5.2 Differentiation
5.2.1 Mypartielle Ableitungen
Mypartielle Ableitungen
∂if =fxi = ∂f
∂xi
, ∂if(x) = lim
h→0
f(. . . , xi+h, . . .)−f(. . . , xi, . . .) h
Ableitung der univariaten Funktion xi 7→ f(x1, . . . , xi, . . . , xn), bei der die Variablen xj, j 6= i, als Kon- stanten betrachtet werden
Mehrfache mypartielle Ableitungen
∂i∂jf =fxjxi = ∂2f
∂xi∂xj
Multiindex-Notation
∂αf =∂1α1· · ·∂nαnf, α = (α1, . . . , αn), αi ∈N0
∂i∂jf =∂j∂i f¨ur glatte Funktionen f
Totale Ableitung und Jacobi-Matrix
f(x+h) = f(x) +f0(x)h+o(|h|), |h| →0 Jacobi-Matrix
f0 = Jf = ∂(f1, . . . , fn)
∂(x1, . . . , xn) = (∂1f, . . . , ∂nf) =
∂1f1 . . . ∂nf1
... ...
∂1fm . . . ∂nfm
Differential
df = ∂f
∂x1
dx1+· · ·+ ∂f
∂xn
dxn
Fehlerfortpflanzung bei multivariaten Funktionen absoluter Fehler
∆y=f(x+ ∆x)−f(x)≈fx1(x)∆x1+· · ·+fxn(x)∆xn
relativer Fehler
∆y
|y| ≈c1∆x1
|x1| +· · ·+cn∆xn
|xn| mit den Konditionszahlen
ci = ∂y
∂xi
|xi|
|y|
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Tangente
Kurve C : t 7→f(t)
f0(t0)6= 0 ber¨uhrende Gerade
g : f(t0) +f0(t0)(t−t0), t ∈R f0(t0) = 0 abrupte ¨Anderung der Tangentenrichtung m¨oglich
Tangentialebene implizit definierte Fl¨ache
S : f(x1, . . . , xn) =c gradf(p)6= 0 Tangentialebene
E : (gradf(p))t (x−p) = 0 Tangentialebene f¨ur den Graph einer Funktion x7→y=g(x1, . . . , xn−1)
E : y−g(q) =
n−1
X
i=1
∂ig(q) (xi−qi)
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