Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 11
Zusatzaufgabe 5. Seif:R→Rstetig differenzierbar und 2π-periodisch. Zeigen Sie:
(a) Die Fourier-Koeffizienten f[0(k) von f0 erf¨ullenf[0(k) =ikfd(k).
L¨osung: Partielle Integration liefert f[0(k) = 1
√2π Z π
−π
f0(k)e−ikxdx
= 1
√
2π[f(k)e−ikx]π−π− 1
√ 2π
Z π
−π
f(k)(−ik)e−ikxdx
= ik
√ 2π
Z π
−π
f(k)e−ikxdx=ikfd(k).
(b) Die Reihe P
k∈Z|fd(k)|konvergiert.
(Hinweis: Benutzen Sie (a) und die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.) L¨osung: Die Parsevalsche Gleichung liefert
X
k∈Z
|kf(k)|d =X
k∈Z
|f[0(k)|<∞.
Dem Hinweis entsprechend k¨onnen wir folgern:
X
k∈Z
|fd(k)|=|f(0)|d + X
k∈Z\{0}
|fd(k)k|1 k
und
X
k∈Z\{0}
|fd(k)k|1 k ≤
X
k∈Z\{0}
|kfd(k)|2
1/2
X
k∈Z\{0}
1 k2
1/2
<∞.
(c) Die Folge (Snf)n, definiert durch (Snf)(x) = √12πPn
k=−nfd(k)eikx, konvergiert gleichm¨aßig.
L¨osung: Sei > 0. Nach (b) gibt es ein N mit P
|k|>N|fd(k)| < . Wegen
|eikx|= 1 folgt dann |(Snf)(x)−(Smf)(x)|< f¨ur alle n, m > N und x∈R. (d) Zeigen Sie, dass die Folge (Snf)n gleichm¨aßig gegenf konvergiert.
L¨osung: Das kann man aus dem Satz der Vorlesung ¨uber die Konvergenz gegen die arithmetischen Mittel schlussfolgern, oder daraus, dass (Snf)nin derL2-Norm gegen f konvergiert.
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