Adjazenzlisten in einem Array

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Besprechung Blatt 13 Graphalgorithmen Bin¨arb¨aume in einem Array Vorbereitung

Algorithmen und Datenstrukturen 14

Stefan Ploner

8. Februar 2012

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Besprechung Blatt 13 Graphalgorithmen Bin¨arb¨aume in einem Array Vorbereitung

1 Besprechung Blatt 13 Fragen

2 Graphalgorithmen Allgemein Dijkstra Prim Kruskal

3 Bin¨arb¨aume in einem Array Indexberechnungen 4 Vorbereitung

Klausur

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Besprechung Blatt 13 Graphalgorithmen Bin¨arb¨aume in einem Array Vorbereitung Fragen

Fragen zu Blatt 13?

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Besprechung Blatt 13 Graphalgorithmen Bin¨arb¨aume in einem Array Vorbereitung Allgemein

Graphen im Allgemeinen

• (v1,v2): gerichtete Kante

• [v1,v2]: ungerichtete Kante

In ungerichteten Graphen sind keine Reflexiven Kanten erlaubt.

Vorsicht: H¨ohe eines Knotens im...

• bin¨aren Suchbaum: Blatt = 0, sonst h¨oheres Kind + 1

• Baum: Wurzel = 0, Kindknoten = H¨ohe des Vaterknotens + 1 Merke: Der “normale” Baum w¨achst von der Wurzel aus.

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Adjazenzmatrix

• Diagonale beschreibt, ob der Graph Schlingen enth¨alt

• spiegelbar ¨uber die Diagonale → ungerichteter Graph

• Zeile i beschreibt, ob ein direkter Weg von Knoten i zum Knoten j (Spaltennummer) vorhanden ist

• Uberpr¨¨ ufung, ob Kannte von v1 nach v2 existiert, inO(1)

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Adjazenzlisten

• f¨ur jeden Knoten eine Liste mit seinen Nachbarn

• Platzbedarf O(|V|+|E|) (Vertices + Edges)

• Zugriff auf alle k Nachbarknoten inO(k)

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Adjazenzlisten in einem Array

• zun¨achst f¨ur jeden Knoten den Arrayindex speichern, an dem die Liste mit den Nachbarn beginnt

• die Liste der Nachbarn geht von diesem Index bis zum Index des Nachfolgers

• die Werte in den Listen sind die Ids der Nachbarknoten

• kompakteste Darstellung

• es k¨onnen keine Kosten gespeichert werden

• Einf¨ugen sehr aufw¨andig

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Besprechung Blatt 13 Graphalgorithmen Bin¨arb¨aume in einem Array Vorbereitung Dijkstra

Dijkstra’s Algorithmus

• berechnet den k¨urzesten Weg zwischen 2 Knoten

• Algorithmus: Nacheinander den Knoten expandieren, der auf dem k¨urzesten bekannten Weg erreichbar ist. (bzw. aus der Liste den Knoten mit den geringsten Pfadkosten expandieren)

• Kosten neuer Knoten = Kosten der Kante + Kosten zum Vorg¨anger (nicht vergessen!)

• (anfangs) unerreichbare Knoten haben “unendliche” Kosten

• Aufwand: O(|E|+|V| ·log|V|)

Ausf¨uhrliches Beispiel in den Vorlesungsfolien 14-86ff

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Besprechung Blatt 13 Graphalgorithmen Bin¨arb¨aume in einem Array Vorbereitung Prim

Algorithmus von Prim

• berechnet einen minimalen Spannbaum

• Algorithmus: Bei beliebigem Knoten starten, immer die g¨unstigste Kante zum Spannbaum hinzuf¨ugen, die einen Knoten des Spannbaums mit einem außerhalb verbindet.

• Uberfl¨¨ ussige Kanten innerhalb des Spannbaums zur besseren Ubersicht streichen¨

• Aufwand: O(|E|+|V| ·log|V|)

Prim ist wie Dijkstra, nur mit Kanten- statt Pfadkosten.

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Besprechung Blatt 13 Graphalgorithmen Bin¨arb¨aume in einem Array Vorbereitung Kruskal

Algorithmus von Kruskal

• Algorithmus: Sortiere Kanten nach Kosten, betrachte die Kanten mit der günstigsten beginnend. Die Kante gehört zur Lösung, wenn sie in keinem Teilbaum einen Zyklus schließt.

Diese dann den aktuellen Teilb¨aumen hinzuf¨ugen.

• das heißt 2 Knoten verbinden, Kante einem Baum hinzuf¨ugen oder 2 B¨aume verbinden

• Aufwand: O(|E| ·log|E|) =O(|E| ·log|V|)

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Besprechung Blatt 13 Graphalgorithmen Bin¨arb¨aume in einem Array Vorbereitung Indexberechnungen

Index des Kind- / Vaterelements in Bin¨ arb¨ aumen

(wenn der Array ab Index 0 gef¨ullt wird)

• linkes Kind: 2i + 1

• rechtes Kind: 2i+ 2

• Vater: (i−1)/2 (eigentlich die Formel f¨ur das linke Kind, beim rechten ist das Ergebnis 0,5 zu viel. Aber: Integer-Division)

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Besprechung Blatt 13 Graphalgorithmen Bin¨arb¨aume in einem Array Vorbereitung Klausur

Letzte AuD-Klausur

1 Wissensfragen (mit O-Kalk¨ul) (Multiple Choice)

2 Binärbäume (Suchbäume und Halden) (P) (B10, 28P)

3 Streutabellen / Hashtables (P) (B11, 51 P)

4 Dynamische Programmierung (P)

5 Graphen (Dijkstra und Prim) (T) (B11, nur Zusatz)

6 WP-Kalk¨ul und Induktion (T)

7 UML-Klassendiagramm (T) (Im SS gab es nur 11 ¨Ubungsbl¨atter)

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Auswahl von Aufgaben aus diesem Semester

Blatt 04: Rekursionsarten, Induktion

Blatt 05: Aufwandsabsch¨atzung / O-Kalk¨ul (25 P) Blatt 07: UML (24 GP)

Blatt 08: Dynamische Programmierung (Zufallszahlen) (21 P) Blatt 09: WP-Kalk¨ul (30 EP + 20 GP !)

Blatt 10: Verkettete Liste (28 EP), Heap Theorie Blatt 11: Bin¨arer Suchbaum(Telefonbuch) (28 EP),

Hashtables Theorie (7 GP)

Blatt 12: Mergesort Implementierung (15 EP), Merge- und Heapsort Theorie (zusammen 23 EP)(Quadtrees)

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Wie k¨ onnte die Klausur aussehen?

• O-Kalk¨ul in den Wissensfragen

• Programmieraufgaben, z.B.:

Bin¨ar(er Such)baum (insert, height, isSearchTree) Merge- / Insertionsort

• Dynamische Programmierung (ein Prinzip! → Folien)

• Graphalgorithmen im Theorie-Teil

• WP-Kalk¨ul wurde sehr ausf¨uhrlich gemacht

• UML kommt auch immer was

• ADTs?