Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Herrmann M. Slassi
H. Sch¨afer
WS 2009/2010 16.11.2009
6. ¨ Ubungsblatt zur
” Mathematik III f¨ ur BI, BSc. WI/BI, MaWi, AngGeo, UI“
Gruppen¨ ubung
Aufgabe G16 (System erster Ordnung)
Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung des Systems
−
→y0 =
2 0 0 0 2 1 0 0 2
−→y .
Hinweis: Siehe Erg¨anzungsskript.
Aufgabe G17 (Beweisorama)
Sei A eine n×n-Matrix. Weiter seien λ1 und λ2, λ1 6= λ2, Eigenwerte von A mit zugeh¨origen Eigenvektoren v1 undv2. Zeigen Sie, dass v1 und v2 linear unabh¨angig sind.
Aufgabe G18 (Fundamentalsystem) Es sei das System erster Ordnung
−
→y0 =A−→y
mit
A=
3 0 0 0 2 1 0 0 2
gegeben. Bilden
exp(3x)
1 0 0
,exp(2x)
0 1 0
,exp(2x)
0 0 1
ein Fundamentalsystem?
Haus¨ ubung
Aufgabe H16 (Eigenvektorbasis)
Nicht jede n×n-MatrixA ist diagonalisierbar. Dies liegt daran, dass nicht zu jeder Matrix eine Basis aus Eigenvektoren existiert. Machen Sie plausibel, dass genau dann keine Eigenvektorbasis existiert, wenn f¨ur die folgende Summe ¨uber alle Eigenwerte λ
X
λ
dim(Kern(A−λI))< n
gilt.
Aufgabe H17 (Hauptvektoren)
SeiAeinen×n-Matrix. F¨urm= 1,2, . . . , nnennt man−→v 6=−→
0 einen Hauptvektorenm-ter Stufe zum Eigenwert λ, falls
(A−λI)m−→v = 0
f¨ur einen Eigenwertλgilt. BesitztAkeine Eigenvektorbasis, so lassen sich aber die Eigenvektoren durch Hauptvektoren zu einer Basis erg¨anzen. Finden Sie eine Basis aus Hauptvektoren f¨ur die Matrix
A=
1 0 0 0 1 1 0 0 1
.
Aufgabe H18 (Randwertproblem)
Hat folgendes Randwertproblem eine reelle L¨osung?
4y00+y= 0, y(0) = 0 undy(π) = 1.
Wenn ja, bestimmen Sie diese.
