Metodyka nauczania Rachunku Prawdopodobie´nstwa - zadania na czwarta kartk´, owke.,
1. W miastach A i B wyr´o˙zniono po jednym, najbardziej niebezpiecznym skrzy˙zowaniu. Ze statystycznych danych wynika, i˙z ´srednio na skrzy˙zowaniu w mie´scie A sa dwa wypadki miesi, ecznie, natomiast w mie´, scie B - cztery wypadki miesiecznie. Zak ladaj, ac, ˙ze miasta, A, B sa na r´, o˙znych kontynentach, wyznaczy´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w danym miesiacu l, aczna liczba wypadk´, ow na obu skrzy˙zowaniach bedzie niemniejsza ni˙z 2.,
2. Pierwszy gracz rzuca trzema, a drugi dwiema jednakowymi monetami o nominale 1z l. Wygrywa i dostaje wszystkie pie´,c monet ten z graczy, kt´ory wyrzuci wiecej or l´, ow. W przypadku, gdy liczby wyrzuconych or l´ow sa r´, owne, gra jest kontynuowana. Obliczy´c warto´s´c oczekiwana wygranej ka˙zdego z graczy.,
3. Niech k bedzie ustalon, a liczb, a ca lkowit, a dodatni, a. Rzucamy prawid low, a, moneta a˙z do momentu gdy wypadnie ( l, acznie, niekoniecznie pod rz, ad) co najmniej, k or l´ow i co najmniej k reszek. Niech X oznacza liczbe rzut´, ow. Znale´z´c rozk lad zmiennejX oraz obliczy´cEX.
4. Z urny zawierajacej, n kul ponumerowanych liczbami od 1 do n losujemy k razy po jednej kuli ze zwracaniem. NiechX,Y oznaczaja odpowiednio najmniejszy, oraz najwiekszy z wyci, agni, etych numer´, ow. Wykaza´c, ˙ze EX+EY =n+ 1.
5. W urnie znajduje sie pi, e´,c kul bia lych, trzy czarne i dwie czerwone. Losujemy po jednej kuli ze zwracaniem a˙z do momentu wyciagni, ecia kuli czerwonej. Obliczy´, c warto´s´c oczekiwana wyci, agni, etych bia lych kul.,
6. Rzucamy prawid lowa kostk, a a˙z do momentu uzyskania pi, atki oraz parzystej, liczby oczek. Obliczy´c warto´s´c oczekiwana i wariancj, e liczby rzut´, ow.
7. W urnie znajduje sie 50 bia lych kul. Losujemy ze zwracaniem po jednej, kuli, przy czym wyciagni, et, a kul, e malujemy na czerwono, je´, sli jest bia la. NiechX oznacza liczbe czerwonych kul w urnie po 20 losowaniach. Wyznaczy´, c EX oraz VarX.
8. Losujemy (w spos´ob niezale˙zny) dwa niepuste, otwarte przedzia ly I, J o ko´ncach w zbiorze {1,2, . . . , n}. Obliczy´c warto´s´c oczekiwana d lugo´, sci ich cze´,sci wsp´olnej.
Uwaga: By´c mo˙ze przydadza si, e to˙zsamo´, sci
n
X
k=1
k2= n(n+ 1)(2n+ 1)
6 ,
n
X
k=1
k3=
n(n+ 1) 2
2
,
n
X
k=1
k4= n5 5 +n4
2 +n3 3 − n
30.
