= e − k + f = 8 −12 + 6 = 2

Hans Walser, [20171015]

Eulersche Polyederformel 1 Worum geht es?

Die Eulersche Polyederformel wird in der Schule meist durch Abzählen der Ecken, Kanten und Flächen bearbeitet.

Es wird für einigermaßen regelmäßige Polyeder eine alternative Berechnungsart vorge- stellt, welche sich auch auf ebene und hyperbolische „Polyeder“ übertragen lässt.

Vorgehen exemplarisch.

2 Beispiele mit Polyedern 2.1 Würfel

Abb. 1: Würfel

2.1.1 Globales Vorgehen

Der Würfel hat e = 8 Ecken, k = 12 Kanten und f = 6 Flächen. Daraus ergibt sich:

χ=e−k+ f =8−12+6=2 (1) Wir können alternativ vorgehen wie folgt.

2.1.2 Lokales Vorgehen

Von jeder Würfelecke gehen drei Kanten aus. Da jede Kante zwei Würfelecken verbin- det, erhalten wir für die Anzahl k der Kanten:

k= ¹₂3e (2) Weiter kommen an jeder Würfelecke drei Quadratflächen zusammen. Da jede Quadrat- fläche mit vier Ecken inzidiert, erhalten wir für die Anzahl f der Flächen:

f = ¹₄3e (3)

Somit ist:

χ =e−k+ f =e−₂³e+ ³₄e=e

(

)

2.1.3 Winkeldefizit

An jeder Ecke kommen drei rechte Winkel von den Quadratflächen zusammen. Das macht zusammen 270°. Es fehlen 90° bis zum vollen Winkel von 360°. Auf e = 8 Ecken fehlen also insgesamt 8 × 90° = 720°. Das ist das globale Winkeldefizit nach Descartes.

Damit wird:

χ = ⁷²⁰_360°^°=2 (5)

Die Herleitung über das Winkeldefizit ist ebenfalls lokal. Wir brauchen nur noch die Eckenzahl zu kennen.

2.2 Kuboktaeder

Abb. 2: Kuboktaeder

2.2.1 Globale Zählweise

Das Kuboktaeder hat e = 12 Ecken, k = 24 Kanten und f = 14 Flächen. Somit ist:

χ=e−k+ f =12−24+14=2 (6) 2.2.2 Lokale Zählweise

Von jeder Ecke gehen vier Kanten aus. Somit ist:

k= ¹₂4e=2e (7)

An jeder Ecke kommen zwei Quadrate und zwei Dreiecke an. Daher ist:

f = ¹₄2e+¹₃2e=e⁶₁₂⁺⁸ = ⁷₆e Daher erhalten wir:

χ =e−2e+⁷₆e=⁶⁻¹²⁺⁷₆ e=¹₆e (8)

Wegen e = 12 folgt χ=2. 2.2.3 Winkeldefizit

An jeder Ecke haben wir zwei 60°-Winkel und zwei 90°-Winkel, zusammen also 300°.

Das Winkeldefizit ist 60°. Wegen e = 12 ist das globlae Winkeldefizit 720° und damit χ =2.

2.3 Rhombitruncated Icosidodcahedron

Abb. 3: Rhombitruncated Icosidodecahedron

2.3.1 Globale Zählweise

Es ist e = 120, k = 180 und f = 12 + 20 + 30 = 62. Wer zählt nach? Es ist χ =2. 2.3.2 Lokale Zählweise

Von jeder Ecke gehen drei Kanten aus. Daher ist:

k= ¹₂3e=₂³e (9)

Jede Ecke inzidiert mit einem Zehneck, einem Sechseck und einem Quadrat. Daher ist:

f =e

(

)

χ =e

(

)

Wegen e = 120 ist χ=2. 2.3.3 Winkeldefizit

An jeder Ecke haben wir einen Winkel von 144° (Zehneck), einen Winkel von 120°

(Sechseck) und einen Winkel von 90° (Quadrat), zusammen also 354° und ein Winkel- defizit von 6°. Wegen e = 120 ist das globale Winkeldefizit 720° und damit χ=2. 3 Ebene Raster

In ebenen Rastern ist das Winkeldefizit trivialerweise null.

Zunächst die drei klassischen Raster: Karoraster, Hexagonalraster und Dreiecksraster.

3.1 Karoraster

Abb. 4: Karoraster

Im Karoraster haben wir unendlich viele Ecken, Kanten und Flächen. Wir können nicht global rechnen.

3.1.1 Lokale Überlegung Wir haben e Ecken.

Von jeder Ecke gehen vier Kanten aus. Daher ist:

k= ¹₂4e=2e (12)

In jeder Ecke inzidieren vier Quadrate. Daher ist:

f = ¹₄4e=e (13)

Wir erhalten:

χ=e−k+ f =e−2e+e=e

(

)

! "# $0 # =0 (14) Die Eckenzahl spielt in der Überlegung keine Rolle.

3.1.2 Winkeldefizit

An jeder Ecke haben wir vier rechte Winkel, zusammen also 360°. Das lokale Winkel- defizit ist null. Daher ist auch das globale Winkeldefizit null, und wir haben:

χ = _360°^0° =0 3.2 Hexagonalraster

Abb. 5: Hexagonalraster

Es ist k= ¹₂3e= ³₂e und f = ¹₆3e= ¹₂e. Daher ist:

χ=e

(

)

3.3 Dreiecksraster

Abb. 6: Dreiecksraster

Es ist k=¹₂6e=3e und f =¹₃6e=2e. Daher ist:

χ=e

(

)

3.4 Sechsecke und Dreiecke

Abb. 7: Sechsecke und Dreiecke

Es ist k= ¹₂4e=2e und f = ¹₃2e+¹₆2e=e, und daher χ =0. 3.5 Zwölfecke, Sechsecke und Quadrate

Abb. 8: Zwölfecke, Sechsecke und Quadrate

Es ist k=¹₂3e und f =₁₂¹ e+¹₆e+¹₄e= ¹₂e, und daher χ =0. 4 Hyperbolische Raster

Bei hyperbolischen Rastern wird χ=− ∞.

Das Winkeldefizit an einer Ecke wird negativ (die Winkelsumme ist größer als 360°).

4.1 Siebenecke

Abb. 9: Siebenecke

Es ist k=¹₂3e und f = ¹₇3e. Daher ist:

χ =e−₂³e+³₇e=^14−21+6₁₄ e=−₁₄¹ e (17)

Die Winkelsumme an einer Ecke ist:

3 180°

(

)

4.2 Allgemein

Wir arbeiten mit n-Ecken mit n ≥ 7. Es ist k= ¹₂3e und f = ¹_n3e. Daher ist:

χ =e

(

)

4.3 Siebenecke und Dreiecke

Abb. 10: Siebenecke und Dreiecke

Es ist k= ¹₂4e=2e und f = ¹₇2e+¹₃2e= ²⁰₂₁e. Daher ist:

χ=e−2e+²⁰₂₁e=−₂₁¹ e (20)

An einer Ecke haben wir die Winkelsumme:

2 180°

(

)

4.4 Allgemein

Wir arbeiten mit n-Ecken (n ≥ 7) und Dreiecken.

Es ist k= ¹₂4e=2e und f = ¹_n2e+¹₃2e=2e³⁺ⁿ_3n . Daher ist:

χ =e−2e+2e³⁺ⁿ_3n =−eⁿ⁻⁶_3n (22)