrix}Cbeschränkt ist.

Dieser Umstand erlaubt es, den erhaltenen Zahlenwert 𝜂 auf einer Skala zwischen nicht beobachtbarem (𝜂 = 0) und perfekt beobachtbarem System (𝜂 = ‖C‖₂) einzuordnen;

letzterer Fall liegt z. B. fürC=E, d. h. bei Messung aller Zustandsgrößen vor.

Unter der Voraussetzung einfacher Eigenwerte ist𝛾_𝑛 gleich der Wurzel des ursprünglichen Maßes√𝜅_𝜆^{. Man er-} kennt dies anhand von (18b) unter Berücksichtigung der Tatsache, dass v_𝑛 ein Eigenvektor zum Eigenwert 𝜆^mit v^H_𝑛v_𝑛= 1ist. Damit hängt das modifizierte Maß𝜂_𝜆mit der ursprünglichen Maßzahl𝜅_𝜆über die Ungleichung²

𝜂_𝜆≤ √𝜅_𝜆 ⁽²¹⁾

zusammen, wobei Gleichheit gilt, wenn das Minimum in (19) für𝑙 = 𝑛angenommen wird.

2 Die hier auftretende Wurzel ist in Relation (19) bedingt; deren Ein- führung hat den kosmetischen Grund, dass eine Verdopplung der AusgangsmatrixCso zu einer Verdopplung des Maßes führt, anstatt wie beim ursprünglichen Maß zu einer Vervierfachung.

2.3 Beispiel

Es wird erneut das System mit den in (10) angegebenen Daten betrachtet. Für den Eigenwert𝑠₁ = 1erhält man für C=C₁^bzw.C=C₂

𝜎₁ = |𝛼| , 𝜎₂ = 0; ^(22a)

𝛾₁ = {0 C=C₁

1 C=C₂, 𝛾₂ = 1. (22b) Gleiches gilt für𝑠₂= 1 + 𝛼. Die Maßzahlen ergeben sich zu

𝜂_𝑠

1= 𝜂_𝑠

2 = {min(|𝛼| , 1) < √2 = ‖C‖₂ C=C₁ min(√1 + 𝛼², 1) = 1 = ‖C‖₂ C=C₂.

(23) Vergleicht man diese mit der Wurzel der ursprünglichen Maßzahlen nach Litz

√𝜅_𝑠1 = √𝜅_𝑠2 = 1, (24) so erkennt man, dass fürC=C₁bei geringem Abstand der Eigenwerte deren Differenz𝛼automatisch in das Maß ein- geht und so den Beobachtbarkeitsverlust bei einem zwei- fachen Eigenwert anzeigt. FürC=C₂dagegen zeigt das Maß durch Gleichheit mit der oberen Schranke (20) die vollständige Messbarkeit aller Zustandsgrößen an.

2.4 Eigenschaften des modifizierten Maßes

Neben der Eigenschaft der Konsistenz, d. h.

𝜂_𝜆= 0 ⇔ rangH_b(𝜆) < 𝑛, (25) die im Rahmen der Konstruktion des modifizierten Maßes gezeigt wurde, ist das vorgeschlagene Maß invariant ge- genüber unitären Zustandstransformationen und stetig in den Systemdaten. Die Invarianz gegenüber unitären Zu- standstransformationen ist dabei eine direkte Konsequenz der Invarianz der Singulärwerte bezüglich der Multiplika- tion mit unitären Matrizen und lässt sich leicht überprü- fen. Die Stetigkeit ist nicht unmittelbar ersichtlich. Hier ist zunächst lediglich klar, dass die Eigenwerte der MatrixA stetig in deren Einträgen sind, und somit auch die (nach- folgend mitMabgekürzte) Matrix𝜆E−A^{stetig in}A^{ist. Die} inVenthaltenen Singulärvektoren sind jedoch nicht not- wendigerweise stetig inM. Insbesondere istV^{nicht ein-} mal eindeutig festgelegt, z. B. sind

M=UΣV^H = (−U)Σ(−V)^{H (26)} zwei mögliche Singulärwertzerlegungen vonM. In [2] wird die Existenz und Berechnung einer stetigen Singulärwert-

zerlegung gezeigt; dies erfolgt jedoch unter der Vorausset- zung paarweise verschiedener Singulärwerte, wovon hier nicht ausgegangen werden kann.

Zum Nachweis der Stetigkeit wird daher folgendes Lemma formuliert, welches den Einfluss von Änderun- gen der MatrizenM^undCauf die Zahlen𝜎_𝑗^und𝛾_𝑗^an- gibt. Sein Beweis basiert auf Ergebnissen der Matrizen- Störtheorie [1,22,24,25] und ist im Anhang angegeben.

Lemma 1. Den Matrizen M:= 𝜆E − A ^und C ^bzw.

̃M:= ̃𝜆E− ̃A ^und ̃C seien auf die in Abschnitt 2.2 be- schriebene Weise die Zahlen 𝜎_𝑗 ^und 𝛾_𝑗 ^bzw. 𝜎_𝑗̃ ^und 𝛾_𝑗̃ (𝑗 = 1, . . . , 𝑛) zugeordnet³. Weiterhin seien für nichtnegati- ve Zahlen𝜀und𝛿die Ungleichungen

󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩M− ̃M󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2≤ 𝜀, 󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩C− ̃C󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2≤ 𝛿 (27)

erfüllt. Dann gilt

󵄨󵄨󵄨󵄨𝜎𝑟− ̃𝜎_𝑟󵄨󵄨󵄨󵄨 ≤ 𝜀 ^für𝑟 = 1, . . . , 𝑛 (28a)

󵄨󵄨󵄨󵄨𝛾𝑟− ̃𝛾_𝑟󵄨󵄨󵄨󵄨 = 0 ^für𝑟 = 1, . . . , 𝑛 − 𝑚. (28b) Für𝑟 = 𝑛 − 𝑚 + 1, . . . , 𝑛gilt mit der formalen Festlegung 𝜎₀ := ∞

󵄨󵄨󵄨󵄨𝛾𝑟− ̃𝛾_𝑟󵄨󵄨󵄨󵄨 ≤ 𝛿 + 3𝜀

𝜎_𝑟−1− 𝜎_𝑟‖C‖₂ ^(28c) jeweils unter der Voraussetzung, dass𝜀die Ungleichung

0 ≤ 3𝜀

𝜎_𝑟−1− 𝜎_𝑟 ≤ 1 (29)

erfüllt.

Gemäß diesem Lemma hängt für festen Index𝑟die Zahl𝜎_𝑟 immer und die Zahl𝛾_𝑟unter der Voraussetzung𝜎_𝑟−1> 𝜎_𝑟 (oder 𝑟 = 1) stetig von A^undCab. Unstetigkeitsstellen können also höchstens bei𝛾_𝑟 auftreten, wenn𝜎_𝑟−1= 𝜎_𝑟 gilt. Diese können aber keine Unstetigkeit des Maßes selbst zur Folge haben. In diesem Fall wird nämlich wegen der aus𝛾_𝑟−1 ≤ 𝛾_𝑟resultierenden Ungleichung

√𝜎_𝑟−1² + 𝛾_𝑟−1² = √𝜎²_𝑟+ 𝛾_𝑟−1² ≤ √𝜎²_𝑟+ 𝛾_𝑟² (30) das Minimum in (19) niemals für𝑙 = 𝑟angenommen, so- dass𝛾_𝑟nicht in das Maß eingeht.

3 Für die Gültigkeit des Lemmas ist es nicht erforderllich, dass𝜆bzw.

̃𝜆Eigenwerte der MatrizenAbzw.Ãsind.

2.5 Beispiel zum Einfluss fehlerhafter Systemdaten

Oft sind die Daten eines Systems nicht exakt bekannt. In solch einem Fall ist es von Interesse, wie stark sich das Be- obachtbarkeitsmaß bei kleinen Änderungen der Matrizen A^undCändern kann. Anhand eines Beispiels wird de- monstriert, dass Lemma1auch zur Beantwortung dieser Frage herangezogen werden kann.

Es wird das System aus Relation (10) mitC=C₁^be- trachtet. Die realen Systemdaten seien nun durch die Ma- trizenÃ^undC̃^mit

󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩A− ̃A󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2≤ 𝜀

2 C= ̃C ⁽³¹⁾

gegeben. Es wird die Änderung des zugehörigen Maßes𝜂̃_̃𝑠

1

gegenüber dem zuvor für den Eigenwert𝑠₁= 1erhaltenen Maß

𝜂_𝑠

1 = min(|𝛼| , 1) ⁽³²⁾

untersucht.

Da die Systemmatrix A Diagonalstruktur aufweist, kann die Differenz der Eigenwerte𝑠₁und ₁̃𝑠 der Matrizen A^undà ^durch

󵄨󵄨󵄨󵄨𝑠1− ̃𝑠₁󵄨󵄨󵄨󵄨 ≤󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩A− ̃A󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2 ≤ 𝜀

2 ⁽³³⁾

abgeschätzt werden [22]. Unter Verwendung der Nomen- klatur von Lemma1gilt also

󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩M− ̃M󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2=󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩(𝑠¹E−A) − ( ̃𝑠₁E− ̃A)󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2

≤󵄨󵄨󵄨󵄨𝑠1− ̃𝑠₁󵄨󵄨󵄨󵄨 ‖E‖₂+󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩A− ̃A󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2 ≤ 𝜀. (34) Unabhängig vonÃgilt prinzipiell𝜎̃₂= ̃𝛾₁= 0^{, d. h.}

̃𝜂_̃𝑠1 = min( ̃𝜎₁, ̃𝛾₂). ⁽³⁵⁾ Es werden nun die folgenden drei Fälle unterschieden:

|𝛼| > 3√2𝜀, 3√2𝜀 ≥ |𝛼| > 3𝜀, 3𝜀 ≥ |𝛼| . ⁽³⁶⁾ Gilt|𝛼| > 3√2𝜀, so erhält man anhand von Lemma1die Abschätzungen

̃𝜎₁∈ [|𝛼| − 𝜀, |𝛼| + 𝜀], ^(37a)

̃

𝛾₂∈ [1 − 3√2

|𝛼| 𝜀, 1 + 3√2

|𝛼| 𝜀]. (37b) In diesem Fall gilt also

̃

𝜂_1̃𝑠 ≥ min(|𝛼| − 𝜀, 1 − 3√2

|𝛼| 𝜀) > 0, (38a)

̃

𝜂_1̃𝑠 ≤ min(|𝛼| + 𝜀, 1 + 3√2

|𝛼| 𝜀). (38b)

Für3√2𝜀 ≥ |𝛼| > 3𝜀gelten die Abschätzungen

̃

𝜎₁∈ [|𝛼| − 𝜀, |𝛼| + 𝜀], (39a)

̃

𝛾₂∈ [0, 1 + 3√2

|𝛼| 𝜀] (39b)

und man erhält 0 ≤ ̃𝜂_̃𝑠

1 ≤ min(|𝛼| + 𝜀, 1 +3√2

|𝛼| 𝜀). (40) Gilt schließlich3𝜀 ≥ |𝛼|, so ergeben sich unter Berücksich- tigung von𝛾₂̃ ≤ ‖C‖₂die Abschätzungen

̃𝜎₁ ∈ [max(0, |𝛼| − 𝜀), |𝛼| + 𝜀], ^(41a)

̃

𝛾₂ ∈ [0, √2] ^(41b)

und damit

0 ≤ ̃𝜂_̃𝑠1≤ |𝛼| + 𝜀 ≤ 4𝜀. ⁽⁴²⁾ In Abbildung1sind das ursprüngliche Maß𝜅_𝑠

1, das modi- fizierte Maß𝜂_𝑠1sowie die ermittelten oberen und unteren Schranken von𝜂̃_̃𝑠

1 für zwei Werte von𝜀dargestellt. Man kann erkennen bzw. auch anhand der vorangegangenen Rechnung verifizieren, dass beispielsweise für |𝛼| > 0,5 das Maß𝜂̃_1̃𝑠 (für𝜀 = 0,1) garantiert ungleich Null ist. Dar- aus kann trotz ungenauer Kenntnis der SystemdatenA, ̃̃ C auf die Beobachtbarkeit des Systems geschlossen werden.

Abbildung 1: Ursprüngliches Modalmaß𝜅_𝑠1, modifiziertes Modalmaß 𝜂𝑠1sowie aus󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩A− ̃A󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2≤₂^𝜀resultierende Schranken von ̃𝜂1̃𝑠 für zwei Werte von𝜀.

3 Perspektivische Beobachtbarkeit

Wie in der Einleitung angemerkt, ist die perspektivische Beobachtbarkeit u. a. in der Bildverarbeitung von Bedeu- tung. Dies wird zunächst anhand eines anschaulichen Bei- spiels aus diesem Bereich diskutiert. Anschließend wird auf das erwähnte Kriterium (4) eingegangen. Davon aus- gehend wird das erweiterte Modalmaß auf die perspekti- vische Beobachtbarkeit übertragen und anschließend auf das Beispiel angewandt.

3.1 Einleitendes Beispiel

Zur Veranschaulichung der Zusammenhänge wird ein Kör- per im dreidimensionalen Raum betrachtet, welcher einer Drehung und einer Linearbewegung unterworfen ist. Kon- kret erfüllt ein Punktpauf diesem Körper die Differential- gleichung

dp

d𝑡 =Ωp+v. ⁽⁴³⁾

Dabei istvein konstanter Geschwindigkeitsvektor und die schiefsymmetrische MatrixΩergibt sich aus dem Parame- tervektor𝜔:= [𝜔₁ 𝜔₂ 𝜔₃]^Tgemäß

Ω:= [ [

0 −𝜔₃ 𝜔₂ 𝜔₃ 0 −𝜔₁

−𝜔₂ 𝜔₁ 0 ] ]

. (44)

Wie man leicht ermitteln kann, lautet das charakteristi- sche Polynom dieser Matrix

det(𝑠E−Ω) = 𝑠(𝑠²+𝜔^T𝜔). (45) Die Winkelgeschwindigkeit der Drehung ist dabei durch 𝜔 := √𝜔^T𝜔gegeben. Der Vektor𝜔ist Eigenvektor zum Ei- genwert Null und zeigt in Richtung der Rotationsachse.

Dieser Körper bzw. insbesondere der Punktp^werde durch eine Kamera gefilmt. Damit wird auf deren Bildebe- ne die perspektivische Projektionp̃des Punktesp^abgebil- det. Ist der Brennpunkt der Kamera durchfgegeben und die Bildebene der Kamera durch die Gleichungf^Tp̃= 0be- stimmt, so lässt sich dieser Zusammenhang durch

̃p= E−^f⋅fT_fT⋅f

1 −^f_f^T_T^⋅p_⋅f p ⁽⁴⁶⁾ mathematisch beschreiben. Die Brennweite der Kamera hat dabei den Wert𝑓 := √f^Tf^.

In Abbildung 2 sind beispielhafte Trajektorien des Punktespund des zugehörigen Bildpunktesp̃für die Pa- rameterwerte

𝜔= [−1 2 2]^T, ^(47a)

v= [1 0 0]^T, (47b)

f = [0 −1 0]^T (47c)

dargestellt. Bildebene ist in diesem Fall die durch𝑦 = 0 charakterisierte𝑥-𝑧-Ebene, die Brennweite beträgt𝑓 = 1. Führt man den Zustandsvektorx:= [𝑤p^T 𝑤]^Tmit der konstanten Größe𝑤 ̸= 0ein, so istpeine mögliche Dar- stellung vonxin homogenen Koordinaten, d. h.[p] = [x]^. Durch Festlegung der Ausgangsgröße

y:= 𝛽 [ [

𝑤(E− ^f⋅f_fT^T_⋅f)p 𝑤(1 − ^f_f^T_T^⋅p_⋅f)

] ]

(48)

mit der (beliebigen) Konstante𝛽 ̸= 0besteht derselbe Zu- sammenhang zwischenp̃^undy. Man erhält somit ein Sys- tem der Form (1) mit den Daten

A= [Ω v 0^T 0] =[

[[ [

0 −2 2 1

2 0 1 0

−2 −1 0 0

0 0 0 0

]] ] ]

, ^(49a)

C= 𝛽 [ [

E− ^ff_fT^T_f 0

−_f^f_T^T_f 1 ] ]

=[ [[ [

𝛽 0 0 0

0 0 0 0

0 0 𝛽 0

0 𝛽 0 𝛽

]] ] ]

, (49b)

Abbildung 2: Trajektorien des Punktespund dessen perspektivischer Projektionp̃in die𝑥-𝑧-Ebene.

wobei sich die angegebenen Zahlenwerte für die Parame- ter aus Relation (47) ergeben. Man erkennt, dass die zwei- te Komponente vonybzw. die zweite Zeile vonC^gleich Null sind und daher entfernt werden könnten. Ihre Bei- behaltung hat jedoch keinen Einfluss auf die Ergebnisse.

Für die Rekonstruierbarkeit des Punktespbei Kenntnis ei- ner Trajektorie des Bildpunktesp̃ist damit die perspekti- vische Beobachtbarkeit dieses Systems (für einen beliebi- gen, konkreten Wert von𝛽) ausschlaggebend.

3.2 Kriterium

Bevor das in [3] angegebene Kriterium für die perspekti- vische Beobachtbarkeit formuliert wird, müssen zwei Fäl- le unterschieden werden. Ist der Anfangszustand des Sys- tems auf reelle Werte eingeschränkt, gilt alsox₀∈ ℝ^{𝑛, so} spricht man von perspektivischer Beobachtbarkeit überℝ, andernfalls – wennx₀komplexwertig sein kann – von per- spektivischer Beobachtbarkeit überℂ. Nur über ℂexis- tiert ein (uneingeschränkt gültiges⁴) notwendiges und hin- reichendes Kriterium:

Satz 1 ([3]). Das System (1) ist genau dann perspektivisch beobachtbar überℂ, wenn die in Relation (4) definierte Ma- trixH_pfür alle Paare𝜆₁, 𝜆₂ je zweier (nicht notwendiger- weise unterschiedlicher) Eigenwerte der MatrixA^{die Rang-} bedingung

rangH_p(𝜆₁, 𝜆₂) = 𝑛 (50) erfüllt. Überℝist diese Bedingung nur hinreichend, nicht aber notwendig.

Mit der AbkürzungΛ(A)für die Menge der Eigenwerte von Agelten somit die Zusammenhänge

Rangbedingung (50)

∀𝜆₁, 𝜆₂ ∈ Λ(A) ⇔perspektivisch

beob. überℂ ⇒ perspektivisch beob. überℝ. Für die folgenden Betrachtungen zur Bewertung der perspektivischen Beobachtbarkeit wird ausschließlich der komplexwertige Fall betrachtet, für welchen das Rang- kriterium notwendig und hinreichend ist. Dies mag wi- dersprüchlich erscheinen, da auf diese Weise nur eine Bewertung der perspektivischen Beobachtbarkeit überℂ möglich ist, während beim diskutierten Beispiel offen- sichtlich der reellwertige Fall von praktischer Bedeutung ist. Als Motivation dient dabei, dass ein überℂnicht (oder

4 Kriterien für die perspektivische Beobachtbarkeit überℝ, die unter zusätzlichen Voraussetzungen bezüglich der SystemmatrixAnotwen- dig und hinreichend sind, werden in [4,19] untersucht.

„schlecht“) perspektivisch beobachtbares System, auch wenn es überℝ („gut“) perspektivisch beobachtbar ist, aus praktischer Sicht ein Problem darstellt: Es bedarf näm- lich auf jeden Fall einer weiteren Untersuchung, die man- gels dafür geeigneter Kriterien mitunter nicht ohne weite- res durchführbar ist.

Durch Einführen des sogenannten Dimensionsverlus- tes𝑑ist es möglich, Definition1sowie Satz1zu verallge- meinern [7]; dabei erhält man für𝑑 = 0die klassische Be- obachtbarkeit und für𝑑 = 1den diskutierten Fall perspek- tivischer Beobachtbarkeit. Diese Verallgemeinerung wird der Einfachheit halber hier nicht betrachtet, die nachfol- genden Überlegungen lassen sich aber geradlinig darauf übertragen.

3.3 Modalmaß für perspektivische Beobachtbarkeit

Die Erweiterung von Definition2zu einer Definition von Maßen für die perspektivische Beobachtbarkeit ist evi- dent. Für Modalmaße wird in diesem Zusammenhang fol- gende Definition benutzt:

Definition 4. Eine Funktion𝜈_𝜆(A,C)heißt modales Maß für die perspektivische Beobachtbarkeit, wenn sie für Ei- genwerte𝜆vonA, d. h. fürdet(𝜆E−A) = 0, folgende Be- dingungen erfüllt:

1. Nichtnegativität:𝜈_𝜆(A,C) ≥ 0^.

2. Konsistenz: 𝜈_𝜆(A,C) = 0 ⇔ für ein 𝜆₂ gilt rangH_p(𝜆, 𝜆₂) < 𝑛, d. h. ein 𝜆 enthaltendes Ei- genwertpaar ist nicht perspektivisch beobachtbar.

3. Stetigkeit:𝜈_𝜆(A,C)ist stetig inA,C, 𝜆^.

Das in Abschnitt 2.2 vorgestellte modifizierte Beobacht- barkeitsmaß lässt sich in relativ einfacher Weise auf die perspektivische Beobachtbarkeit über ℂ erweitern: Zur Bewertung der perspektivischen Beobachtbarkeit des Ei- genwertpaars(𝜆₁, 𝜆₂)reicht es aus, die Matrix𝜆E−Aⁱⁿ Relation (13) durch

(𝜆₁E−A)(𝜆₂E−A) =Udiag (𝜎_𝑗)V^{H (51)} zu ersetzen. Die zum Singulärwert Null gehörigen Spal- ten vonVstellen damit Linearkombinationen von Rechts- eigenvektoren (bzw. bei doppelten Eigenwerten ggf. von Eigen- und Hauptvektoren) zu diesen Eigenwerten dar.

Für die perspektivische Beobachtbarkeit über ℂ ist gemäß Satz1die lineare Unabhängigkeit dieser Spalten nach Multiplikation mit der MatrixC ausschlaggebend.

Durch Berechnung der Zahlen 𝛾₁, . . . , 𝛾_𝑛 gemäß Relati-

on (17) lässt sich diese beurteilen, und man kann durch die Maßzahl

𝜒_𝜆

1,𝜆2(A,C) = min

𝑙 √𝜎_𝑙²+ 𝛾_𝑙² (52) die perspektivische Beobachtbarkeit des betrachteten Ei- genwertpaares𝜆₁, 𝜆₂bewerten.

Ein Modalmaß für die perspektivische Beobachtbar- keit im Sinne von Definition4ist dann durch das Minimum der Maßzahlen aller Eigenwertpaare gegeben, die den zu bewertenden Eigenwert𝜆enthalten. Mit den Eigenwerten 𝑠₁, . . . , 𝑠_𝑛der MatrixAist es durch

𝜒_𝜆(A,C) := min

𝑘 𝜒_{𝜆,𝑠𝑘}(A,C) ⁽⁵³⁾

gegeben.

Die in Abschnitt2.4angegebenen Eigenschaften gel- ten offensichtlich (sinngemäß) auch für dieses Maß. Es handelt sich also um ein konsistentes Maß, welches stetig inA^undCsowie invariant bezüglich unitärer Zustands- transformationen ist. Des weiteren kann auch hier Lem- ma1verwendet werden, um den Einfluss fehlerhafter Sys- temdaten auf die Maßzahlen abzuschätzen.

Der praktischen Verwendbarkeit dieses Maßes steht noch im Wege, dass die AusgangsmatrixC, wie im Bei- spiel in Abschnitt3.1gezeigt, mitunter nur bis auf ein ska- lares Vielfaches festgelegt ist. Um eine sinnvolle Bewer- tung zu ermöglichen, ist in einem solchen Fall daher eine Normierung der Ausgangsmatrix notwendig. Eine Möglich- keit dazu, die im Hinblick auf die zu Relation (20) analoge Schranke𝜒_𝜆≤ ‖C‖₂sinnvoll erscheint, ist die Skalierung der MatrixCso, dass für deren Spektralnorm gilt:

‖C‖₂ = 1. (54)

3.4 Beispiel zur Berechnung des Modalmaßes

Das vorgeschlagene Maß wird nun für das in Abschnitt3.1 beschriebene Beispiel ermittelt. Als Parameter werden

v=𝜔= [−3 sin 𝜓 5 cos 𝜓 4 sin 𝜓]^T, (55a)

f = [0 −1 0]^T, (55b)

mit dem Winkel𝜓 ∈ [−^𝜋₂,^𝜋₂]verwendet. Diese Wahl hat zur Folge, dass unabhängig von𝜓die Winkelgeschwindigkeit den Wert√𝜔^T𝜔= 5hat und der Punkt sich in Richtung der Rotationsachse bewegt. Unter Berücksichtigung der Nor-

mierungsbedingung (54) erhält man𝛽 = _√2¹ . Die System- daten gemäß (49a) sind damit durch

A=[ [[ [

0 −4 sin 𝜓 5 cos 𝜓 −3 sin 𝜓 4 sin 𝜓 0 3 sin 𝜓 5 cos 𝜓

−5 cos 𝜓 −3 sin 𝜓 0 4 sin 𝜓

0 0 0 0

]] ] ]

, ^(56a)

C= 1

√2 [[ [ [

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 ]] ] ]

(56b)

gegeben. Die MatrixAbesitzt die von𝜓unabhängigen Ei- genwerte

𝑠₁= 5𝑗, 𝑠₂ = −5𝑗, 𝑠₃= 0 (= 𝑠₄), (57) wobei der doppelte Eigenwert bei Null die geometrische Vielfachheit Eins hat.

Die Berechnung des Maßes wird nun für das Eigen- wertpaar𝜆₁= 𝜆₂= 𝑠₃demonstriert. Die Singulärwerte von A^2lauten

𝜎₁ = 25, 𝜎₂ = 25, 𝜎₃= 0, 𝜎₄ = 0. (58) Somit sind nur die Zahlen𝛾₁und𝛾₃relevant, wobei𝛾₁ = 0 gilt. Die MatrixP₃ enthält einen zum Eigenwert Null ge- hörigen Eigen- und Hauptvektor der SystemmatrixA^und lautet

P₃ = [[ [[ [[ [

−3

5sin 𝜓 0 cos 𝜓 0 4

5sin 𝜓 0

0 1

]] ]] ]] ]

. (59)

Damit lässt sich𝛾₃durch Berechnung der Quadratwurzel des kleinsten Eigenwertes der Matrix

P^H₃C^TCP₃ = 1

2[ 1 cos 𝜓

cos 𝜓 1 ] (60)

bestimmen; man erhält dafür folgenden Wert, welcher auf- grund des großen Wertes von 𝜎₁ zugleich der Wert der Maßzahl𝜒_𝑠3,𝑠3ist:

𝜒_𝑠

3,𝑠₃ = √1 −󵄨󵄨󵄨󵄨cos 𝜓󵄨󵄨󵄨󵄨

2 . (61)

Für die restlichen Maßzahlen erhält man auf ähnliche Wei- se den vom Winkel𝜓unabhängigen Wert

𝜒_𝑠

1,𝑠₁ = 𝜒_𝑠

1,𝑠₂= 𝜒_𝑠

1,𝑠₃ = 𝜒_𝑠

2,𝑠₂ = 𝜒_𝑠

2,𝑠₃= 1

√2. (62)

Abbildung 3: Verlauf des Modalmaßes𝜒𝑠𝑖für die perspektivische Beobachtbarkeit aus(63)in Abhängigkeit des Winkels𝜓für die Eigenwerte𝑠1, 𝑠2, 𝑠3.

Die Modalmaße der perspektivischen Beobachtbarkeit ge- mäß (53) lauten damit

𝜒_𝑠1= 𝜒_𝑠2 = 1

√2, 𝜒_𝑠3 = √1 −󵄨󵄨󵄨󵄨cos 𝜓󵄨󵄨󵄨󵄨

2 . (63)

Abbildung3zeigt den Verlauf der ermittelten Maßzah- len. Man erkennt, dass es für𝜓 = 0zu einem Verlust der perspektivischen Beobachtbarkeit kommt. In diesem Fall giltv=𝜔= −5f, d. h. der Punkt bewegt sich in Richtung der Brennachse der Kamera und rotiert zugleich um diese.

Es ist leicht vorstellbar, dass die Entfernung des Punktes von der Kamera in einem solchen Fall nicht rekonstruiert werden kann.

4 Zusammenfassung

Im vorliegenden Beitrag wurde auf Schwachstellen zweier existierender modaler Beobachtbarkeitsmaße eingegan- gen, und dadurch motiviert die Modifikation eines der Ma- ße vorgeschlagen. Es wurde gezeigt, dass das modifizierte Maß im Gegensatz zum ursprünglichen sowohl stetig ist, als auch konsistent, d. h. bei Annäherung an ein nicht be- obachtbares System strebt der Wert des Maßes gegen Null.

Ein Nebenprodukt des Beweises ermöglichte dabei die Ab- schätzung des Einflusses kleiner Änderungen der System- daten auf den Wert des Maßes; dies wurde anhand eines Beispiels demonstriert. Auf die perspektivische Beobacht- barkeit, deren Bedeutung anhand eines Beispiels veran- schaulicht wurde, konnte das Maß in geradliniger Weise übertragen werden. Zur praktischen Verwendung des Ma- ßes war in diesem Fall eine Normierung der Ausgangsma- trix nötig, für welche ein Vorschlag gemacht wurde. An- hand eines Beispiels wurde schließlich die Berechnung des erweiterten Maßes demonstriert.

A Beweis von Lemma 1

Relation (28b) ist unmittelbar evident, da𝛾_𝑟= ̃𝛾_𝑟= 0für 𝑟 ≤ 𝑛 − 𝑚gemäß Relation (17) gilt.

Die restlichen Behauptungen des Lemmas werden mit Methoden der Matrizen-Störtheorie [22] bewiesen. Allge- mein gilt für zwei MatrizenM^undM̃ mit den Singulärwer- ten𝜎_𝑗^und𝜎̃_𝑗die Ungleichung [25]

󵄨󵄨󵄨󵄨󵄨𝜎^𝑗− ̃𝜎_𝑗󵄨󵄨󵄨󵄨󵄨 ≤󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩M− ̃M󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2. (64) Damit ist Relation (28a) eine unmittelbare Konsequenz von (27). Für𝑚 = 𝑛folgt auch Relation (28c) für𝑟 = 1, d. h.

󵄨󵄨󵄨󵄨𝛾1− ̃𝛾₁󵄨󵄨󵄨󵄨 ≤ 𝛿, ⁽⁶⁵⁾ aus diesem Umstand, da in diesem Fall𝛾₁= 𝜎_min(C)^gilt.

Es verbleibt die Gültigkeit von Relation (28c) für festen Index𝑟 ≥ 2^und𝑟 > 𝑛 − 𝑚zu zeigen. Dazu wird angenom- men, dassMdie Singulärwertzerlegung

M= [U₁ U₂] [Σ₁

Σ₂] [V^𝐻₁

V^𝐻₂] (66) besitzt, wobeiΣ₁die Singulärwerte𝜎₁, . . . , 𝜎_𝑟−1undΣ₂^die Singulärwerte𝜎_𝑟, . . . , 𝜎_𝑛enthält. Die in gleicher Weise par- titionierte Singulärwertzerlegung vonM̃ ^laute

̃M= [ ̃U₁ ̃U₂] [ ̃Σ₁

̃Σ₂] [ ̃V^𝐻₁

̃V^𝐻₂] . (67) Wegen𝑟 > 𝑛 − 𝑚lässt sich Relation (17) in der Form

𝛾_𝑟= 𝜎_min(CV₂), 𝛾_𝑟̃ = 𝜎_min( ̃CṼ₂) (68) anschreiben. Die Abschätzung

󵄨󵄨󵄨󵄨𝛾𝑟− ̃𝛾_𝑟󵄨󵄨󵄨󵄨 ≤󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩CV₂− ̃CṼ₂󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2 (69) ist nun naheliegend, jedoch ist es nicht möglich, die Diffe- renz vonV₂^undṼ₂in dieser Form sinnvoll abzuschätzen.

Diese Matrizen sind nicht einmal eindeutig festgelegt und können sich auch bei beliebig kleinem Wert von𝜀beträcht- lich unterscheiden.

Ausschlaggebend für𝛾_𝑟und𝛾_𝑟̃ sind jedoch nicht die MatrizenV₂^undṼ₂ selbst, sondern die von ihren Spal- ten aufgespannten Vektorräume. Der Abstand zwischen diesen zwei Vektorräumen der Dimension𝑛 − 𝑟 + 1lässt sich durch die sogenannten kanonischen Winkel mes- sen [1]. Diese stellen eine Verallgemeinerung des Win- kels zwischen zwei Geraden (eindimensionalen Vektor- räumen) dar. Die Anzahl𝑁dieser Winkel ist durch

𝑁 = min(𝑛 − 𝑟 + 1, 𝑟 − 1) ⁽⁷⁰⁾

gegeben. Im vorliegenden Fall handelt es sich um Zahlen 𝜑_𝑗für𝑗 = 1, . . . , 𝑁. Diese erfüllen jeweils die Ungleichung 0 ≤ 𝜑_𝑗≤^𝜋₂und lassen sich durch Singulärwertzerlegungen der MatrizenṼ^H₁V₂^bzw.Ṽ^H₂V₂berechnen; es gilt

̃V^H₁V₂ =P^Hdiag (sin 𝜑_𝑗)R ⁽⁷¹⁾

̃V^H₂V₂ =Q^Hdiag (cos 𝜑_𝑗)R. ⁽⁷²⁾ mit unitären Matrizen P^, Q ^und R. Dabei wird abkür- zend diag (sin 𝜑_𝑗) bzw. diag (cos 𝜑_𝑗) für eine (im ers- ten Fall nicht notwendigerweise quadratische) Matrix ge- schrieben, deren erste 𝑁 Hauptdiagonaleinträge durch sin 𝜑_𝑗bzw.cos 𝜑_𝑗und deren restliche Hauptdiagonalein- träge durch Null bzw. Eins gegeben sind; die restlichen Einträge der Matrizen sind gleich Null.

Ein Theorem von Wedin [24] liefert unter der Voraus- setzung⁵𝜎_𝑟−1− 𝜎_𝑟> 𝜀die Abschätzung:

sin 𝜑_𝑗≤󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩Ṽ^H₁V₂󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2 ≤ √2𝜀

𝜎_𝑟−1− 𝜎_𝑟− 𝜀 =: 𝑣(𝜀). ⁽⁷³⁾ Deren rechte Seite wird mit𝑣(𝜀)abgekürzt.

Anstatt der Differenz vonV₂^undṼ₂ betrachtet man nun die Matrix

T:=V₂− ̃V₂Q^HR. ⁽⁷⁴⁾ Anhand von

T^HT= 2E−V^H₂Ṽ₂Q^HR−R^HQṼ^H₂V₂

= 2R^Hdiag (1 − cos 𝜑_𝑗)R ⁽⁷⁵⁾ erkennt man, dass deren Singulärwerte durch

√2 − 2 cos 𝜑_𝑗 ^{gegeben sind. Mittels der Relation} cos²𝜑_𝑗= 1 − sin²𝜑_𝑗erhält man somit

‖T‖₂≤ √2 ⋅ √1 − √1 − 𝑣²(𝜀). (76) Man überprüft leicht, dass es sich bei der rechten Seite die- ser Ungleichung um eine konvexe Funktion in𝜀handelt:

Sie ist die Verknüpfung der für0 ≤ 𝑣 ≤ 1konvexen und monoton wachsenden Funktion√1 − √1 − 𝑣²und der bei positivem Nenner konvexen Funktion𝑣(𝜀). An der unteren bzw. oberen Grenze des durch Relation (29) festgelegten

5 Voraussetzung für die Anwendung des Theorems ist, dass die Sin- gulärwerte inΣ̃1undΣ2jeweils gänzlich in zwei disjunkten, kompak- ten Intervallen liegen. Die angegebene Ungleichung ergibt sich aus der Differenz zwischen dem gemäß Relation (28a) kleinstmöglichen Wert inΣ̃₁und dem größten Wert inΣ₂.

Intervalls nimmt sie die Werte Null bzw. Eins an, was in diesem Bereich die Abschätzung⁶

‖T‖₂≤ 3𝜀

𝜎_𝑟−1− 𝜎_𝑟 ⁽⁷⁷⁾

erlaubt.

Aufgrund der Unitarität der MatrixQ^HR^gilt

̃

𝛾_𝑟= 𝜎_min( ̃CṼ₂) = 𝜎_min( ̃CṼ₂Q^HR). ⁽⁷⁸⁾ Man erhält somit folgendermaßen die behauptete Unglei- chung (28c)

󵄨󵄨󵄨󵄨𝛾𝑟− ̃𝛾_𝑟󵄨󵄨󵄨󵄨 ≤󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩CV₂− ̃CṼ₂Q^𝐻R󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2

≤󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩(C− ̃C) ̃V₂Q^𝐻R󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2+ ‖CT‖₂

≤󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩C− ̃C󵄩󵄩󵄩󵄩󵄩2+ ‖C‖₂‖T‖₂

≤ 𝛿 + 3𝜀

𝜎_𝑟−1− 𝜎_𝑟‖C‖₂, ⁽⁷⁹⁾ was den Beweis abschließt.

Danksagung: Vorliegender Beitrag basiert auf Teilaspek- ten der Dissertationsschrift des Erstautors [19]. Besonderer Dank gilt in diesem Zusammenhang Herrn Professor Klaus Meerkötter (Universität Paderborn) für seine inhaltlichen und typographischen Verbesserungsvorschläge. Die Au- toren danken ferner Herrn Dr. Daniel Muschick für seine zahlreichen Korrekturvorschläge zur vorliegenden Arbeit, sowie den anonymen Gutachtern.

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Autoreninformationen

Dr. techn. Richard Seeber Institut für Regelungs- und

Automatisierungstechnik, Technische Universität Graz, Inffeldgasse 21/B/I, 8010 Graz, Österreich

richard.seeber@tugraz.at

Richard Seeber ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik, Technische Universität Graz. Hauptarbeitsgebiete: System- und Regelungstheorie; struk- turvariable Systeme.

Em. O. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Nicolaos Dourdoumas

Institut für Regelungs- und

Automatisierungstechnik, Technische Universität Graz, Inffeldgasse 21/B/I, 8010 Graz, Österreich

nicolaos.dourdoumas@tugraz.at

Nicolaos Dourdoumas ist Emeritus am Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik der Technischen Universität Graz. Haupt- arbeitsgebiete: System- und Regelungstheorie.

Univ.-Prof. Dr. techn. Martin Horn Institut für Regelungs- und

Automatisierungstechnik, Technische Universität Graz, Inffeldgasse 21/B/I, 8010 Graz, Österreich

martin.horn@tugraz.at

Martin Horn ist Vorstand des Institutes für Regelungs- und Automa- tisierungstechnik, Technische Universität Graz. Hauptarbeitsgebie- te: Strukturvariable Systeme; Regelung vernetzter Systeme.