Prof. A. Sapozhnikov Wahrscheinlichkeitstheorie II ÜBUNGSAUFGABEN, Serie 1 (Abgabe am 07.11.2018)

Prof. A. Sapozhnikov Wahrscheinlichkeitstheorie II

ÜBUNGSAUFGABEN, Serie 1 (Abgabe am 07.11.2018)

Sei(Ω,F, P)ein W-Raum,X1, X2, . . . R^d-wertigen Zufallsvariablen aufΩ,F0 ={∅,Ω},Fn =σ(X1, . . . , Xn)eine Filtrierung. Eine ZufallsvariableNmit Werten in{0,1,2, . . .} ∪ {+∞}heißtStoppzeit(bezüglich der Filtrierung(Fn)n≥0) falls {N =n} ∈Fⁿ für allen ≥ 0. Dieσ-Algebra der N-Vergangenheit ist durch FN = {E ∈ F :E∩ {N =n} ∈ Fnfür allen≥0}definiert. SeienS0= 0,Sn=X1+. . .+Xn. FallsXni.i.d. sind, heißtSneineIrrfahrt inR^d.

1. Seien M und N Stoppzeiten. Beweisen Sie, dass M +N eine Stoppzeit ist.

2. FürD∈B(R^d), seiH_D = inf{n ≥0 :S_n ∈D}die erste Besuchszeit inD. Beweisen Sie, dass für A, B ∈B(R^d), das Ereignis {H_A≤H_B} liegt in FHB.

3. Sei S_n eine Irrfahrt in R. Seien α₀ = 0, α_k = inf{n > αk−1 : S_n > S_αk−1} (k ≥ 1), wobei α_k = +∞ falls αk−1 = +∞ oder αk−1 < +∞ und S_n ≤ S_αk−1 für alle n > α_k−1. (α_k heißen Leiterepochen.) Weisen Sie die Gültigkeit folgender Aussagen nach.

(a) P(α_k<∞) =P(α₁ <∞)^k

(b) FallsP(α₁ <∞)<1, dann gilt P(sup

n≥0

S_n <+∞) = 1.

(c) FallsP(α₁ <∞) = 1, dann gilt P(sup

n≥0

S_n = +∞) = 1.

(d) FallsX₁ integrierbar ist undE[X₁]<0, dann gilt P(α₁ <∞)<1.

4. Seid∈N. SeienSn⁽¹⁾, . . . , Sn^(d) unabhängige einfache Irrfahrten inR. (Dies bedeutet, dass die Zuwächse von jeder Sn⁽ⁱ⁾ die Werte 1 oder −1 jeweils mit der Wahrschein- lichkeit ¹₂ annehmen.) Sei S_n = (Sn⁽¹⁾, . . . , Sn^(d)) eine Irrfahrt in R^d. Beweisen Sie, dass S_n rekurrent wennd∈ {1,2} und transient wenn d≥3 ist.