Universit¨at T¨ubingen Mathematisches Institut Prof. Dr. Andreas Prohl T¨ubingen, den 27. April 2011

Universit¨at T¨ubingen Mathematisches Institut

Prof. Dr. Andreas Prohl T¨ubingen, den 27. April 2011

3. ¨Ubungsblatt zur Numerik partieller und stochastischer Differentialgleichungen II

Aufgabe 7 (Freiwillig): SeiH =L²(O),A=−∆ mitD(A) =H₀¹(O)∩H²(O). Ziel dieser Aufgabe ist es, mithilfe des Satzes von Hille-Yosida zu beweisen, daß AaufH eine Halbgruppe {S(t)}_t≥0 generiert. Dazu benutzen Sie, daß D(A) dicht in H ist und zeigen Sie,

a) A ist abgeschlossen, d.h. f¨ur alle {u_k}_k≥1 ⊂D(A) mit

¡u_k→u, Au_k→v(k→ ∞)¢ folgt u∈D(A) undv=Au.

Hinweis: Benutzen Sie die Regularit¨atstheorie f¨ur elliptische Operatoren, um zu zeigen, daß {u_k}k≥1 eine Cauchy-Folge inH²(O) ist.

b) (0,∞)⊂%(A). Dazu betrachten Sie das Problem

(λI+A)u=f ∀λ∈(0,∞)

und argumentieren Sie, daß f¨ur allef ∈L²(O) eine eindeutige L¨osungu∈D(A) existiert.

c) Beweisen Sie, daß

k(λI+A)⁻¹k_L(H) ≤ 1

λ, λ >0.

Aufgabe 8: SeiO ⊂Rⁿ,n≥1 unda:H₀¹(O)×H₀¹(O)→Reine von einem symmetrischen Operator A :H₀¹(O) → H⁻¹(O) induzierte H₀¹(O)-koerzive und stetige Bilinearform. Sei u ∈ L^∞¡

0, T;H₀¹(O)∩H²(O)¢

∩W^1,∞¡

0, T;L²(O)¢

die starke L¨osung von (ut, v) +a(u, v) = (f, v) ∀v∈H₀¹(O), mit Anfangsdatum

u(0) =u0 ∈H₀¹(O)∩H²(O) und

f, f_t, f_tt ∈C(0, T;L²(O)).

Diese soll mithilfe des nachfolgenden Crank-Nicolson-Verfahrens f¨ur das ¨aquidistante Zeitgitter Ik:={t_n}n≥0 approximativ bestimmt werden: {uⁿ⁺¹}n≥0⊂H₀¹(O) l¨ose

1

k(uⁿ⁺¹−uⁿ, v) +1 2a

³

uⁿ⁺¹+uⁿ, v

´

= 1 2

³

fⁿ⁺¹+fⁿ, v

´

∀v∈H₀¹(O).

Zeigen Sie, daß

1≤n≤Nmax τ_nku(t_n)−uⁿk_L2(O)≤Ck². Hinweis: Benutzen Sie die Gleichung f¨ur e^m =u(tm+1)−u^m+1

1

k(eⁿ⁺¹−eⁿ, v) +1 2a

³

eⁿ⁺¹+eⁿ, v

´

=

³

Rⁿ(u), v

´

∀v∈H₀¹(O),

mit

R^m+1(u) = 1 k

Z tm+1

tm

h

β_m(s)u_ttt(s) + (α_m(s)−β_m(s))Au_tti ds, wobei

α_m(s) = 1

12(t_m+1−s)(s−t_m), β_m(s) = 1 2min©

(t_m+1−s)²,(s−t_m)²ª .

Bemerkung: Gilt u0 ∈H₀¹(O), kann nur

1≤n≤Nmax ku(t_m)−u^mk_L2(O)=o(k)

sichergestellt werden; optimale Konvergenz kann mithilfe gestrecktes Zeitgitter sichergestellt werden.

Aufgabe 9: In der Vorlesung wurden starke L¨osungen der W¨armeleitungsgleichung

ut−∆u = f inO_T, (1)

u = 0 auf ∂O_T, (2)

u(0,·) = u₀ auf O, (3)

f¨urf ∈C^∞([0, T], L²(O)) mithilfe des impliziten Eulerverfahrens angen¨ahert; die Anfangsregu- larit¨at vonu0 war bei der Wahl der Zeitgitter maßgeblich, um optimale Konvergenz zu sichern.

Zeigen Sie:

(a) Fallsu0∈D(A), gilt auf gleichm¨assigem Zeitgitter:

1≤n≤Nmax ku(t_n)−uⁿk_H ≤Ck.

(b) Fallsu₀∈H, gilt auf gleichm¨assigem Zeitgitter:

1≤n≤Nmax τnku(t_n)−uⁿk_H ≤Ck.

(c) Fallsu0∈H, gilt auf gestrecktem Zeitgitter:

1≤n≤Nmax

√τ_nku(t_n)−uⁿk_H ≤Ck.

Besprechung der Aufgaben 7 und 8 in der ¨Ubungsstunde am 02. 05. 2011.

Besprechung der Aufgabe 9 in der ¨Ubungsstunde am 09. 05. 2011.